Обыкновенные дифференциальные уравнения

Рассмотрим систему

где – дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Пусть – некоторая траектория системы (1), содержащаяся при в ограниченной области . В дальнейшем будем также предполагать, что в замыкании области .

Введём в рассмотрение симметричную не особую матрицу , где – дважды непрерывно дифференцируемые вектор-функции, и дважды непрерывно дифференцируемую вектор-функцию , удовлетворяющую неравенству

.

Пусть – некоторая симметричная – матрица, –дифференцируемая функция, и –числовые последовательности, удовлетворяющие условиям , , . Здесь и – некоторые числа.

Введём также обозначение

.

Теорема. Пусть выполнено неравенство

1. .

Тогда если квадратичная форма на множестве положительно определена и выполнено неравенство

1. , то траектория орбитально асимптотически устойчива.

Если квадратичная форма на множестве не вырождена, может принимать отрицательные значения и выполнены неравенства

1. , , , то траектория будет орбитально неустойчивой.

Доказательство. Рассмотрим множество . Здесь – некоторое достаточно малое число.

Зафиксируем некоторую точку и будем изучать поверхность в некоторой достаточно малой окрестности точки . Из следует, что найдётся число такое, что , . Возьмём число , близкое к . В этом случае .Определим теперь отображение точки в гиперплоскость таким образом, чтобы

При этом число будем выбирать так, чтобы , а матрицу такой, чтобы имело место соотношение (2). Ясно, что

.

Здесь , считаем, что величина является большой. Отсюда следует, что для выполнения соотношения (2) достаточно, чтобы выполнялось равенство

Из соотношения (2) следует, что вектор ,нормальный к в точке , может быть определён следующим образом:

,

где

,

.

Заметим, что

.

Поэтому

.

Отсюда и из соотношения (3) получим, что

Покажем теперь, что траектория системы (1), проходящая в момент времени через точку , удовлетворяет с точностью до соотношению

Для этого отметим, что при малых .Поэтому вектор с точностью до принадлежит гиперплоскости , которая параллельна гиперплоскости, касательной к поверхности , и проходит через точку

.

Ясно также, что проходит через расположенную в гиперплоскости точку , где

.

Отсюда, из соотношения и того факта, что векторы, нормальные к и в точке , совпадают с точностью до , следует соотношение (5).

Из включения (5), равенства (4) и условия 1) теоремы вытекает при всех соотношение , где – некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству

.

Используя это неравенство, условия 2), 3) теоремы и стандартную ляпуновскую технику, получим утверждение теоремы.

В случае , , , , получим широко известный признак Пуанкаре.

Список использованных источников

1. Демидович Б. П. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970.
2. Леонов Г. А. Многомерный аналог признака орбитальной устойчивости Пуанкаре.// Дифференциальные уравнения, 1988 №9
3. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970.