Сетевые графики
СЕТЕВЫЕ ГРАФИКИТакие крупные проекты, как строительство дома, разработка автоматизированной системы бухгалтерского учета, изготовление станка и т.д. можно разбить на большое количество различных операций (работ). Одни операции могут выполняться одновременно, другие — только последовательно: одна операция после окончания другой. Например, при строительстве дома можно совместить во времени внутренние отделочные работы и работы по благоустройству территории, однако возводить стены можно только после того, как будет готов фундамент
Основные задачи планирования работ по осуществлению некоторого проекта:
определение времени возможного окончания как всего проекта в целом, так и отдельных работ, образующих проект;
определение резервов времени для выполнения отдельных работ;
определение критических работ, то есть таких работ, задержка в выполнении которых ведет к задержке выполнения всего проекта в целом;
управление ресурсами, если таковые имеются и т.п
Пусть некоторый проект W состоит из работ V 1 ,..., V n ; для каждой работы V k известно, или может быть достаточно точно оценено время ее выполнения t ( V k ). Кроме того, для каждой работы V k известен, возможно пустой, список ПРЕДШ( V k ) работ, непосредственно предшествующих выполнению работы V k . Иначе говоря, работа V k может начать выполняться только после завершения всех работ, входящих в список ПРЕДШ( V k )
В список работ проекта W добавим две фиктивные работы s и p , где работа s обозначает начало всего проекта W. а работа p — завершение работ по проекту W. При этом будем считать, что работа s предшествует всем тем работам v О W, для которых список ПРЕДШ(v) пуст, иначе говоря, для всех таких работ v О W положим ПРЕДШ(v)={s}. Положим далее ПРЕДШ(s) = Ж , ПРЕДШ( p )={v О W: v не входит ни в один список ПРЕДШ(w)}, то есть считаем, что работе p предшествуют все те работы, которые могут выполняться самыми последними. Время выполнения работ s и p естественно положить равными нулю: t(s)=t( p )=0
Весь проект W теперь удобно представить в виде сети G =( V , E , c ). Ориентированный взвешенный граф G =( V , E , c ) называется сетью. Сеть может быть представлена матрицей весов дуг, массивами смежностей СЛЕД или ПРЕДШ, или списками СЛЕД( v ) или ПРЕДШ( v ). При этом записи в списках смежности состоят из трех компонент: поля имени узла, поля веса соответствующей дуги и поля ссылки на следующую запись), где сеть G =( V , E , c ) определим по правилам:
V = W , то есть множеством узлов объявим множество работ;
E ={( v , w ) : v О ПРЕДШ(w)}, то есть отношение предшествования задает дуги в сети;
c(v,w)=t(w)
Построенную сеть G часто называют сетевым графиком выполнения работ по проекту W. Легко видеть, что списки смежностей этой сети ПРЕДШ(v) совпадают с заданными для проекта списками предшествующих работ ПРЕДШ(v)
Очевидно, что сетевой график любого проекта не должен содержать контуров. Действительно, пусть узлы V k 1 , V k 2 ,..., V kr = V k 1 образуют контур в сети G. Это означает, что работа V k 2 не может начаться раньше, чем будет завершена работа V k 1 , работа V k 3 — раньше, чем завершится работа V k 2 , и т.д., и, наконец, V kr = V k 1 — раньше, чем будет завершена работа V kr -1 . Но тогда никакая из работ V k 1 ,..., V kr никогда не сможет быть выполнена. А каждый реальный проект должен допускать возможность его завершения. Следовательно, в сетевом графике нет контуров
Отсутствие контуров в сети G позволяет пронумеровать работы проекта W таким образом, чтобы для каждой дуги ( V i , V j ) сети G выполнялось условие i < j , то есть каждая дуга идёт из узла с меньшим номером в узел с большим номером. Осуществить такую нумерацию узлов сети G можно с помощью алгоритма топологической сортировки. Поэтому в дальнейшем будем считать, что узлы в сети G топологически отсортированы
Конечной целью построения сетевой модели является получение информации о возможных сроках выполнения, как отдельных работ, так и о возможном сроке выполнения всего проекта в целом. Обозначим через PB ЫП( v ) (соответственно PHA Ч( v )) наиболее ранний возможный срок выполнения работы v (соответственно наиболее ранний возможный срок начала работы v). Удобно считать, что PB ЫП( s )= PHA Ч( s )=0. Поскольку начать выполнять работу v можно только после того, как будут выполнены все работы, предшествующие данной работе v, то получим следующие формулы для расчета значений PHA Ч( v ) и PB ЫП( w ) :
PHA Ч( v ) = МАКС{ PB ЫП( w ): w О ПРЕДШ(v)},
PBЫП(v)= PHAЧ(v) + t(v)
Значение PB ЫП( p ) дает наиболее ранний возможный срок завершения всего проекта в целом. Приведем запись алгоритма, непосредственно вычисляющего характеристики РНАЧ и РВЫП
Алгоритм 1.
