Структура исчисления предикатов. Построение логического вывода

Приступая к изучению языка логики предикатов (сокращенно — ЯЛП), полезно вспомнить основные особенности языков этого типа В ЯЛП явно должны быть представляемы субъектно-предикатные структуры высказываний, от которых происхо­дило отвлечение при введении пропозициональных символов. Выражаемыми должны быть, например, высказывания видов. «a обладает свойством Р», «а и b находятся в отноше­нии Р», «Для всякого предмета из некоторого множества S верно, что он обладает свойством Р», «Для всякого предмета из множества S существует предмет этого множества такой, что эти предметы находятся в отношении R», «Если неверно, что всякие два предмета некоторого множества находятся в отношении R, то существуют по крайней мере два предмета этого множества, не находящиеся в этом отношении», «Если во множестве S существует предмет х, который находится в от­ношении R с любым предметом у этого множества, то для всякого предмета у того же множества существует предмет х такой, что последний находится в отношении R к первому» и т. п.

Ясно, во-первых, что для выражения таких утверждений у нас нет средств в языке логики высказываний. Ясно и то, что для выражения подобных высказываний в ЯЛП мы дол­жны иметь в числе его исходных символов общие имена предметов; аналогами последних в ЯЛП будут предметные переменные х, у, z, а также они же с числовыми индексами x₁,x₂, ... и т.д. Потребность в общих именах при употребле­ний ЯЛП сохранится лишь для описания областей возмож­ных значений этих переменных, что относится уже не к са­мому языку, а к метаязыку. Нужны также знаки свойств и отношений. Для выражения высказываний вида «Объем тела а больше объема тела b» или «Синус х меньше косинуса y» и т. п. необходимы, конечно, и предметные функторы. Впро­чем, перечислим систематически основные типы выражений описываемого языка, каковыми являются: исходные симво­лы, термы и формулы. Описание этих выражений составит синтаксис ЯЛП.

СИНТАКСИС ЯЗЫКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ (ИСХОДНЫЕ СИМВОЛЫ, ТЕРМЫ, ФОРМУЛЫ)

I. Исходные символы языка.

1. Предметные переменные х, у, z, а также х с числовыми индексами:

(бесконечное счетное множество).

2. Предметные константы (аналоги собственных имен ес­тественного языка): (также бесконечное счетное множество).

3. Знаки свойств и отношений различных местностей — предикатные символы, или предикаторы:

P¹, Q ¹, R¹, S¹, ...;

Р2, Q2, R2, S² , ...;

…………………..

Pⁿ,Qⁿ,Rⁿ,Sⁿ

и возможно эти символы с нижними индексами:

P¹₁ , P¹₂, P¹₃, …

P²₁ , P²₂, P²₃, … и т.д.

(верхние индексы указывают на местность предикатора, ни­жние индексы используются для расширения множества предикаторов той или иной местности; количество предикат­ных символов той или иной местности вводится в зависимо­сти от предназначения языка. Однако, поскольку речь идет о языке логики предикатов, должен быть введен, по крайней мере один предикатный символ).

4. Знаки предметных функций различных местностей (предметные функторы):

f¹₁ , f¹₂, …

f²₁ ,f²₂ , …

………….

fⁿ₁ , fⁿ₂, …

(число функциональных символов той или иной местности зависит также от предназначения языка, возможно отсут­ствие символов этого рода вообще).

5. Логические константы: ⊃,&,∀,∃,∨,¬ соответствен­но — импликация, конъюнкция, квантор общности, квантор существования, дизъюнкция и отрицание. (Зачастую вво­дят лишь некоторые из этих символов. Из кванторов доста­точны только ∀ или ∃, из остальных, называемых логически­ми связками, достаточно : ⊃ и ¬, или ∨ и ¬ , или & и ¬ . Другие константы, как, впрочем, и другие знаки, могут вво­диться по определению.)

6. Технические знаки: (- левая скобка, )-правая скобка, ,- запятая.

Предметные константы, предикаторы, предметные функ­торы и предметные переменные называют дескриптивными терминами языка, при этом три первых категории (в отличие от предметных переменных) суть — дескриптивные постоян­ные данного языка.

II. Термы. Выражения этого типа являются аналогами имен естественного языка.

Определение: а) любая предметная переменная и предметная константа есть терм; б) если есть тер­мы и f¸ⁿ есть n-местный предметный функтор, то f¸ⁿ ( есть терм; в) ничто, кроме указанного в пунктах а) и б), не есть терм.

III. формулы. В числе этих выражений имеются аналоги повествовательных предложений естественного языка, а так­же высказывательные формы — предикаты, представляющие собой особую семантическую категорию, которая не выделяется, — по крайней мере, явным образом — в естественном языке.

Определение: а) если термы и P¸ⁿ n-мест­ный предикатор, то P¸ⁿ () есть формула (атомарная);

б) если А и В — формулы, то (А⊃В), (А&В), (AvB), ¬A — формулы; в) если х есть предметная переменная и А — фор­мула, то ∀ x A и ∃ x A — формулы; г) ничто, кроме указанно­го в пунктах а) — в), не есть формула.

Договоримся в дальнейшем опускать, когда это удобно, внешние скобки в отдельно взятых формулах; например, вместо (А & В) писать просто

А &В.

Использованные в определениях терма и формулы сим­волы и f¸ⁿ, P¸ⁿ, A, B, x (и в дальнейшем возможно x₁, x ₂ и т. д.) — знаки метаязыка называемые также син­таксическими переменными, возможными зна­чениями которых являются выражения соответствующей ка­тегории описываемого (объектного) языка.

