Запись дифференциальных уравнений

1.ВВЕДЕНИЕ

2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

2.1.ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ

В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах.

Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены - в правой части. Кроме того, принято, чтобы, сама выходная величина находилась в уравнении с коэффициентом единица. Такое уравнение имеет вид:

= (1)

При такой записи коэффициенты k,k1,...,kn называют коэффициентами передачи, а T1,...,Tn - постоянными времени данного звена.

Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме, т.е. определяет собой наклон линейной статической характеристики звена.

Размерности коэффициентов передачи определяются как

размерность k = размерность y(t) : размерность g(t)

размерность k1 = размерность y(t) : размерность g(t) (?)

Постоянными времени T1,...,Tn имеют размерность времени.

Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцирования p= алгебраической величиной, произведем замену в уравнении (1):

= (2)

2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА

Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t):

y(t)==

=W1(s)+W2(s)+...+Wn(s)

Здесь W1(s),W2(s),...,Wn(s) - передаточные функции.

При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по Лапласу передаточные функции сливаются в одну.

2.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА

Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.

Переходная функция h(t) представляет собой переходный процесс на выходе из звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия - скачкообразного воздействия со скачком, равной единице.

Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной функции:

w(t)=

2.4.ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив линейный оператор s на комплексный jω.

Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование

W(j)=.

Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:

W(jω)=U(ω)+jV(ω)

где U(ω) и V(ω) - вещественная и мнимая части.

W(jω)=A(ω),

где A(ω) - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходнгой величины к амплитуде входной,φ(ω) - аргументчастотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.

Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различой частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции:

A(ω)=|W(jω)|

АЧХ строят для всео диапазона частот -∞<ω<+∞, т.к. модуль частотной передаточной функции представляет собой четную функцию частоты.

Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика (ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции:

φ(ω)=argW(jω)

4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ

4.1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ

Позиционные звенья - это такие звенья , в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью y(t)=kg(t).Соответственно, переходная функция будет иметь вид W(s)=k, где N(s), L(s) - многочлены.

4.1.1.ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ ( БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

aoy(t)=bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

ao=2

bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

y(t)=g(t)

y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=kG(s)

W(s)=k (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1. Тогда

h(t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:

w(t)==kδ(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:

k=2

h(t)=2⋅1(t)

w(t)=2⋅δ(t)

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса - импульсную функцию, площадь которой равна k=2.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jω:

W(s)=k

W(jω)=k (7)

W(jω)=U(ω)+jV(ω)

U(ω)=k

V(ω)=0

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(ω)=|W(jω)|

A(ω)=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

φ(ω)=argW(jω)

φ(ω)=0 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(ω)=20lg A(ω)

L(ω)=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

A(ω)=2

φ(ω)=0

L(ω)=20lg2

U(ω)=2

V(ω)=0

Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т.д. Но беэынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев , рассмотренных ниже , если можно пренебречь влиянием динамических процессов.

4.1.2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

aoy(t)=bog(t-τ) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

ao=2

bo=4

τ=0,1с

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

y(t)= g(t-τ)

y(t)=kg(t-τ) (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

y(t)=kg(t-τ) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t-τ)=G(s)e-τs

Y(s)=kG(s) e-τs

W(s)= ke-τs (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1.Тогда

h(t)=y(t)=k g(t-τ)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:

w(t)==kδ(t-τ) (6)

k=2

h(t)=2⋅1(t-τ)

w(t)=2⋅δ(t-τ)

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием на τ=0,1с, а функция веса - импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jω:

W(s)=k e-τs

W(jω)=k e-jωτ =k(cosτω-jsinτω) (7)

W(jω)=U(ω)+jV(ω)

U(ω)=k cosτω

V(ω)=-ksinτω

A(ω)=|W(jω)|

A(ω)=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

φ(ω)=argW(jω)

φ(ω)= τω (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(ω)=20lg A(ω)

L(ω)=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

A(ω)=2

φ(ω)=0,1ω

L(ω)=20lg2

U(ω)=2cos0,1ω

V(ω)=-2sin0,1ω

Вывод:

4.1.3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 + aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1=1,24

ao=2

bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

+y(t)=g(t)

T1 +y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T1=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k⋅1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)⋅1

W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= e ⋅1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

k=2

T1 =0.62

h(t)=2 ⋅1(t)

w(t)=3.2e⋅1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jω:

W(s)=

W(jω)= (7)

W(jω)=U(ω)+jV(ω)==-j

U(ω)=

V(ω)=

A(ω)=|W(jω)|

A(ω)== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

φ(ω)=argW(jω)