Данные: Сетевой график G работ V , заданный списками ПРЕДШ( v ), v О V
Результаты: Наиболее ранние возможные сроки начала и выполнения работ РНАЧ( v ), РВЫП( v ), v О V
Объявить возможные ранние сроки начала РНАЧ( v ) и выполнения РВЫП( v ) работ равными нулю. Текущей вершиной объявить первую вершину v k = v 1.
Всем вершинам v предшествующим текущей вершине v k , значение РНАЧ( v k ) присвоить максимум из значений РВЫП( v ) и РНАЧ( v k ). Значение РВЫП( v k ) положить равным значению РНАЧ( v k ) плюс время выполнения самой работы текущей вершины t ( v k )
Если имеется следующая вершина (работа) после текущей, то объявить ее текущей вершиной v k , иначе перейти в Шаг 5
Вернуться в Шаг 2
Выдать наиболее ранние возможные сроки начала и выполнения работ РНАЧ(v), РВЫП(v), v О V, конец работы алгоритма
Пусть T — плановый срок выполнения проекта W. Ясно, что Т должно удовлетворять неравенству Т >= РВЫП( V n +1 )
Через ПВЫП( v ) (соответственно ПНАЧ( v )) обозначим наиболее поздний допустимый срок выполнения (начала) работы v , то есть такой срок, который не увеличивает срок Т реализации всего проекта
Значения возможных и допустимых сроков выполнения работ позволяют определить резервы времени для выполнения той или иной работы. Полный резерв (иногда его называют суммарный) времени выполнения работ определяется по формуле:
PE3EPB(v)=ПHAЧ(v)-PHAЧ(v)
Значение PE 3 EPB ( v ) равно максимальной задержке в выполнении работы v, не влияющей на плановый срок Т. Понятно, что справедливо и такое равенство: РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v)
Работы, имеющие нулевой резерв времени, называются критическими. Через любую такую работу проходит некоторый максимальный s- p -путь в сети G. Критические работы характеризуются тем, что любая задержка в их выполнении автоматически ведет к увеличению времени выполнения всего проекта
Приведем запись алгоритма, непосредственно вычисляющего характеристики ПВЫП и ПНАЧ
Алгоритм 2.