Формулы А и В, встречающиеся в пунктах б) и в), назы­ваются подформулами указанных здесь формул.

Введенные понятия исходного символа, терма и формулы языка являются эффективными (иначе: рекурсивными). По­следнее означает, что имеется точный способ, с помощью которого всегда можно определить, относится ли некоторый символ к числу исходных символов языка, а для каждой последовательности исходных символов можем определить, представляет ли она терм или формулу. Для термов и формул такой способ заключен в их индуктивных определениях. Так, в каждой формуле, содержащей логические константы (знаки логических операций), имеется главная, или, что то же, последняя, в построении формулы операции. Выделив ее, мы выделяем тем самым собственные подформулы этой формулы. В последних снова выделяем главную операцию и так далее, пока не дойдем до какой-либо атомарной форму­лы. Если в процессе такого анализа исходного выражения в какой-либо части его, не являющейся атомарной формулой, нельзя выделить знак главной операции, то эта часть не яв­ляется формулой, а следовательно, таковой не является все выражение. Возможность распознавания атомарных формул среди последовательностей символов является очевидной. (При констатации эффективности введенных понятий подразумевается так называемая абстракция отождествления согласно которой все различные случаи употребления некото­рого символа, например а, рассматриваются как различные экземпляры, одного и того же символа, и предполагается, что мы умеем узнавать символ, несмотря на некоторые, всегда имеющиеся различия в его написаниях.)

СВОБОДНЫЕ И СВЯЗАННЫЕ ВХОЖДЕНИЯ ПЕРЕМЕНЫХ В ФОРМУЛЫ

Каждый случай, когда в последовательности знаков, пред­ставляющей собой формулу А, встречается предметная пере­менная x, называется вхождением этой переменной; каждое вхождение в формулу А предметной переменной x в часть вида ∀x В или ∃ х В, называется связанным. Под­формула В формул указанного вида называется областью действия соответственно квантора общности ∀ и квантора существования ∃ с переменной x. Связанным является вхождение переменной, стоящей непосредственно за квантором, и каждое вхождение ее в область действия квантора. Всякое вхождение х в отличие от указанного, на­зывается свободным. Переменная х, имеющая связанные вхождения и формулу А, называется связанной в этой формуле; переменная, имеющая свободные вхождения в формулу А, называется свободной в этой формуле.

Обратим внимание на то, что согласно определению свободной и связанной переменной одна и та же переменная в одной и той же формуле может быть свободной и связанной. Такова, например, переменная x₁ в формуле ∀ x₁ P¹(x₁) ∨ Q²(x₁, x₂); переменная x₂

является здесь свобод­ной, но не связанной. Мы рассматриваем здесь только такие термы, в которых все переменные могут иметь лишь свобод­ные вхождения, и, значит, являются свободными переменны­ми. Формула и терм, не содержащие свободных переменных, называются соответственно замкнутой формулой и замкнутым т е р м о м (очевидно, что для рассмат­риваемых здесь термов, если терм замкнут, то он вообще не содержит переменных).

Семантику языка, как мы видели при анализе естественного языка, составляет совокупность предметных значений и смысловых содержаний его выражений. Но в данном случае, поскольку речь идет не об анализе уже имеющегося языка, а о построении — в данном случае логического формализованного языка —то семантикой называют совокупность правил приписывания значений выражениям этого языка. Точнее говоря, здесь даже не ставится задача построения какого-то определенного языка. Создается лишь некоторая схема язы­ка определенного типа, в данном случае так называемой классической логики предикатов первого порядка. Этот тип языка отличается от языков других типов, даже языков с тем же синтаксисом (например, языка интуиционистской логики предикатов, определенной системы релевантной логики) своей семантикой. Приписывание значений отдельным выражениям языка, составляющим дескриптивным терминам, употребляемым при построении формул, осуществляет­ся лишь в составе тех или иных формул и при этом различно от случая к случаю в зависимости от характера решаемых логических задач, (например, при переводе каких то высказываний с естественного языка на данный формализован­ный, при анализе логических отношений между формулами данного языка, при аксиоматизации некоторых теорий, а именно при формулировке их аксиом в языке данного типа). Совокупность всех правил приписывания значений выраже­ниям языка разбивается на следующие три группы (I,II,III).

I. Правила определения (задания) возможных значений предметных переменных и правила приписывания предмет­ных значений дескриптивным постоянным в составе рас­сматриваемых в том или ином случае формул—интерпрета­ция выражений языка. II. Правила приписывания значений свободным переменным в составе тех или иных рассматри­ваемых формулу. III. Правила приписывания истинностных значений интерпретированным формулам, не содержащим свободных переменных. I. Интерпретация состоит, во-первых, в выборе некоторо­го непустого множества D индивидов, предметов того или иного типа, к которым могут относиться образуемые из тех или иных формул языка высказывания. Индивиды — любые предметы в широком смысле этого слова, структура которых не учитывается, и которые можно отличать друг от друга. В качестве такой области D можно взять множество людей, растений, городов, чисел и т. д.; возможно, также объедине­ние в одной области множеств различных предметов, напри­мер, людей, городов, домов (положим, для выражения выска­зываний о местах жительства людей). Но при этом все различные предметы, рассматриваются именно как индивиды. Область D — это область возможных значений предметных переменных символы предметных переменных х, у, z, стано­вятся именно переменными лишь при указании области их возможных значений. Предполагается, что на области D определено некоторое множество свойств, отношений и характеристик предметно-функционального типа (то есть возможных значений предикаторов и предметных функторов).