φ(ω)=arctgk - arctg

φ(ω)=-arctgT1 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(ω)=20lg A(ω)

L(ω)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

T1 =0.62

A(ω)=

φ(ω)=arctg0.62ω

L(ω)=20lg

U(ω)=

V(ω)=

4.1.4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО

1-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 - aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1=1,24

ao=2

bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

-y(t)=g(t)

T -y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(T p-1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

T sY(s)-Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k⋅1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)⋅1

W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= e ⋅1(t) (6)

k=2

T =0.62

h(t)=2 ⋅1(t)

w(t)=3.2e⋅1(t)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jω:

W(s)=

W(jω)= (7)

W(jω)==j=U(ω)+jV(ω)

U(ω)=

V(ω)=

A(ω)=|W(jω)|

A(ω)== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

φ(ω)=argW(jω)

φ(ω)=arctgk - arctg

φ(ω)=-arctg(-Tω) (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(ω)=20lg A(ω)

L(ω)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

T =0.62

A(ω)=

φ(ω)=-arctg(-0.62ω)

L(ω)=20lg

U(ω)=

V(ω)=

4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2+a1 + aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,588

a1=50,4

ao=120

bo=312

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

++y(t)=g(t)

+T1 +y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T1=,T22=-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T1>2T2), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:

T1=0,42

2T2=0,14

0,42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(p2+T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

=s2Y(s)

g(t)=G(s)

s2Y(s)+T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)== , где

T3,4=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k⋅1(t) =

=k ⋅1(t)(5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)⋅1==

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

w(s)=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= =

= (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jω:

W(s)=

W(jω)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(jω) ==

U(ω)=

V(ω)=

A(ω)=|W(jω)|

A(ω)==..............(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

φ(ω)=argW(jω)

φ(ω)=................

φ(ω)=............... (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(ω)=20lg A(ω)

L(ω)=...................

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2+a1 + aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,588

a1=0,504

ao=12

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

++y(t)=g(t)

+T1 +y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T1=,T22=-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1<2T2), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:

T1=0,042

2T2=0,14

0,042<014, следовательно, данное уравнение - колебательное.

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T2=T, .

Тогда уравнение (2):

Здесь T - постоянная времени, ξ - декремент затухания (0<ξ<1).

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(p2+2ξTp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

=s2Y(s)

g(t)=G(s)

s2Y(s)+2ξT sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)==

Заменим в этом выражении ,.Тогда

H(s)==

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k =

=k ⋅1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)⋅1===

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jω:

W(s)=

W(jω)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(jω)=

U(ω)=

V(ω)

A(ω)=|W(jω)|

A(ω)== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

φ(ω)=argW(jω)

φ(ω)=argk - arg(2ξTjω - T2ω2+1)= - arctg

φ(ω)= - arctg (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(ω)=20lg A(ω)

L(ω)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (НЕУСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2- a1 + aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,588

a1=0,504

ao=12

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

- +y(t)=g(t)

-T1 +y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T1=,T22=-постоянные времени.

T1=0,042

2T2=0,14

0,042<014, следовательно, данное уравнение - колебательное.

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T2=T, .

Тогда уравнение (2):

Здесь T - постоянная времени, ξ - декремент затухания (0<ξ<1).

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(p2 - 2ξTp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=sY(s)

=s2Y(s)

g(t)=G(s)

s2Y(s) - 2ξT sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)==

Заменим в этом выражении ,.Тогда

H(s)==

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k =

=k ⋅1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)⋅1===

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jω:

W(s)=

W(jω)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(jω)=

U(ω)=

V(ω)

A(ω)=|W(jω)|

A(ω)== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

φ(ω)=argW(jω)

φ(ω)=argk - arg(1 - 2ξTjω - T2ω2)= - arctg

φ(ω)= - arctg (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(ω)=20lg A(ω)

L(ω)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.1.5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2+ aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,0588

ao=12

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

+y(t)=g(t)

+ y(t)=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T2=-постоянная времени.

Это уравнение является частным случаем колебательного уравнения при ξ=0.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(T2p2+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s)

=s2Y(s)

g(t)=G(s)

T2s2Y(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

Заменим .Тогда

H(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k⋅1(t) (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)⋅1===

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= kω0sinω0t⋅1(t) (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jω:

W(s)=

W(jω)= (7)

U(ω)=

V(ω)=0

A(ω)=|W(jω)|

A(ω)==(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

φ(ω)=argW(jω)

φ(ω)=argk - arg(1-T2ω2)=0 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(ω)=20lg A(ω)

L(ω)=20lg (10)

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.2. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ

4.2.1. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1=1,24

bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:

=g(t)

=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

py(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для данного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

sY(s)=kG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=kt⋅1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=

w(t)==k⋅1(t) (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jω:

W(s)=

W(jω)= (7)

W(jω)=

U(ω)=0

V(ω)=

A(ω)=|W(jω)|

A(ω)== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

φ(ω)=argW(jω)

φ(ω)=argk - argjω

φ(ω)= - arctgω (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(ω)=20lg A(ω)

L(ω)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.