Данные: Сетевой график G работ V , заданный списками ПРЕДШ( v ), v О V , плановый срок окончания проекта – Т
Результаты: Наиболее поздние допустимые сроки выполнения и начала работ ПВЫП( v ) и ПНАЧ( v )
Объявить для всех работ v О V значение наиболее позднего срока выполнения работ равным Т – значению планового срока окончание проекта и вершину v p фиктивной работы p объявить текущей v k
Присвоить значение ПНАЧ текущей работы v k равным значению ПВЫП работы и вычесть время выполнения текущей работы
Присвоить значению ПВЫП(v) для всех работ v О ПРЕДШ(v) предшествующих текущей работе v k минимальное значение из значений ПВЫП выполнения роботы v или ПНАЧ выполнения текущей работы v k , если таковых нет перейти в Шаг 4
Если имеется предыдущая вершина (работа) к текущей, то объявить её текущей, иначе перейти в Шаг 6
Перейти в Шаг 2
Выдать наиболее поздние допустимые сроки выполнения и начала работ ПВЫП( v ) и ПНАЧ( v ), конец работы алгоритма
Проиллюстрируем работу приведенных алгоритмов на следующих примерах:
Пример 1 : Проект гаража для стоянки автопогрузчиков
n | Наименование работы | Предшествующие работы | Время выполнения t ( v k ) |
1 | Начало проекта (фиктивная работа) | Нет | 0 |
2 | Срезка растительного слоя грунта | 1 | 5 |
3 | Монтаж каркаса | 2 | 30 |
4 | Обшивка стен профнастилом | 3 | 15 |
5 | Кровля из профнастила | 3 | 12 |
6 | Заполнение проема воротами | 4 | 5 |
7 | Масляная окраска ворот и профнастила | 5,6 | 10 |
8 | Щебёночное основание под полы | 7 | 3 |
9 | Асфальтовое покрытие | 8 | 3 |
10 | Уборка строительного мусора после строит | 7 | 3 |
11 | Конец проекта (фиктивная работа) | 9,10 | 0 |
Найдем значения наиболее раннего начала и выполнения работ проекта посредством алгоритма 1. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n | Действия выполняемые шагом |
1 | Объявление значений РНАЧ( v ) и РВЫП( v ), v О V равными нулю. Текущая вершина v k =1 |
2 | Вершин предшествующей первой нет РВЫП(1)=РНАЧ(1)+ t (1). { РНАЧ(1) стало равным 0 } |
3 | Текущая вершина v k =2 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(2)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(2)} {РНАЧ(2) стало равным 0} РВЫП(2)=РНАЧ(2)+ t (2) {РВЫП(2) стало равным 5} |
3 | Текущая вершина v k =3 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(3)=МАКС{РВЫП(2),РНАЧ(3)} {РНАЧ(3) стало равным 5} РВЫП(3)=РНАЧ(3)+ t (3) {РВЫП(3) стало равным 35} |
3 | Текущая вершина v k =4 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(4)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(4)}{РНАЧ(4) стало равным 35} РВЫП(4)=РНАЧ(4)+ t (4) {РВЫП(4) стало равным 50} |
3 | Текущая вершина v k =5 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(5)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(5)}{РНАЧ(5) стало равным 35} РВЫП(5)=РНАЧ(5)+ t (5) {РВЫП(5) стало равным 47} |
3 | Текущая вершина v k =6 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(6)=МАКС{РВЫП(4),РНАЧ(6)}{РНАЧ(6) стало равным 50} РВЫП(6)=РНАЧ(6)+ t (6) {РВЫП(6) стало равным 55} |
3 | Текущая вершина v k =7 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(7)}{РНАЧ(7) стало равным 47} РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(7)}{РНАЧ(7) стало равным 55} РВЫП(7)=РНАЧ(7)+ t (7) {РВЫП(7) стало равным 65} |
3 | Текущая вершина v k =8 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(8)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(8)} {РНАЧ(8) стало равным 65} РВЫП(8)=РНАЧ(8)+ t (8) {РВЫП(8) стало равным 68} |
3 | Текущая вершина v k =9 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(9)=МАКС{РВЫП(8),РНАЧ(9)}{РНАЧ(9) стало равным 68} РВЫП(9)=РНАЧ(9)+ t (9) {РВЫП(9) стало равным 71} |