Второй момент интерпретации языка состоит в задании некоторой функции φ

(интерпретационная функция) приписывания значений дескриптивным постоянным (предметным константам, предикаторам, предметным функторам опять-таки в составе рассматриваемых формул). Задание φ

в каж­дом конкретном случае представляет собой просто указание на то, какие значения должны быть приписаны упомянутым исходным символам языка в составе рассматриваемых формул. При этом предметным константам (простые постоянные термы) приписываются в качестве предметных значений определенные предметы из заданной области D. Предикатно­му (n-местному) символу P¸ⁿ при n =1 в качестве значения приписываются некоторые свойства а при n > 1 — n-местное отношение (между предметами В). Например, если область D есть множество целых положительных чисел, то предикат­ному символу P¹₁ можно приписать в качестве значения свойство «четно», а предикатору P²₁ отношение «больше» или «меньше». Предметному функтору fⁿ₁ в качестве пред­метного значения функция φ

приписывает какую-нибудь n-местную предметную функцию, определенную на обла­сти D. Например, для области чисел таковыми могут быть си­нус, косинус (одноместные функции), сумма, произведение (двухместные функции), для области людей — одноместные (возраст, рост), для области материальных тел — объем, удельный вес.

Значения сложных термов, каковыми являются также предметы из области D, и приписывание которых составляет их интерпретацию, вычисляются в зависимости от припи­санных уже значений их простым составляющим — пред­метным константам, предметным функторам, а также и воз­можным предметным переменным, значения которых при­писываются по правилам II. Вычисление происходит в соот­ветствии с правилами построения сложного терма. Сложные термы образуются, как мы видели, с применением предмет­ных функторов и строятся индуктивно. Значение такого тер­ма вычисляется последовательно в соответствии с порядком его построения.

Пример. Имеем терм f²₁(f²₁(a₁ , a₂), f²₂(a₁, a₃)).

Пусть область D — целые положительные числа, a₁ есть число 3, a₂ =4, a₃ = 5, f²₁ — сумма, f²₂ — произведение.

Тогда

f²₁(a₁ , a₂)=7;

f²₂(a₁, a₃)=15;

f²₁(f²₁(a₁ , a₂), f²₂(a₁, a₃))=22.

II. Свободным переменным в той или иной формуле (а тем самым и в составе термов этой формулы) в качестве значений приписывают, также как и постоянным термам, предметы из области D. Такие приписывания осуществляют­ся когда мы хотим получить из интерпретированной форму­лы со свободными переменными высказывание нашего язы­ка. Приписывание осуществляют заменой каждого вхожде­ния некоторой свободной переменной какой-либо предмет­ной константой с одновременной интерпретацией таковой, если она еще не была интерпретирована в формуле.

Будем говорить, что при осуществлении этих приписыва­ний в добавление к уже имеющейся интерпретации форму­лы, формула оказывается полностью интерпретированной.

Однако важно заметить, что формулы со свободными пе­ременными нужны не только для образования высказываний из них. Они представляют собой особые высказывательные формы, называемые предикатами. Это сложные знаковые формы возможных свойств предметов заданной области и возможных отношений среди этих предметов. По типу их предметных значений они должны быть отнесены к катего­рии предакаторов. Можно назвать их сложными предикаторами (в отличие от простых, указанных среди исходных сим­волов). Надо отметить, что эти формы не выделяются и даже не замечаются в естественных языках. Они играют, однако, решающую роль в теории понятия. Имея тот или иной предикат, можно ставить вопрос, для каких пред­метов, которые могут представлять свободные переменные, этот предикат выполняется или не выполняется. В таком слу­чае мы просто указываем предметы для соответствующих переменных (не осуществляя указанных подстановок пред­метных констант вместо них). Например, можно сказать, что предикат «(Р2(x, a₁) > ∃yQ2(x, y))», — выражающий свойство какого-то числа х из области натуральных чисел, состоящее в том, что «если это число больше 5 (знаками отношения «больше» и «5» является соответственно Р2 и a₁ то оно де­лится без остатка (Q2) на некоторое число у», выполняется для чисел 6, 8, 9 и т. д., но не выполняется для 7, 11 и др.

III. Приписывание истинностных значений полностью интерпретированным формулам.

Напомним, что полностью интерпретированная форму­ла — это формула, в которой осуществлена интерпретация дескриптивных постоянных и приписано значение всем сво­бодным переменным, если таковые имеются в ней. Каждая такая формула представляет собой определенное высказыва­ние — с определенным смыслом и истинностным значени­ем — но лишь при условии, если нам известны значения встречающихся в ней — явным или неявным образом — ло­гических констант, (которые и определяются рассматривае­мыми правилами III). Явным образом указываются — в сложных формулах — логические константы, перечислен­ные в списке исходных символов. Простые атомарные фор­мулы видов Pⁿ (t₁, …,tn)

по-видимому, не содержат логиче­ских констант. Однако, неявным образом здесь присутствует логическое отношение принадлежности свойства Р некото­рому предмету t при n= 1 или о наличии отношения Pⁿ меж­ду предметами t₁, …,tn из области D.

Определение значений всех логических терминов, как явно обозначенных, так и неявно содержащихся в форму­лах, осуществляется как раз посредством правил приписыва­ния истинностных значений полностью интерпретирован­ным формулам нашего языка (строго говоря, мы имеем здесь так называемое неявное определение логических констант, но они достаточны для понимания того, какой именно смысл они придают нашим высказываниям).

