Евклид - жизнь и сочинения

Спросите своего коллегу, или знакомого, или ученика: “Какая древняя книга оказала наибольшее влияние на развитие европейской цивилизации?”. Не думаю, что ответы будут отличаться большим разнообразием, но вряд ли кто-нибудь вспомнит о “Началах” Евклида. А ведь именно по этой книге ( или по её обработкам ) учились все творцы современной математики: Декарт и Ферма, Ньютон и Лейбниц, Колмогоров и Понтрягин… Всех не перечислишь

Нельзя сказать, что в течение многих веков не появлялись другие своды математических знаний, но все они забывались и вновь вытеснялись “Началами” Евклида. С 1482 г. она издавалась более 500 раз на самых различных языках

Можно с уверенностью утверждать, что все современные так называемые точные науки выросли из древнегреческой науки, т.е. из “Началах” Евклида – самого древнего свода математических знаний, дошедшего до нашего времени

Так кто же был Евклид? Исследователь, энциклопедист, методист? Увы, о жизни этого знаменитого учёного сохранилось крайне мало сведений. Годы его жизни относят к промежутку времени приблизительно между 365 и 300 гг. до н.э

Известно, что Евклид был приглашён в Александрию царём Птолемеем I Сотером для организации математической школы и преподавал там математику. Известно, что он учился в платоновской Академии в Афинах

Итак, какие же труды Евклида нам известны?

Кроме “Начал” до нас дошли, хотя и в сильно искажённом виде, трактаты “Оптика” и “Катоптрика”. В “Оптике” Евклид формулирует и доказывает правило “угол падения равен углу отражения”, а в “Катоптрике” он выводит, опираясь на это правило, законы отражения от выпуклых и вогнутых зеркал. В этих трактатах содержится первое в истории изложение геометрической оптики. Кроме того, Евклиду принадлежит сочинение по математической астрономии “Явления”, ему также приписывается сочинение “Сечение канона” по теории музыки

Во всех этих произведениях Евклид сначала постулирует некоторые свойства исследуемых объектов ( например, то, что свет распространяется по прямой ) и необходимые математические сведения, а затем на этой основе дедуктивно строит излагаемую теорию

Евклиду принадлежат сочинения о конических сечениях ( т.е. эллипсе, гиперболе, параболе ) и “О поверхностных местах”, которые до нас дошли

В арабском переводе нам известно сочинение Евклида “О делении фигур”

Но главным трудом Евклида, несомненно, являются “Начала” ( в 13 книгах ). Он собрал и систематизировал современную ему математику, строго дедуктивно изложив её в этом объёмном труде

Ниже описаны наиболее интересные, с точки зрения современной математики, достижения Евклида и его предшественников, изложенные в “Началах”

Теорема Евклида

Предложение, о котором идёт речь, изложено в IX книге “Начал”. Оно формулируется так:

множество простых чисел бесконечно

Доказательство очень просто: если бы множество всех простых чисел было конечным, то, перемножив их все и добавив единицу, мы получили бы новое число, которое не делится ни на одно из известных простых чисел и, следовательно, простое

Алгоритм Евклида

Всем известен алгоритм Евклида нахождения общей меры отрезков. Он состоит в следующем

Пусть есть два отрезка неравной длины A и В, причём, например, А больше В. Отложим отрезок В на отрезке А столько раз, сколько получится( рис. 1 )

Тогда А=n 0 B + C 1 , где C 1 < В

Теперь берём отрезки В и C 1 и повторяем с ними ту же операцию: В=n 1 C 1 + C 2 , где C 2 < C 1 ( рис. 2 )

А

С 1

В В В

n 0 раз

( рис. 1 )

В

С 1 С 1 С 2

n 1 раз

( рис. 2 )

Повторяя эту операцию много раз, мы либо когда-нибудь получим нулевой отрезок-остаток C m = n m+1 C m+1 + 0 отрезок C m+1 окажется общей мерой отрезков А и В, либо процесс откладывания отрезков никогда не закончится