3 | Текущая вершина v k =10 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(10)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(10)}{РНАЧ(10) стало равным 65} |
3 | Текущая вершина v k =11 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(9),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 71} РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(10),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 71} |
3 | Переход в Шаг 5 |
5 | Конец работы алгоритма, выдача значений наиболее раннего начала и выполнения работ |
Таблица результатов работы алгоритма
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
РНАЧ( v ) | 0 | 0 | 5 | 35 | 35 | 50 | 55 | 65 | 68 | 65 | 71 |
РВЫП( v ) | 0 | 5 | 35 | 50 | 47 | 55 | 65 | 68 | 71 | 68 | 71 |
Получили, что минимальное время, требуемое для выполнения проекта равно Т=РВЫП(11), Т=71. Теперь найдем посредством алгоритма 2 значение времени наиболее позднего начала и выполнения работ. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n | Действия, выполняемые шагом |
1 | Объявление значений ПВЫП( v ), v О V равным Т Текущая вершина v k =11 |
2 | ПНАЧ(11)=ПВЫП(11)- t (11) {ПНАЧ(11) стало равным 71} |
3 | ПВЫП(9)=МИН{ПВЫП(9),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(9) стало равным 71} ПВЫП(10)=МИН{ПВЫП(10),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(10) стало равным 71} |
4 | Текущая вершина v k =10 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(10)=ПВЫП(10)- t (10) {ПНАЧ(10) стало равным 68} |
3 | ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(10)}{ПВЫП(7) стало равным 68} |
4 | Текущая вершина v k =9 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(9)=ПВЫП(9)- t (9) {ПНАЧ(9) стало равным 68} |
3 | ПВЫП(8)=МИН{ПВЫП(8),ПНАЧ(9)}{ПВЫП(8) стало равным 68} |
4 | Текущая вершина v k =8 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(8)=ПВЫП(8)- t (8) {ПНАЧ(8) стало равным 65} |
3 | ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(8)}{ПВЫП(7) стало равным 65} |
4 | Текущая вершина v k =7 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(7)=ПВЫП(7)- t (7) {ПНАЧ(7) стало равным 55} |
3 | ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(5) стало равным 55} ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(6) стало равным 55} |
4 | Текущая вершина v k =6 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(6)=ПВЫП(6)- t (6) {ПНАЧ(6) стало равным 50} |
3 | ПВЫП(4)=МИН{ПВЫП(4),ПНАЧ(6)}{ПВЫП(5) стало равным 50} |
4 | Текущая вершина v k =5 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(5)=ПВЫП(5)- t (5) {ПНАЧ(5) стало равным 43} |
3 | ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(5)}{ПВЫП(3) стало равным 43} |
4 | Текущая вершина v k =4 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(4)=ПВЫП(4)- t (4) {ПНАЧ(4) стало равным 35} |
3 | ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(4)}{ПВЫП(3) стало равным 35} |
4 | Текущая вершина v k =3 |
5 | Переход в шаг 2 |
2 | ПНАЧ(3)=ПВЫП(3)- t (3) {ПНАЧ(3) стало равным 5} |
3 | ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(3)}{ПВЫП(2) стало равным 5} |
4 | Текущая вершина v k =2 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(2)=ПВЫП(2)- t (2) {ПНАЧ(2) стало равным 0} |
3 | ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(2)}{ПВЫП(1) стало равным 0} |
4 | Текущая вершина v k =1 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(1)=ПВЫП(1)- t (1) {ПНАЧ(1) стало равным 0} |
3 | Переход в Шаг 4 |
4 | Переход в Шаг 6 |
6 | Конец работы алгоритма, выдача значений времени наиболее позднего начала и выполнения работ |
Дадим таблицу результатов работы алгоритма с результатами предыдущего алгоритма и сосчитаем резерв времени для каждой работы по формуле PE 3 EPB ( v )=ПНАЧ( v )- PHA Ч( v ) или РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v)