Правила эти таковы. Значение простого (атомарного) вы­сказывания Pⁿ (t₁, …,tn), n >= 1, определяется в зависимости от заданных значений термов t₁, …,tn и предикатора Pⁿ . Оно за­висит от характера предметов данной предметной области. Положим, имеем формулу: P²(f¹₁ (a₁), f¹₁(a₂)). Предположим, что согласно заданной интерпретации D — множество лю­дей: Р2 означает «больше»: f¹₁ «возраст»: a₁ — Петров, a₂ — Сидоров. Вся формула представляет собой высказывание «Возраст Петрова больше, чем возраст Сидорова». Высказывание истинно или ложно в зависимости от того, имеет или не имеет место данное отношение между возрастами Петрова и Сидорова.

Заметим, что в части лексики мы перевели здесь высказыва­ние, полученное из определенной формулы рассматриваемого язы­ка (ЯКЛП), по существу на обычный естественный русский язык. В самом ЯКЛП знаковой формой его является упомянутая формула. Подобные переводы обычно напрашиваются сами собой в силу того, что задание значений отдельных терминов — составляющих формулу — осуществляется посредством выражений естественно­го языка. Мы говорим «значение Р2 — больше, a₁ и a₂ — соответ­ственно Сидоров и Петров» и т. п.). Это значит, что приписывание предметных значений выражениям описываемого языка осуще­ствляется методом перевода их в тот или иной естественный язык. Может показаться, что при упомянутых переводах высказываний данного языка на естественный теряется та самая точность их вы­ражений, ради достижения которой как раз и строятся формализо­ванные языки. Однако точность здесь по сравнению с естествен­ными языками достигается не за счет более точною употребления отдельных терминов, — достаточная точность их уже должна быть обеспечена при осуществлении интерпретации выражений форма­лизованного языка — а за счет определенных, стандартных спосо­бов построения высказываний и их логических форм. И она имен­но сохраняется, или точнее сказать, должна сохраняться при ука­занных переводах.

Для сложных формул имеем, предполагая, что все составляю­щие их формулы полностью интерпретированы.

Формула вида А & В имеет значение «истина» — при данной интерпретации и приписывании значений свободным перемен­ным — е. т. е. А имеет значение И и В имеет значение И.

Формула A v В — истина е. т. е. значение А равно И или значе­ние В равно И.

Формуле вида А ⊃ В приписывается значение И е. т. е. А имеет значение Л или В имеет значение И.

Значением формул вида ¬А является И е.т.е. значение А есть Л.

Формула вида ∀х А(х) имеет значение «истина» е. т. е. для вся­кого предмета а(i) из D, А(а(i)) — истина (А(а(i)) — результат заме­щения всех свободных вхождений х в А(х) константой а(i)¹).

Формула вида ∃ х А(х) имеет значение истина е. т. е. существует предмет а в области D такой, что истинна формула A(a(i)).

Если значение некоторой формулы не является И, то она имеет значение Л, но никакая формула не имеет одновременно значения И и Л.

Как уже говорилось, правила приписывания истинностных зна­чений полностью интерпретированным формулам неявным обра­зом определяют также значения логических констант «&», «v», «⊃ », «¬» и кванторов ∀ и ∃ и вместе с тем и смыслы высказыва­ний, образованных посредством соответствующих констант. На­пример, высказывания вида ∀х А(х) , ∃ х А(х) ,относящиеся к неко­торой области индивидов D, мы должны понимать, соответственно, как «для всякого предмета х из D верно А(х}» и «существует пред­мет х в D такой, что верно А(х)». Нетрудно видеть, что &, v, ⊃ ,¬ , представляют собой здесь логические связки — знаки функций ис­тинности, — определенные ранее в разделе «Логика высказыва­ний», но теперь применительно к формулам ЯЛП.

Примеры

Определим значение формулы —

при условии, что область возможных значений переменных D есть множество целых положительных чисел, константам a₁ и a₂ приписаны соответственно числа 2 и 3, свободной пе­ременной у — значение 6; предикатный символ Р2 имеет в качестве значения отношения «делится». Ясно, что при ука­занной интерпретации данная формула выражает определен­ное высказывание: в переводе на русский язык, «Для всяко­го целого положительного числа х верно, что если оно делит­ся на 2 и на 3, то оно делится на 6». Ясно, что это высказы­вание и соответственно наша формула истинны. Рассмотрим формулу ∀x ∃y P²(y, x). Если D — множество людей, Р2 — отец, то она представляет собой высказывание «Для всякого человека х существует человек у такой, что он является от­цом первого».

Как уже сказано, полностью интерпретированные фор­мулы языка при учете правил III представляют собой выска­зывания этого языка, а интерпретированные формулы со свободными переменными — предикаты (знаковые формы сложных свойств и отношений соответствующей области предметов D). Неинтерпретированные формулы, не содержа­щие свободных переменных, — суть логические формы вы­сказываний, а со свободными переменными — логические формы предикатов. Однако предикаты могут трактоваться и трактуются в процессах выводов и доказательств, а также в определении отношения логическою следования и законов логики как специфические высказывания с какими-то подра­зумеваемыми значениями переменных, как это делается, на­пример, в записи математических уравнений.

Возможность различных истолкований формул со свободными переменными указывает на существование различных истолкова­ний или, как говорят, различных интерпретаций самих свободных переменных в формулах. Вообще различают три возможных ин­терпретации свободных переменных в составе формул ЯКЛП.

