Структура сходящихся последовательностей

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

Определение: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {xn-а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {xn}.

В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.

Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно указать номер N такой, что при nіN все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:

|xn-a|

При этом число а называется пределом последовательности.

Некоторые свойства сходящихся последовательностей:

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {xn}. Тогда, используя специальное представление для элементов xn сходящейся последовательности {xn}, получим xn=а+an, xn=b+bn, где an и bn – элементы бесконечно малых последовательностей {an} и {bn}.

Вычитая данные соотношения, найдем an-bn=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {an-bn} имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {an} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {xn} - сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:

xn=а+an,

где an- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {an} ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |an|ЈА. Поэтому | xn | Ј |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {xn}. Теорема доказана.

Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {xn-a} и {xn+1-a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn-a) – (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |xn– xn+1| = 2 для любого номера n.

ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {хn} и {yn}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}. Тогда:

xn=а+an, yn=b+bn,

где {an} и {bn) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn + yn) - (а + b) =an+bn.

Таким образом, последовательность {(хn + yn) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn + yn} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {хn} и {yn}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}.Тогда:

xn=а+an, yn=b+bn,

где {an} и {bn) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn - yn) - (а - b) =an-bn.

Таким образом, последовательность {(хn - yn) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn - yn} сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {хn} и {yn}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}, то xn=а+an, yn=b+bn и xnЧyn=aЧb+aЧbn+bЧan+anЧbn. Следовательно,

xnЧyn-аЧb=aЧbn+bЧan+anЧbn.

(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {aЧbn+bЧan+anЧbn} бесконечно малая, и поэтому последовательность {xnЧyn-аЧb} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {xnЧyn} сходится и имеет своим пределом число аЧb. Теорема доказана.

ЛЕММА: Если последовательность {yn} сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.

Доказательство: Пусть . Так как b№0, то e>0. Пусть N – номер, соответствующий этому e, начиная с которого выполняется неравенство:

|yn-b|

из этого неравенства следует, что при nіN выполняется неравенство |yn|>. Поэтому при nіN имеем . Следовательно, начиная с этого номера N, мы можем рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена. Лемма доказана.

ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn} при условии, что предел {yn} отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}.

Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {yn} отличны от ноля и последовательность ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность . Пусть а и b – пределы последовательностей {xn} и {yn}. Докажем, что последовательность бесконечно малая. В самом деле, так как xn=а+an, yn=b+bn, то

.Так как последовательность ограничена, а последовательность бесконечно мала, то последовательность бесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.

ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству xnіb (xnЈb), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству аіb (aЈb).

Доказательство: Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xnіb. Предположим, что а

|xn-a|

Это неравенство эквивалентно

-(b-a)

Используя правое из этих неравенств мы получим xn

Элементы сходящейся последовательности {xn} могут удовлетворять строгому неравенству xn>b, однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если xn=1/n, то xn>0, однако .

Следствие 1: Если элементы xn и уn у сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn Ј уn, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству

Элементы последовательности {yn-xn} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что

Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {xn} находятся на сегменте (a,b), то и ее предел с также находится на этом сегменте.

Это выполняется, так как аЈxnЈb, то aЈcЈb.

ТЕОРЕМА: Пусть {xn} и {zn}- сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {yn}удовлетворяют неравенствам xnЈynЈzn. Тогда последовательность {yn} сходится и имеет предел а.

Доказательство: достаточно доказать, что {yn-a} является бесконечно малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполнятся также неравенства xn-а Ј yn-а Ј zn-а. Отсюда следует, что при nіN’ элементы последовательности {yn-a} удовлетворяют неравенству

|yn-a| Ј max {|xn-a|, |zn-a|}.

Так как и , то для любого e>0 можно указать номера N1 и N2 такие, что при nіN1 |xn-a|

Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

ПРИМЕРЫ

Последовательность сходится и имеет своим пределом ноль. Ведь каково бы ни было e>0, по свойству Архимеда вещественных чисел существует такое натуральное число ne, что ne>. Поэтому для всех nіne, а это означает, что .

Последовательность сходится и , что следует из того, что

, и того, что .

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА № 1

Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, … удовлетворяет условию

(m, n = 1, 2, 3, … ),

тогда последовательность

,…

должна либо расходиться к , причем предел этой последовательности будет равен ее нижней грани.

РЕШЕНИЕ:

Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай, когда нижняя грань a конечна. Пусть e>0 и a+e. Всякое целое число n может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1. Полагая единообразие а0=0, имеем:

an=aqm+rЈam+am+…+am+ar=qam+ar,

ЗАДАЧА № 2

Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, … удовлетворяет условию

тогда существует конечный предел

причем

(n = 1, 2, 3, … ).

РЕШЕНИЕ:

Из неравенств 2am-1

(*)

Ряд

сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходящимся рядом:

|a1|+2-1+2-2+2-3+…

запишем целое число n по двоичной системе:

n=2m+e12m-1+e22m-2+…+em (e1, e2, …, em = 0 или 1)

согласно предположению

Применяя теорему (1) для данных:

s0=0, s1=, sm-1=, sm=, …, pn0=0, pn1=, …, pn, m-1=,

, pn, m+1=0, …,

заключаем, что . Наконец, в силу (*) имеем:

ЗАДАЧА № 3

Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами lim inf и lim sup.