Работы | РНАЧ | РВЫП | ПНАЧ | ПВЫП | Резерв |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
2 | 0 | 5 | 0 | 5 | 0 |
3 | 5 | 35 | 5 | 35 | 0 |
4 | 35 | 50 | 35 | 50 | 0 |
5 | 35 | 47 | 43 | 55 | 8 |
6 | 50 | 55 | 50 | 55 | 0 |
7 | 55 | 65 | 55 | 65 | 0 |
8 | 65 | 68 | 65 | 68 | 0 |
9 | 68 | 71 | 68 | 71 | 0 |
10 | 65 | 68 | 68 | 71 | 3 |
11 | 71 | 71 | 71 | 71 | 0 |
Из таблицы видно, что критическими работами являются 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, которые и образуют в сети G критический путь. Расчеты выполнены при Т=71
Пример 2 : Проект водоснабжения и наружной канализации при застройки квартала по ул. Токарей-Синяева в г. Екатеринбурге
n | Наименование работы | Предшествующие работы | Время выполнения t ( v k ) |
1 | Начало проекта (фиктивная работа) | Нет | 0 |
2 | Разработка грунта экскаваторами с ковшом 0.5 м 3 с погрузкой на автомобили-самосвалы | 1 | 16 |
3 | Зачистка дна и стенок с выкидкой грунта | 2 | 10 |
4 | Монтаж водопроводных колодцев | 1 | 32 |
5 | Монтаж плит перекрытий из легкого бетона | 3 | 21 |
6 | Пробивка в бетонных стенах и полах отверстий | 5 | 5 |
7 | Оклейка плит рубероидом и гидроизолом на нефтебитуме в 1 слой | 4,5 | 14 |
8 | Заделка сальников при проходе труб через фундаменты или стены подвалов | 5 | 10 |
9 | Монтаж скоб | 6 | 7 |
10 | Устройство стяжек цементных | 9 | 5 |
11 | Конец проекта. (фиктивная работа) | 7,8,10 | 0 |
Найдем значения наиболее раннего начала и выполнения работ проекта посредством алгоритма 1. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n | Действия, выполняемые шагом |
1 | Объявление значений РНАЧ( v ) и РВЫП( v ), v О V равным нулю Текущая вершина v k =1 |
2 | Вершин предшествующей первой нет Значение РНАЧ(1)=РВЫП(1)+ t (1) |
3 | Текущая вершина v k =2 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(2)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(2)}{РНАЧ(2) стало равным 0} РВЫП(2)=РНАЧ(2)+ t (2) {РВЫП(2) стало равным 16} |
3 | Текущая вершина v k =3 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(3)=МАКС{РВЫП(2),РНАЧ(3)}{РНАЧ(2) стало равным 16} РВЫП(3)=РНАЧ(3)+ t (3) {РВЫП(3) стало равным 26} |
3 | Текущая вершина v k =4 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(4)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(4)}{РНАЧ(4) стало равным 0} РВЫП(4)=РНАЧ(4)+ t (4) {РВЫП(4) стало равным 32} |
3 | Текущая вершина v k =5 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(5)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(5)}{РНАЧ(5) стало равным 26} РВЫП(5)=РНАЧ(5)+ t (5) {РВЫП(5) стало равным 47} |
3 | Текущая вершина v k =6 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(6)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(6)}{РНАЧ(6) стало равным 47} РВЫП(6)=РНАЧ(6)+ t (6) {РВЫП(6) стало равным 52} |
3 | Текущая вершина v k =7 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(7)}{РНАЧ(7) стало равным 47 РВЫП(7)=РНАЧ(7)+ t (7) {РВЫП(7) стало равным 61} |
3 | Текущая вершина v k =8 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(8)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(8)}{РНАЧ(8) стало равным 47} РВЫП(8)=РНАЧ(8)+ t (8) {РВЫП(8) стало равным 57} |
3 | Текущая вершина v k =9 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(9)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(9)}{РНАЧ(9) стало равным 52} РВЫП(9)=РНАЧ(9)+ t (9) {РВЫП(9) стало равным } |
3 | Текущая вершина v k =10 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(10)=МАКС{РВЫП(9),РНАЧ(10)}{РНАЧ(10) стало равным 59} РВЫП(10)=РНАЧ(10)+ t (10) {РВЫП(10) стало равным 64} |