1) Предикатная интерпретация. Она означает, что свободные пере­менные в формуле рассматриваются как знаки пустых мест в предикате, на которые могут подставляться имена предметов из за­данной области D для образования высказываний из предикатов.

2) Условная интерпретация. 3) Интерпретация всеобщности.

При второй и третьей интерпретации свободных переменных формула, содержащая эти переменные, трактуется как высказыва­ние или логические формы таковых (в зависимости от того, явля­ются они интерпретированными или нет). При условной интерпре­тации некоторой переменной в нем эта переменная рассматривает­ся как знак какого-то — одного и того же во всех своих вхождени­ях — предмета из области D. А при интерпретации всеобщности какой-либо переменной она рассматривается как знак любого предметы из области D, но одного и того же во всех своих вхожде­ниях в формулу. Иначе говоря, высказывание со свободными пере­менными равносильно высказыванию, которое получается из дан­ного посредством связывания всех его свободных переменных, взятых в условной интерпретации, квантором существования, а пе­ременных, рассматриваемых в интерпретации всеобщности, кван­тором общности. В предыдущем описании семантики мы подразу­меваем предикатную интерпретацию свободных переменных. А высказывание, получаемое из предиката, — как результат приме­нения этого предиката к предметам, имена которых подставляются вместо свободных переменных. Однако в дальнейшем, например при анализе понятия следования, формулы со свободными пере­менными трактуются как высказывания с условной интерпрета­цией этих переменных.

Подчеркнем еще раз значение интерпретации (совокупность правил I). При наличии правил III, то есть при заданном понимании логических констант, определяющих тип языка, различные интерпретации порождают из заданной синтаксической системы фактически различные языки данного типа (в которых использует­ся каждый раз лишь какая-то часть исходных дескриптивных сим­волов).

В заключение данного раздела, касающегося семантики языка, важно заметить, что хотя правила приписывания зна­чений выражениям языка, составляющих в совокупности эту семантику, ориентированы на приписывание значений в ка­ких-то конкретных случаях, их основное значение состоит в том, что они указывают общие принципы, общие способы превращения формул языка в осмысленные выражения. При таком истолковании указанных правил семантика представ­ляет собой теорию означивания выражений данного языка (которую называют также теорией референ­ции).

Данные выше разъяснения относительно тех смыслов, которые формулы получают при интерпретации, указывают на принципы перевода высказываний языка логики предика­тов на естественный язык. Однако в них можно усмотреть решение и обратной задачи — перевод с естественного на язык логики предикатов, хотя здесь требуются и определен­ные дополнительные разъяснения. Прежде всего они связа­ны с отсутствием в формулах ЯЛП общих имен. Общие име­на здесь используются только для характеристики задавае­мой каждый раз при выражении некоторого высказывания области D значений предметных переменных. В составе са­мих формул общие имена — в предложениях обычного язы­ка — заменяются предикаторами. Так, предложение «Все студенты пединститута готовятся стать преподавателями» может быть переведено на язык логики предикатов двояко в зависимости от выбора значений переменных. Мы можем взять в качестве таковой «множество студентов пединститу­та». Обозначив тогда через P1 свойство «готовятся стать пре­подавателями», получим «∀x P'(x)». С учетом заданной об­ласти это должно быть прочитано как «всякий студент пе­динститута х готовится стать преподавателем». Для более полного выражения смысла высказывания можем взять в ка­честве области «студенты» вообще, а общее имя «студент пе­динститута» истолковать как предикатор, взяв для него, например, знак (предикатор) S1 получим ∀x (S1(x) ⊃ P1(x). Предложение звучит теперь так: «Для всякого студента х верно, что если он учится в пединституте, то он готовится стать преподавателем». Высказывание «Некоторые студенты пединститута готовятся стать преподавателями» при том же выборе области D и предикаторов запишется в виде ∃x(S(x)&P(x))

Обратите внимание, когда высказывание предваряет квантор общности (то есть исходное высказывание является общим), то далее используется логическая связка ⊃; в слу­чае, когда таковым является квантор существования (выска­зывание является частным), то для его записи на ЯЛП упо­требляется связка &.

Для полной записи предложения «Во всяком государстве имеется город, который является его столицей» напрашива­ется необходимость ввести предикаторы: государство с аргу­ментом — х (возьмем для обозначения из исходных симво­лов предикатор P1), город с аргументом — у (обозначим его Q), принадлежит — город у государству х (обозначим R2) и столица — город y государства х (обозначение S2). В таком случае возникает трудность с характеристикой области зна­чений переменных х, у. Можно считать, что таковой являет­ся множество населенных людьми территорий. Взяв в каче­стве области D множество таких территорий и используя указанные предикаторы, получим запись нашего суждения в ЯЛП: ∀x(P(x) ⊃ (∃y(Q(y)&R(y, x)&S(y, x))). Буквальное произ­несение его таково: «Для всякой населенной территории х верно, что если х есть государство, то существует населен­ная территория у, такая, что у — город и у принадлежит го­сударству х, а у есть столица х.

Как мы видели, высказывания естественного языка, под­лежащие переводу на ЯЛП, определенным образом стандар­тизируются, четко выделяются части высказывания: классы или отдельные предметы, о которых нечто утверждается (или отрицается). Если это классы, то выясняется, ко всем предметам класса или лишь к части их относится утвержде­ние или отрицание (соответственно употребляются кванторы общности ∀ или существования ∃). И наконец, определяется то, что именно в высказывании утверждается (или отрицает­ся). Примеры таких стандартизации высказываний есте­ственного языка, осуществленные еще до записи их на ЯЛП, читатель может найти в самом начале данного параграфа.