РЕШЕНИЕ:

Нам достаточно рассмотреть случай, когда частичные суммы s1, s2, …, sn, … ограничены. Пусть , , l - целое положительное число, l>2 и .

Разобьем числовую прямую на l интервалов точками

-Ґ, m+d, m+2d, …, M-2d, M-d, +Ґ.

Выберем такое N, чтобы для n>N выполнялось неравенство |sn-sn+1|N) лежит в первом интервале и sn2 (n2> n1) – в последнем. Тогда числа конечной последовательности не смогут “перепрыгнуть” ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной d. Аналогично рассуждаем и в том случае, когда последовательность будет не «медленно восходящей», а «медленно нисхожящей».

ЗАДАЧА № 4

Пусть для последовательности t1, t2, … , tn, … существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел …, что для каждого n

.Тогда числа t1, t2, … , tn, …лежат всюду плотно между их нижним и верхним пределами.

РЕШЕНИЕ:

Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности , произвольно медленно нисходящие от верхнего предела последовательности к ее нижнему пределу.

ЗАДАЧА № 5

Пусть v1, v2, … , vn, … - положительные числа, v1 Ј v2 Ј v3 … Совокупность предельных точек последовательности

, …

заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу).

РЕШЕНИЕ:

ЗАДАЧА № 6

Числовая последовательность, стремящаяся к , имеет наименьший член.

РЕШЕНИЕ:

Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших.

ЗАДАЧА № 7

Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой.

РЕШЕНИЕ:

При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности.

ЗАДАЧА № 8

Пусть l1, l2, l3, … , lm, … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых ln меньше всех предшествующих ему членов последовательности l1, l2, l3, … , ln-1.

РЕШЕНИЕ:

Пусть задано целое положительное число m и h – наименьшее из чисел l1, l2, l3, … , lm; h>0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем h. Пусть n – наименьший номер, для которого ln

n>m; ln

ЗАДАЧА № 9

Пусть l1, l2, l3, … , lm, … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых ln превосходит все следующие за ним члены ln+1, ln+2, ln+3,…

ЗАДАЧА № 10

Пусть числовые последовательности

l1, l2, l3, … , lm, … (lm>0),

s1, s 2, s 3, … , s m, … (s1>0, sm+1>sm, m=1, 2, 3, …)

обладают тем свойством, что

, .

Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства

ln>ln+1, ln>ln+2, ln>ln+3, …

lnsn>ln-1sn-1, lnsn>ln-2sn-2, … lnsn>l1s1,

РЕШЕНИЕ:

Будем называть lm «выступающим» членом последовательности, если lm больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть это будут:

,…

Каждый невыступающий член lv заключается (для v>n1) между двумя последовательными выступающими членами, скажем nr-1

значит

(*)

отсюда заключаем, что

Действительно, в противном случае , значит, в силу (*) и вся последовательность l1s1, l2s2, … были бы ограничены, что противоречит предположению. Теперь пусть задано целое положительное число m и h – наименьшее из чисел ,… ; h>0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем h. Пусть k – наименьший номер, для которого

k>m; .

ЗАДАЧА № 11

Если числовая последовательность ,… стремится к и А превышает ее наименьший член, то существует такой номер n (возможно несколько таких), nі1, что n отношений

все не больше А, а бесконечное множество отношений

,…все не меньше А.

РЕШЕНИЕ:

Имеем . Пусть минимум последовательности

L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, …

Будет Ln-nA; тогда

Ln-u-(n-u)Aі Ln-nA; Ln+v-(n+v)Aі Ln-nA,

u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0 исключено в силу предложений относительно А.

ЗАДАЧА № 12

Пусть относительно числовой последовательности l1, l2, l3, … , lm, … предполагается лишь, что

.Пусть, далее, А>l1. Тогда существует такой номер n, n і 1, что одновременно выполняются все неравенства

.Если А®Ґ, то также n®Ґ.

РЕШЕНИЕ:

Пусть

l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0.

Так как L1-A<0, то L0-0 не является минимумом в предыдущем решении. ln+1іA; поэтому ln+1, а следовательно и n должны стремиться к бесконечности одновременно с А.

ЗАДАЧА № 13

Пусть числовая последовательность l1, l2, l3, … , lm, … удовлетворяет условиям

Пусть, далее, l1>A>0. Тогда существует такой номер n, n і 1, что одновременно выполняются все неравенства

.Если А®0, то также n®0.

РЕШЕНИЕ:

Положим

l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0.

Тогда . Последовательность

L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, …, Lm-mA, …

стремится к -Ґ. Пусть ее наибольший член будет Ln-nA. Тогда интересующие нас неравенства будут выполняться для этого номера n.

В последовательности L0, L1, …, Lm, … содержится бесконечно много членов, превышающих все предыдущие. Пусть Ls будет один из них. Тогда числа:

все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, Ln) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.