3 | Текущая вершина v k =11 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 61} РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(8),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало рвным 61} РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(10),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 64} РВЫП(11)=РНАЧ(11)+ t (11) {РВЫП(11) стало равным 64} |
3 | Переход в Шаг 5 |
5 | Конец работы алгоритма, выдача значений наиболее раннего начала и выполнения работ |
Таблица результатов работы алгоритма
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
РНАЧ( v) | 0 | 0 | 16 | 0 | 26 | 47 | 47 | 47 | 52 | 59 | 64 |
РВЫП( v ) | 0 | 16 | 26 | 32 | 47 | 52 | 61 | 57 | 59 | 64 | 64 |
Получили, что минимальное время, требуемое для выполнения проекта равно Т=РВЫП(11), Т=64. Теперь найдем посредством алгоритма 2 значение времени наиболее позднего начала и выполнения работ. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n | Действия, выполняемые шагом |
1 | Объявление значений ПВЫП( v ), v О V равным Т Текущая вершина v k =11 |
2 | ПНАЧ(11)=ПВЫП(11)- t (11) {ПНАЧ(11) стало равным 64} |
3 | ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(7) стало равным 64} ПВЫП(8)=МИН{ПВЫП(8),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(8) стало равным 64} ПВЫП(10)=МИН{ПВЫП(10),ПНАЧ(10)}{ПВЫП(9) стало равным 64} |
4 | Текущая вершина v k =10 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(10)=ПВЫП(10)- t (10) {ПНАЧ(10) стало равным 59} |
3 | ПВЫП(9)=МИН{ПВЫП(9),ПНАЧ(10)} {ПВЫП(9) стало равным 59} |
4 | Текущая вершина v k =9 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(9)=ПВЫП(9)- t (9) {ПНАЧ(9) стало равным 52} |
3 | ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(9)}{ПВЫП(6) стало равным 52} |
4 | Текущая вершина v k =8 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(8)=ПВЫП(8)- t (8) {ПНАЧ(8) стало равным 54} |
3 | ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(8)}{ПВЫП(5) стало равным 54} |
4 | Текущая вершина v k =7 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(7)=ПВЫП(7)- t (7) {ПНАЧ(7) стало равным 50} |
3 | ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(5) стало равным 50} ПВЫП(4)=МИН{ПВЫП(4),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(4) стало равным 50} |
4 | Текущая вершина v k =6 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(6)=ПВЫП(6)- t (6) {ПНАЧ(6) стало равным 47} |
3 | ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(6)}{ПВЫП(5) стало равным 47} |
4 | Текущая вершина v k =5 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(5)=ПВЫП(5)- t (5) {ПНАЧ(5) стало равным 26} |
3 | ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(5)}{ПВЫП(3) стало равным 26} |
4 | Текущая вершина v k =4 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(4)=ПВЫП(4)- t (4) {ПНАЧ(4) стало равным 18} |
3 | ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(4)}{ПВЫП(1) стало равным 18} |
4 | Текущая вершина v k =3 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(3)=ПВЫП(3)- t (3) {ПНАЧ(3) стало равным 16} |
3 | ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(3)}{ПВЫП(2) стало равным 16} |
4 | Текущая вершина v k =2 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(2)=ПВЫП(2)- t (2) {ПНАЧ(2) стало равным 0} |
3 | ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(2)}{ПВЫП(1) стало равным 0} |
4 | Текущая вершина v k =1 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(1)=ПВЫП(1)- t (1) {ПНАЧ(1) стало равным 0} |
3 | Переход в Шаг 4 |
4 | Переход в Шаг 6 |
6 | Конец работы алгоритма, выдача значений времени наиболее позднего начала и выполнения работ |
Дадим таблицу результатов работы алгоритма с результатами предыдущего алгоритма и сосчитаем резерв времени для каждой работы по формуле PE 3 EPB ( v )=П HA Ч( v )- PHA Ч( v ) или РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v)