Логика предикатов формируется аналогично тому, как это происходит относительно логики высказываний. При на­личии определений логических констант — как логики вы­сказываний, так и логики предикатов, — последняя опреде­ляется введением понятий логического следования для фор­мул ЯЛП и закона логики предикатов.

Как и в логике высказываний, мы говорим, что для вы­сказываний A₀ и B₀ (выраженных теперь в описанном языке логики предикатов), имеет место отношение логического следования A₀ ⊨ B₀, если и только если оно имеет место для формул А и В1 представляющих собой логические формы указанных высказываний.

Последнее получается из A₀ и B₀ просто отвлечением от имеющихся значений их дескриптивных терминов. При этом, возможно, что A₀ или B₀ ,а также и то и другое, содер­жат свободные переменные и трактуются при этом как вы­сказывания с неопределенными истинностными значениями, в которых подразумевается, что каждая свободная перемен­ная имеет какое-то определенное значение (во всех местах, где она встречается в том или ином выводе или доказатель­стве, или вообще в некотором рассуждении).

Очевидно, что в упомянутых высказываниях со свободными переменными эти переменные имеют условную интерпретацию, которой мы будем придерживаться и в дальнейшем, хотя не ис­ключаем возможность употребления таких высказываний, напри­мер в выводах и доказательствах с интерпретацией всеобщности их свободных переменных. Строго говоря, именно условная интер­претация соответствует понятию логического следования. А в слу­чае интерпретации всеобщности при построении выводов и дока­зательств, требуются особые ограничения.

Отношение следования между формулами A₀ ⊨ B₀ имеет место е. т. е. при любой интерпретации дескриптивных тер­минов в А и В и при любых приписываниях значений сво­бодным переменным при истинности первого истинно и вто­рое, иначе говоря, ложно первое или истинно второе. Имеет­ся в виду при этом, что, во-первых, если некоторый дескрип­тивный термин каким-то образом интерпретирован в А, то таким же образом он интерпретирован и в В (конечно, при наличии его в этой формуле), а, во-вторых, всем свободным вхождениям одной и той же переменной в А и В приписыва­ется одно и то же значение. Из множества высказываний Г ₀

следует высказывание B ₀ если и только если это отношение имеет место соответствен­но между множеством формул Г и В, представляющих собой логические формы упомянутых высказываний. Последнее же отношение Г ⊨В имеет место, е. т. е. в составе Г имеется конечное подмножество формул А1, ..., Аn (n >= 1) такое, что (А1 & ... & Аn) ⊨ В. Последнее соотношение, как и в логике вы­сказываний, равносильно тому, что из множества высказы­ваний А1, ..., Аn следует В, что в свою очередь указывает на отмеченное ранее — в логике высказываний — свойство отношения следования, состоящее в том, что если некоторое высказывание следует из какого-то множества высказыва­ний, то оно является следствием также любого расширения этого множества.

Формула А описанного языка логики предикатов является законом данной логической системы, то есть (⊨А) е. т. е. при любой ее интерпретации и при любых приписываниях зна­чений ее свободным предметным переменным в заданной области D. Получаемое высказывание является истинным. Законы логики предикатов называются также универсально-общезначимыми формулами логики предикатов.

• Формула А называется общезначимой в некоторой области D е. т. е. она истинна при любых приписываниях значений ее дескриптивным терминам и свободным переменным в этой об­ласти D. Формула А называется выполнимой, если она истин­на при какой-нибудь интерпретации и при каком-нибудь при­писывании значений ее свободным предметным переменным. В противном случае она называется невыполнимой.

Поскольку в язык логики предикатов, как это иногда де­лается, мы не включаем пропозициональные переменные, никакая формула логики высказываний не является форму­лой логики предикатов. Однако из любого закона логики вы­сказываний получается закон логики предикатов при подста­новке вместо пропозициональных переменных любых фор­мул логики предикатов (при замене каждого вхождения ка­кой-нибудь пропозициональной переменной одной и той же формулой логики предикатов; хотя не исключается при этом замена разных пропозициональных переменных одной и той же формулой логики предикатов).

Так же, как и в логике высказываний, здесь введением указанных понятий — законов логики предикатов и логиче­ского следования — в сочетании с определениями логиче­ских констант задается бесконечное множество случаев от­ношения логического следования и бесконечное множество законов логики. Однако в отличие от логики высказываний мы не имеем теперь общих процедур для решения вопросов о том, имеет ли место отношение логического следования между множеством формул Г и формулой В (или между дву­мя формулами А и В) и является ли некоторая формула А за­коном логики. Эта специфика логики предикатов характери­зуется как неразрешимость этой теории относитель­но универсальной общезначимости формул. Эта ограничен­ность наших возможностей здесь является платой за отказ от принимаемых в логике высказываний абстракций относи­тельно структур некоторых высказываний.

Как и в логике высказываний, мы имеем здесь связь между отношением следования и закона­ми логики. Она позволяет сводить вопрос о наличии или отсутствии отношения следования для конечных множеств формул к вопросу о том, является ли некоторая формула универсально общезначимой. Имеется в виду связь

А1, .... Аn ⊨ В е. т. е. ⊨ (А1 ⊃ (А2⊃ (А2 ⊃ ... (Аn⊃ В) ...));

последняя же, как мы видели раньше, равносильна ⊨ ((А1 &А2 & ... &An) ⊃ В) — при любой расстановке скобок в конъюнкции согласно правилам построения формул.

