Несобственный интеграл с несколькими особенностями

НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С НЕСКОЛЬКИМИ ОСОБЕННОСТЯМИ

Дадим определение сначала несобственному интегралу

Пусть w собственная или правая несобственная точка числовой прямой. Функция f : ( a ; w ) R интегрируема по Риману на любом отрезке ( a , b ) О ( a , w )

Тогда, если существует:

То его величина обозначается

Такой интеграл называется несобственным интегралом функции f на промежутке ( a , w )

Если предел не существует или равен бесконечности, то говорят,что данный интеграл расходится. Если предел существует и равен конечному числу, то говорят, что данный интеграл сходится

Если функция f неотрицательна и непрерывна на промежутке ( a , b ) ( b может быть бесконечным), то несобственный интеграл равен площади неограниченного открытого множества G ={( x , y ): a < x < b ,0< y < f ( x )}

Аналогично определяется несобственный интеграл на полуинтервале ( a , b )

Если функция определена на интервале ( a , b ) и неограниченна в точках a и b и при некотором выборе точки с ( a , b ) существуют несобственные интегралы на полуинтервалах ( a , c ) и( c , b ), c О ( a , b )

При этом существование и значение данного интеграла не зависит от выбора точки с . Тогда

f ( x )

0 a k c l b X

Это и есть несобственный интеграл с двумя особенностями

Если функция f :< a , b > R имеет на промежутке < a , b > конечное число особых точек и Т: a = k 1< k 2<…< kn = b _ такое разбиение < a , b >, что на каждом из< ki , ki +1>, i =1 ё n , особой точкой функции является только одна из концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов c ходится :

то

сходится

Аналогично, интеграл расходится, значит

расходится

Это означает то, что данный интеграл либо имеет бесконечную величину либо не имеет конкретного значения

На рисунка представлен несобственный интеграл с несколькими особенностями

f ( x )

0 a = k 1 k 2……… ki ……. kn -1 kn = b (+ в данном случае)

Рассмотрим несколько примеров

Пример 1.

Приведем пример, на котором отчетливо можно проследить разницу между понятием «предел не существует» и «предел равен бесконечности». Интеграл расходится при b

На рисунке видно, что в зависимости от значения b площадь под графиком принимает значения от 0 д2. Однако b не определена конкретно, значит не существует и предел

+ + + b ? b ? X

0 p - 2 p - - b ? b ? ( )

Пример 2

На концах отрезка (0,2) подынтегральная функция определена. Но x =1 является особой точкой

Прежде чем решать этот интеграл, следует проверить на сходимость следующие интегралы:

Сначала рассмотрим

F ( b )= ln ((1- x )/(1+ x )) не имеет предела при b 1 значит исходный интегралы расходятся

Но следует заметить, что прежде чем исследовать несобственный интеграл на сходимость, полезно внимательно изучить подынтегральную функцию, найти ее особые точки и построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке (0,2) выглядит примерно так

0 1 2 X

Пример 3

Интеграл сходится - его значение стремится к -4

Предел:

Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов

1)Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f непрерывна на ( a , b ), и F - первообразная f .Тогда

Здесь еще раз необходимо напомнить,что перед применением формулы следует убедиться в непрерывности f ( x )

2)Линейность несобственного интеграла

Если несобственные интегралы

Сходятся,то для любых чисел m , n сходятся несобственный интеграл

3)Интегрирование по частям

Если функции u = u ( x ), v = v ( x ) непрерывно дифференцируемы на промежутке ( a , b ),то

Причем,если любые два из выражений

имеют смысл (т.е.их пределы конечны),то имеет смысл и третье.Посмотрим пример(5):

Причем

4)Замена переменной в несобственном интеграле

Пусть функция f(x) непрерывна на (a,b); функция g(t) непрерывно дифференцируема на (t1,t2),причем g(t1)=a;b=limg(t),t t2;тогда

При этом интегралы в обеих частях равенства одновременно сходятся или расходятся. Может случиться, что при замене переменной несобственный интеграл становится собственным, и наоборот:

Пример 6:

Монотонность несобственного интеграла

Если функции f(x) и g(x) интегрируемы по Риману в несобственном смысле на промежутке и f(x),то