Работы | РНАЧ | РВЫП | ПНАЧ | ПВЫП | Резерв |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
2 | 0 | 16 | 0 | 16 | 0 |
3 | 16 | 26 | 16 | 26 | 0 |
4 | 0 | 32 | 18 | 50 | 32 |
5 | 26 | 47 | 26 | 47 | 0 |
6 | 47 | 52 | 47 | 52 | 0 |
7 | 47 | 61 | 50 | 64 | 3 |
8 | 47 | 57 | 54 | 64 | 10 |
9 | 52 | 59 | 52 | 59 | 0 |
10 | 59 | 64 | 59 | 64 | 0 |
11 | 59 | 64 | 64 | 64 | 0 |
Из таблицы видно, что критическими работами являются 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, которые и образуют в сети G критический путь. Расчеты выполнены при Т=64
Пример 3 : Проект склада сажи и других материалов в помещение производственного цеха
n | Наименование работы | Предшествующие работы | Время выполнения t ( v k ) |
1 | Начало проекта (фиктивная работа) | Нет | 0 |
2 | Монтаж металлоконструкций нижней обвязки каркаса | 1 | 5 |
3 | Устройство бетона под стойки | 2 | 3 |
4 | Монтаж стоек | 3 | 10 |
5 | Монтаж опорных столиков | 4 | 5 |
6 | Монтаж балок | 2 | 7 |
7 | Монтаж металлоконструкций ворот | 6 | 7 |
8 | Обшивка стен и кровли волнистым листом | 6 | 12 |
9 | Монтаж козлового крана | 7 | 5 |
10 | Устройство асфальтобетонных покрытий | 8 | 5 |
11 | Конец проекта (фиктивная работа) | 5,9,10 | 0 |
Найдем значения наиболее раннего начала и выполнения работ проекта посредством алгоритма 1. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n | Действия, выполняемые шагом |
1 | Объявление значений РНАЧ( v ) и РВЫП( v ), v О V равным нулю Текущая вершина v k =1 |
2 | Вершин предшествующей первой нет Значение РНАЧ(1)=РВЫП(1)+ t (1) |
3 | Текущая вершина v k =2 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(2)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(2)} {РНАЧ(2) стало равным 0} РВЫП(2)=РНАЧ(2)+ t (2) {РВЫП(2) стало равным 5} |
3 | Текущая вершина v k =3 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(3)=МАКС{РВЫП(2),РНАЧ(3)} {РНАЧ(3) стало равным 5} РВЫП(3)=РНАЧ(3)+ t (3) {РВЫП(3) стало равным 8} |
3 | Текущая вершина v k =4 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(4)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(4)} {РНАЧ(4) стало равным 8} РВЫП(4)=РНАЧ(4)+ t (4) {РВЫП(4) стало равным 18} |
3 | Текущая вершина v k =5 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(5)=МАКС{РВЫП(4),РНАЧ(5)} {РНАЧ(5) стало равным 18} РВЫП(5)=РНАЧ(5)+ t (5) {РВЫП(5) стало равным 23} |
3 | Текущая вершина v k =6 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(6)={РВЫП(2),РНАЧ(6)} {РНАЧ(6) стало равным 5} РВЫП(6)=РНАЧ(6)+ t (6) {РВЫП(6) стало равным 12} |
3 | Текущая вершина v k =7 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(7)} {РНАЧ(7) стало равным 12} РВЫП(7)=РНАЧ(7)+ t (7) {РВЫП(7) стало равным 19} |
3 | Текущая вершина v k =8 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(8)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(8)} {РНАЧ(8) стало равным 12} РВЫП(8)=РНАЧ(8)+ t (8) {РВЫП(8) стало равным 24} |
3 | Текущая вершина v k =9 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(9)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(9)} {РНАЧ(9) стало равным 19} РВЫП(9)=РНАЧ(9)+ t (9) {РВЫП(9) стало равным 24} |
3 | Текущая вершина v k =10 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(10)=МАКС{РВЫП(8),РНАЧ(10)} {РНАЧ(10) стало равным 24} РВЫП(10)=РНАЧ(10)+ t (10) {РВЫП(10) стало равным 29} |
3 | Текущая вершина v k =11 |
4 | Переход в Шаг 2 |
2 | РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(9),РНАЧ(11)} {РНАЧ(11) стало равным 24} РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(10),РНАЧ(10)}{РНАЧ(11) стало равным 29} РВЫП(11)=РНАЧ(11)+ t (11) {РВЫП(11) стало равным 29} |
3 | Переход в Шаг 5 |
5 | Конец работы алгоритма, выдача значений наиболее раннего начала и выполнения работ |
Таблица результатов работы алгоритма