В связи с отмеченной неразрешимостью логики предика­тов особое значение приобретает здесь формализация поня­тий следования и закона логики посредством построения ло­гических исчислений. Именно исчисление дает возможность во многих случаях синтаксическим образом решать вопрос, является ли некоторая формула законом, или соответственно есть ли некоторое отношение следования, когда мы не мо­жем решить этот вопрос посредством семантического анали­за. Для логики высказываний исчисление высказываний, во­обще говоря, не является необходимым. Оно скорее нужно как часть логического исчисления для формул ЯЛП.

В основе исчисления предикатов лежит язык логики пре­дикатов. В остальном оно является расширением исчисления высказываний.

Аксиоматическую систему исчисления предикатов мы по­лучим, добавив к перечисленным выше схемам аксиомати­ческого исчисления высказываний (имея в виду, конечно, переход к языку логики предикатов) следующие четыре схе­мы и одно правило:

1. ∀x A(x) ⊃ A(t) — схема ∀и .

2. A(t) ⊃∃х А(х) — схема ∃в.

3. ∀x (В ⊃ С(х)) ⊃ (В ⊃∀x С(х)) схема введения ∀ в консеквент .

4. ∀x (С(х) ⊃ В) ⊃ (∃x⊃C(x) ⊃ В) — схема введения ∃ в анте­цедент.

A(t) — результат правильной подстановки терма ( вместо х в А(х); В — не содержит х свободно.

Правило ∀в (правило введения квантора общности, иное

A(t) название: правило обобщения): —— (из А непосредственно

выводимо∀x A).

Формально мы сохраняем прежнее определение вывода и доказательства (ясно, что, по существу, изменение состоит в том, что теперь могут использоваться новые аксиомы и но­вое правило), однако, если мы хотим, чтобы отношение фор­мальной выводимости было аналогом семантического поня­тия следования, необходимо ограничить применение ∀в : оно может применяться к некоторой формуле А(х) для обобще­ния лишь по таким переменным х, которые не содержатся свободно в допущениях, от которых зависит эта формула. Чтобы смысл этого ограничения был ясным, мы должны определить понятие зависимости некоторой формулы выво­да от допущений (гипотез). Везде в дальнейшем будем иметь в виду выводы с анализом (то есть обоснованием каждого его шага ссылками либо на принадлежность формулы этого шага к множеству взятых гипотез или аксиом системы, либо на формулы, из которых она получатся, и используемые при этом правила).

Формула В данного вывода зависит от некоторого допу­щения А, если и только если: а) она есть само допущение А;

б) получается из некоторых формул по правилам системы (из С⊃В и С по m. р. или из С по ∀в), какая-нибудь из кото­рых зависит от А. Более простым образом понятие зависимо­сти разъясняется в описываемой далее системе натурального вывода, значительно проще осуществляются там сами выво­ды и доказательства.

НАТУРАЛЬНАЯ СИСТЕМА ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ

Постулатами системы (исходными правилами) являются все правила натуральной системы исчисления высказываний и правила для кванторов.

Правила вывода для выражений с кванторами:

∀в :

∀и :

∃в :

∃и :

Понятие вывода и доказательства остаются формально теми же, которые были сформулированы в исчислении вы­сказываний, разница лишь в том, что при ссылке на правила вывода теперь имеются в виду и вновь введенные правила для выражений с кванторами. К числу указанных в предыду­щем параграфе эвристических принципов введения допуще­ний может быть добавлен еще один.

Если в выводе получена формула ∃х А(х} и нужно вывес­ти В, не выводимую непосредственно из имеющихся фор­мул, вводим допущение А(х), применяя способ рассуждения согласно ∃и.

Рассмотрим несколько примеров выводов.

Схема доказательства формул вида: ¬∃x A(x) ⊃∀x¬A(x):

+ 1. ¬∃x A(x) (1).

+ 2. A(x) (2).

3. ∃x A(x) (2) – из 2, ∃в.

4. ¬ A(x) (1) – из 1,3, ¬в.

5. ∀x¬A(x) (1) – из 4, ∀в.

6. ¬∃x A(x) ⊃∀x¬A(x) ( - ) – из 5, ⊃в.

Схемы доказательств рассмотренных в аксиоматической системе аксиом «введения ∀ в консеквент» и «введения ∃ в антецедент»:

Предполагается, что А не содержит х свободно.

+ 1. ∀x (A ⊃ B(x)) (1).

+ 2. А (2).

3. A ⊃ В(х) (1) —из 1, ∀и.

4. В(х) (1, 2) —из3 и 2, ⊃и.

5. ∀x B(x) (1, 2) —из 4, ∀в.

6. A⊃∀x B(x) (1) —из5, ⊃в.

7. ∀x (A ⊃ B(x)) ⊃ (A ⊃∀x B(x)) ( - ) —из 6, ⊃в.

+ 1. A ⊃ (В(х) ⊃ A) (1).

+ 2. ∃x B(x) (2).

+ 3. В(х) (З).

4. В(х) ⊃ A (1)—из 1, ∀и.

5. А (1, 3) — из 3, 4, ⊃в.

6. A (1, 2)— из 5, ∃и.

7. ∃x B(x) ⊃ А (1)—из 6, ⊃в.

8. ∃x (B(x) ⊃ А) ⊃ (∃x B(x) ⊃ А) — из 7, ⊃в.