4.2.2. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

+ a1 =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,0588

a1=0,504

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:

+ =g(t)

T+=kg(t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(Tp2+p)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

=s2Y(s)

g(t)=G(s)

Ts2Y(s)+sY(s)=kG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=

Переходя к оригиналу, получим

h(t)= - kT⋅1(t)+kt⋅1(t)+kT⋅1(t)=

= (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)⋅1=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

w(s)=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=k⋅1(t) (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jω:

W(s)=

W(jω)= (7)

W(jω)

U(ω)=

V(ω)=

A(ω)=|W(jω)|

A(ω)== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

φ(ω)=argW(jω)

φ(ω)=argk - argjω - arg

φ(ω)= - arctgω - arctgTω (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(ω)=20lg A(ω)

L(ω)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.

4.2.3. ИЗОДРОМНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 =b1+bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1=1,24

bo=4

b1=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:

=+g(t)

=k1+kg(t) (2),

где k1=, k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

py(t)=(k1p+k)g(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

=sG(t)

sY(s)=k1sG(s)+kG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s) =

Переходя к оригиналу, получим

h(t)= ⋅ 1(t) (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)⋅1

W(s)=

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= k1⋅δ(t)+k⋅1(t) (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jω:

W(s)=

W(jω)= (7)

U(ω)=k1

V(ω)=

A(ω)=|W(jω)|

A(ω)=............(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

φ(ω)=argW(jω)

φ(ω)=............

φ(ω)=............ (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(ω)=20lg A(ω)

L(ω)=20lg........

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.

4.3.1.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

aoy(t)=b1 (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

ao=2

b1=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

y(t)=

y(t)=k (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

y(t)=kpg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

=sG(s)

Y(s)=ksG(s)

W(s)=ks (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса из преобразлваний Лапласа,т.е.

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)=k

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k⋅δ(t) (5)

Функцию веса можно получить по преобразованию Лапласа из передаточной функции:

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)⋅1=ks

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=k (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jω:

W(s)=ks

W(jω)=jkω (7)

W(jω)=U(ω)+jV(ω)

U(ω)=0

V(ω)=kω

A(ω)=|W(jω)|

A(ω)=k|ω| (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

φ(ω)=argW(jω)

φ(ω)=arctgkω (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(ω)=20lg A(ω)

L(ω)=20lgk|ω|

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные выражения.

4.3.2.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ РЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 + aoy(t) =b1 (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1=1,24

ao=2

b1=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:

+y(t)=

T+y(t)=k (2),

где k=-коэффициент передачи,

T1=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(Tp+1)y(t)=kpg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

=sY(s)

g(t)=G(s)

=sG(s)

TsY(s)+Y(s)=ksG(s)

W(s)= (4)

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)==

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=⋅1(t) (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)⋅1

W(s)= =

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=⋅δ(t) e ⋅1(t) (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jω:

W(s)=

W(jω)=

W(jω)==

6.Найдем АЧХ:

A()=W(j)

A()==

Найдем ФЧХ:

()=argW(j)

()=arctgk-arctgT

L()=20lgA()

L()=20lg

4.3.3.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА

Данное звено описывается следующим уравнением:

a0y(t)=b1+b0g(t)

y(t)=+g(t)

k1=

y(t)=k1pg(t)+kg(t)

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

Y(s)=k1sG(s)+kG(s)

W(s)=k1s+k

H(s)==k1+

h(t)=k1(t)+k1(t)

W(j)=k1j+k

U()=k

V()=k1

A()=W(j)

A()=

()=argW(j)

()=arctg

L()=20lgA()

L()=20lg

4.3.4.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА

a0y(t)=b2+b1+b0g(t)

y(t)=++g(t)

y(t)=k2+k1+kg(t)

y(t)=k2p2g(t)+k1pg(t)+kg(t)

Y(s)=(k2s2+k1s+k)G(s)

W(s)=k2s2+k1s+k

H(s)=k2s+k1+

h(t)=k2+k1(t)+k11(t)

w(s)=W(s)=k2s2+k1s+k

w(t)=k2+k1+k(t)

W(j)=k1j+k - k22

U()=k - k22

V()=k1j

A()=

()=arctg

L()=20lg