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
РНАЧ( v ) | 0 | 0 | 5 | 8 | 18 | 5 | 12 | 12 | 19 | 24 | 29 |
РВЫП( v) | 0 | 5 | 8 | 18 | 23 | 12 | 19 | 24 | 24 | 29 | 29 |
Получили, что минимальное время, требуемое для выполнения проекта равно Т=РВЫП(11), Т=29. Теперь найдем посредством алгоритма 2 значение времени наиболее позднего начала и выполнения работ. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n | Действия выполняемые шагом |
1 | Объявление значений ПВЫП( v ), v О V равным Т Текущая вершина v k =11 |
2 | ПНАЧ(11)=ПВЫП(11)- t (11) {ПНАЧ(11) стало равным 29} |
3 | ПВЫП(9)=МИН{ПВЫП(9),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(9) стало равным 29} ПВЫП(10)=МИН{ПВЫП(10),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(10) стало равным 29} |
4 | Текущая вершина v k =10 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(10)=ПВЫП(10)-t(10) {ПНАЧ(10) стало равным 24} |
3 | ПВЫП(8)=МИН{ПВЫП(8),ПНАЧ(10)}{ПВЫП(8) стало равным 24} |
4 | Текущая вершина v k =9 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(9)=ПВЫП(9)- t (9) {ПНАЧ(9) стало равным 24} |
3 | ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(9)}{ПВЫП(7) стало равным 24} |
4 | Текущая вершина v k =8 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(8)=ПВЫП(8)- t (8) {ПНАЧ(8) стало равным 12} |
3 | ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(8)}{ПВЫП(6) стало равным 12} |
4 | Текущая вершина v k =7 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(7)=ПВЫП(7)- t (7) {ПНАЧ(7) стало равным 17} |
3 | ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(6) стало равным 12} |
4 | Текущая вершина v k =6 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(6)=ПВЫП(6)- t (6) {ПНАЧ(6) стало равным 5} |
3 | ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(6)}{ПВЫП(2) стало равным 5} |
4 | Текущая вершина v k =5 |
5 | Переход в шаг 2 |
2 | ПНАЧ(5)=ПВЫП(5)- t (5) {ПНАЧ(5) стало равным 24} |
3 | ПВЫП(4)=МИН{ПВЫП(4),ПНАЧ(5)}{ПВЫП(4) стало равным 24} |
4 | Текущая вершина v k =4 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(4)=ПВЫП(4)- t (4) {ПНАЧ(4) стало равным 14} |
3 | ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(4)}{ПВЫП(3) стало равным 14} |
4 | Текущая вершина v k =3 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(3)=ПВЫП(3)- t (3) {ПНАЧ(3) стало равным 11} |
3 | ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(3)}{ПВЫП(2) стало равным 5} |
4 | Текущая вершина v k =2 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(2)=ПВЫП(2)- t (2) {ПНАЧ(2) стало равным 0} |
3 | ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(2)}{ПВЫП(1) стало равным 0} |
4 | Текущая вершина v k =1 |
5 | Переход в Шаг 2 |
2 | ПНАЧ(1)=ПВЫП(1)- t (1) {ПНАЧ(1) стало равным 0} |
3 | Переход в Шаг 4 |
4 | Переход в Шаг 6 |
6 | Конец работы алгоритма, выдача значений времени наиболее позднего начала и выполнения работ |
Дадим таблицу результатов работы алгоритма с результатами предыдущего алгоритма и сосчитаем резерв времени для каждой работы по формуле PE 3 EPB ( v )=П HA Ч( v )- PHA Ч( v ) или РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v)
Работы | РНАЧ | РВЫП | ПНАЧ | ПВЫП | Резерв |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
2 | 0 | 5 | 0 | 5 | 0 |
3 | 5 | 8 | 11 | 14 | 3 |
4 | 8 | 18 | 14 | 24 | 10 |
5 | 18 | 23 | 24 | 29 | 5 |
6 | 5 | 12 | 5 | 12 | 0 |
7 | 12 | 19 | 17 | 24 | 7 |
8 | 12 | 24 | 12 | 24 | 0 |
9 | 19 | 24 | 24 | 29 | 5 |
10 | 24 | 29 | 24 | 29 | 0 |
11 | 29 | 29 | 29 | 29 | 0 |
Из таблицы видно, что критическими работами являются 1, 2, 6, 8, 10, 11, которые и образуют в сети G критический путь. Расчеты выполнены при Т=29
Список используемой литературы:
1. Асанов М. О. «Дискретная оптимизация», УралНАУКА, Екатеринбург 1998