Сформулированное здесь исчисление, как и приведенная выше аксиоматическая система исчисления предикатов, представляет собой адекватную формализацию понятий ло­гического следования и закона логики. Это значит, что для них справедливы теоремы:

Г ⊨ B е. т. е. Г ⊢ B и ⊨ A е. т. е. ⊢ A.

В заключение параграфа в дополнение к ранее сформу­лированным эквивалентностям языка логики высказываний приведем схемы наиболее важных законов логики, относя­щихся к языку логики предикатов, которые читатель может использовать также в качестве упражнений для выводов и доказательств:

I. Взаимовыразимость кванторов:

1. ∀x A(x) ~ ¬∃x¬A(x). 2. ∃x A(x) ~ ¬∀x¬A(x).

II. Законы образования контрадикторной противополож­ности:

1. ¬∀x A(x) ~ ∃x¬A(x). 2. ¬∃x A(x) ~ ∀x¬A(x).

III. Законы пронесения кванторов:

1. ((∀x A(x) & ∀x B(x)) ~ ∀x(A(x) & B(x))).

2. ((∃x A(x) v ∃x B(x)) ~ ∃x (A(x) v B(x))).

3. (∃x (A(x) & B(x)) ⊃ (∃x A(x) & ∃x B(x))).

4. ((∀x A(x) v ∀x B(x)) ⊃ ∀x (A(x) v B(x))).

5. (∀x (A v B(x)) ~ (A v ∀x B(x))), если x не свободна в A.

6. (∃x (A & B(x)) ~ (A & ∃x B(x))), если х не свободна в А.

7. (∀x A(x) ⊃ B(x)) ⊃ (∀x A(x) ⊃ ∀x B(x))).

IV. Перестановка кванторов

1. ∀x ∀y A(x, y) ~ ∀y∀x A(x, y).

2. ∃x ∃y A(x, y) ~ ∃y ∃x A(x, y).

3. ∃x ∀y A(x, y) ⊃ ∀y ∃x A(x, y).

V. Исключение квантора общности и введение квантора существования.

1. ∀x A(x) ⊃ A(t). 2. A(t) ⊃ ∃x A(x).

В обоих случаях А(t) есть результат правильной подста­новки терма t вместо х в А(х).

VI. Законы устранения вырожденных кванторов. 1. ∀x А ~ А. 2. ∃x А ~ А, где А не содержит х свободно.

VII. Связь кванторов ∀ и ∃.

∀x A(x) ⊃ ∃x A(x).

Ясно, что приведенные эквивалентности также могут быть использованы в рассуждениях посредством эквивалент­ных преобразований.

Пример эквивалентных преобразований формулы

∀x (P(x) ⊃ ¬ Q(x)) ⊃ ¬ ∃x (P(x) & Q(x)).

с использованием некоторых из указанных в этом и пред­ыдущем параграфе схем эквивалентностей:

∀x (P(x) ⊃ ¬ Q(x)) ⊃ ¬ ∃x (P(x) & Q(x)) ≡

≡ ¬∀x (P(x) ⊃ ¬ Q(x)) v ¬ ∃x (P(x) & Q(x)) ≡

≡ ∃x ¬(P(x) ⊃ ¬ Q(x)) v ¬ ∃x (P(x) & Q(x)) ≡

≡ ∃x (P(x) & ¬¬ Q(x)) v ¬ ∃x (P(x) & Q(x)) ≡

≡ ∃x (P(x) & Q(x)) v ¬ ∃x (P(x) & Q(x)) ≡

≡ ∃x (P(x) & Q(x)) v ∀x¬ (P(x) & Q(x)) ≡

≡ ∃x (P(x) & Q(x)) v ∀x (¬P(x) & ¬Q(x)).

Разработанный в современной символической логике ме­тод построения логических исчислений является важнейшим ее результатом. Его теоретическая и практическая значи­мость состоит в том, что благодаря ему возникает возмож­ность доказательства любой формулы, представляющей за­кон логики, из бесконечного множества таких формул, а также осуществлять соответствующий вывод для любого слу­чая — опять-таки из бесконечного множества случаев от

ношения логического следования. В основе логических ис­числений, как мы видели, лежат специальные логические языки. Наряду с рассмотренными выше возможностями ис­пользования этих языков для решения многих логических вопросов, и в первую очередь для точного определения ос­новных понятий логики (логическое следование и закон ло­гики), следует заметить, что в этих языках имеются, по су­ществу, точные понятия логической формы и логического содержания мыслей, которые мы используем в дальнейшем.

Министерство образования Российской Федерации

Марийский Государственный Технический Университет

Факультет Информатики и Вычислительной Техники

Кафедра ИВС

Реферат

по математической логике и теории алгоритмов на тему:

“Структура исчисления предикатов

построение логического вывода”

Выполнили студенты I-го курса

Факультета ИВТ: Зубарев А., Столяров А.,

Докукин А., Китирисов Г.

Йошкар-Ола, 2003г.

Содержание:

Введение………………………………………………….1

Синтаксис языка логики предикатов …………………..1

Свободные и связные вхождения

переменных в формулы……………………3

Семантика языка логики предикатов…………………..4

Логика предикатов……………………………………...11

Логическое следование…………………………………11

Закон логики предикатов……………………………….12

Исчисление предикатов………………………………....13

Натуральная система исчисления предикатов………...15

Литература……………………………………………….16

Список литературы

1. Е. К. Войшвилло, М. Г. Дегтярев Логика, Москва, 2001.

2. А.А. Марков, Н. М. Нагорный Теория алгорифмов, Москва, 1984.