В последнем случае говорят, что отрезки А и В несоизмеримы ( т.е. не имеют общей меры ). Числа n 0 , n 1 , … называются “неполными частными”

Если обнаружена общая мера величин А и В и она равна некоторой величине D, то А= λD , B =μ D и отношение А и В есть отношение λ к μ

Интересно, что Евклид построил алгоритм отдельно для чисел ( т.е. натуральных чисел ) и отдельно для отрезков ( величин )

Итак, алгоритм Евклида позволяет не только находить общую меру ( НОД ) двух чисел, сокращать на НОД дроби, но и “округлять” рациональные числа

Теория отношений Евдокса

В “Началах” изложена другая теория отношений, созданная Евдоксом. Она отвечала на вопрос: как можно сравнивать отношения чисел и что происходит с ними в результате арифметических операций?

Два отношения a/b и c/d считаются равными, если для любых натуральных чисел М, N выполняются условия:

aM > bN cM > dN,

aM = bN cM = dN,

aM < bN cM < dN

Такой подход к сравнению отношений был революционным прорывом в построении теории действительного числа ( пока только для рациональных положительных чисел )

Теория иррациональностей

Видимо, именно алгоритм Евклида привёл пифагорейца к установлению несоизмеримости стороны и диагонали квадрата ( т.е. иррациональности числа √2 ). Это открытие существенно повлияло на дальнейшее развитие и математики, и философии. Оно показало, что ложен основной принцип пифагорейцев “всё есть число”. Они считали, что всякую величину можно выразить числом ( натуральным ) или отношением чисел, но оказалось, что диагональ квадрата со стороной 1 не выражалась отношением чисел

Теэтет Афинский развил этот подход и доказал, что квадратные корни из квадратных чисел рациональны, а из неквадратных – иррациональны. Кроме того, кубические корни из кубических чисел рациональны, а из некубических – иррациональны

Более того, он классифицировал некоторые типы иррациональностей, которые можно построить с помощью циркуля и линейки

Геометрическая алгебра

Важным достижением античной математики стало создание так называемой геометрической алгебры, зачатки которой имелись ещё у вавилонян

Мы знаем, что в Древней Греции не было возможности записывать буквами алгебраические формулы и уравнения. Кроме того, большие проблемы возникали при операциях с натуральными числами. Античные математики обошли эту проблему, переведя все алгебраические выражения первой и второй степени на геометрический язык. Все построения были планиметрическими

Видимо, именно алгебраическими потребностями объясняется столь бурное развитие планиметрии в античности

Платоновы тела

В последней, XIII книге “Начал” описываются построение и свойства правильных многогранников – тетраэдра, гексаэдра, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра

И Евклид не просто описал правильные многогранники, но и исследовал их свойства. Он нашёл отношения длин рёбер всех правильных многогранников к диаметру описанной около многогранника сферы

Более того, он предложил способы построения правильных многогранников, вписанных в сферу данного диаметра

Учение о гармонии

Ещё пифагорейцы знали, что если высоты звука относятся как небольшие целые числа, то сочетание звуков будет приятным, гармоничным. Так, отношение высот 1:2 даёт музыкальный интервал, называемый октавой, отношение 2:3 – даёт квинту, 3:4 кварту. Для того чтобы повысить на квинту звук, например, колеблющейся струны, надо уменьшить её длину на 1/3, заставив звучать оставшиеся 2/3 струны, при этом частота колебаний струны увеличится в 1/(2/3) раза. А для повышения звука на кварту надо извлечь звук из 3/4 струны, т.е. частота колебаний будет в 4/3 раза выше частоты колебаний основного тона. Исходя из этого, можно построить музыкальную шкалу

Первым точными расчётами музыкальной шкалы стал Архит Тарентский. Евклид продолжил его традицию и изложил учение о гармонии в “Сечении канона” и – частично – в “Началах”

Список используемой литературы

Научно-теоретический и методический журнал “Математика в школе” №4 2001. Издательство “Школа-Пресс”