Рисунок 6,7:

Y Y

g ( x )

g(x) f(x)

0 f(x) X 0 a b X

Следствие: f О R^;|f| О R^;

Рисунок 8:

| f |

+ + + +

0 a - -

В вышеперечисленных свойствах явно просматривается сходство с поведением обычных Римановских интегралов. Однако нельзя автоматически, без анализа, переносить все свойства собственных интегралов на несобственные интегралы. Например, если функции f , g интегрируемы по Риману на< a , b > в собственном смысле, то их произведение fg тоже интегрируемо. Для несобственных интегралов это свойство выполняется не всегда:

Пример7:

f = g =1/ Ц x на промежутке (0,1)

т.е. сходится, а для fg =1/ x

Интеграл расходится, функция fg =1/ x не интегрируема в несобственном смысле на (0,1)

Несобственные интегралы от знакопостоянных функций

В курсе математического анализа встречаются несобственные интегралы, значение которых точно вычислить затруднительно, например (8.1)

и тогда перед студентом ставится задача: исследовать несобственный интеграл на сходимость, не вычисляя его значения. Для этого необходимо применять следующие методы:

Признак сравнения

Основной признак для исследования сходимости несобственных интегралов от знакопостоянных функций. Суть его сводится к подбору так называемой функции сравнения, несобственный интеграл от которой на заданном промежутке легко вычислить, и дать заключение о сходимости исходного интеграла, используя следующие утверждения:

Пусть функции f(x) и g(x) неотрицательны на полуинтервале (a,b) и f(x)

Справедливость утверждения можно осмыслить, посмотрев на рисунки 6 и 7.Здесь же необходимо заметить, что из сходимости

Для применения признака сравнения необходим набор “эталонных” функций. Основными являются степенные функции вида

Посмотрим, как ведут себя такие функции на промежутке (a, ), а также попробуем применить с их использованием признак сравнения

Если p=1:смотрим примеры 3 и 7.Интеграл расходится на промежутках (a, ) и на (a,b) (при неограниченности функции в точке b)

Теперь исследуем на сходимость некоторые функции:

Пример 8:

Пример 9:

Функции f(x) и g(x) знакопостоянны на (a;b), g(x)#0, на данном интервале, либо существует предел

Рассмотрим, как ведёт себя степенная функция на интервале (0;a):

Если подынтегральная функция обладает особой точкой x=b, тогда надо отыскать функцию сравнения в виде:

Исследование которой, при замене переменной y=x-b приведёт нас к только что рассмотренному случаю на интервале (0;a)

Пример 10

Видно, что интеграл расходится. На интервале (3;5) функция сравнения принимает следующий вид

Бывают случаи, когда для отыскания функции сравнения используется таблица эквивалентных замен

При x 0

Ln(1+x)~x

Sinx~x

Tgx~x

Arcsinx,arctgx~x

Нельзя забывать, что при x

Cosx, sinx - это ограниченные функции arctgx p /2,(- p /2 при x - ), arcctgx 0( p при x - )

При x 0 Arccosx,arcctgx p /2

Теперь вспомним пример 8.1

Решим с помощью правила Лопиталя:

Пример 11

Полученный интеграл расходится

Признаки Абеля-Дирихле сходимости несобственных инегралов

Этот признак заключается в том, что если функции f ( x ) и g ( x ):( a ; b ) R , то они удовлетворяют условиям:

а) при x b g ( x ) локально монотонна и ограничена на ( a ; b )

Пример 12

Справедливо:

Если g(x) и f(x) удовлетворяют условиям на интервале (a;b):

a)g(x) локально монотонна при x b,g(x) 0

Дадим определение несобственного интеграла от знакопеременных функций

Если интеграл

сходится, от функции f ( x ) называется абсолютно сходящейся,

И наоборот, если интеграл сходится абсолютно, то он сходится

Аналогично для расходящегося интеграла. При условии, что интеграл от |f(x)| расходится, а от f(x) –сходится, то несобственный интеграл сходится условно. Отметим, что для знакопостоянных функций абсолютная сходимость совпадает с обычной. В таких случаях и применяется признак Абеля-Дирихле