Золотое сечение

Владивостокское художественное училищеРЕФЕРАТ

на тему: «Золотое сечение»

Выполнила: Миронова С.Д.

Группа: 1-1

Принял:

Владивосток

2000

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………

2. Золотое сечение – гармоническая пропорция…………………………………………

3. Второе золотое сечение…………………………………………………………………

4. Золотой треугольник (пентаграмма)...…………………………………………………

5. История золотого сечения………………………………………………………………

6. Ряд Фибоначчи…………………………………………………………………………..

7. Обобщенное золотое сечение…………………………………………………………..

8. Принципы формообразования в природе……………………………………………...

9. Золотое сечение и симметрия…………………………………………………………..

10. Разгадка тайны золотого сечения..................................................................................

11. Золотое сечение в скульптуре…………………………………………………………12. Золотое сечение в архитектуре………………………………………………………..13. Золотое сечение в живописи. Золотая спираль………………………………………

14. "Необходимо прекрасному зданию быть построенным

подобно хорошо сложенному человеку" (Павел Флоренский)……………………

15. Закономерности построения пространственной композиции парка……………….

Литература.......................................................................................................................

Введение

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

2. Золотое сечение – гармоническая пропорция

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;
на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x2 – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

3. Второе золотое сечение

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56.

Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

Рис. 3. Построение второго золотого сечения		Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.
Рис. 3.1. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника. 4. Золотой треугольник Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис. 4). Из подобия треугольников ACD и ABE можем вывести уже известную пропорцию: Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться. Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком. Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь не отступала. Не имея средств заплатить за лечение и уход, больной перед смертью попросил хозяина дома нарисовать у входа пятиконечную звезду, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать хозяина дома о том, каким образом она появились у входа. После рассказа хозяина гость щедро вознаградил его. Пентаграмма была хорошо известна и в Древнем Египте. Но непосредственно как эмблема здоровья она была принята лишь в Древней Греции. В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пяти-лепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция. Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой. Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией. Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
Рис. 6. Построение золотоготреугольника		Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.
5. История золотого сечения Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления. Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников. Рис. 7. Динамические прямоугольники Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления. Рис. 8. Античный циркуль золотого сечения В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным. В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии. Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого). Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное. В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать». Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера. Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности». Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд). Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов:
Рис. 9. Построение шкалы отрезков золотой пропорции
В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой». Рис. 10. Золотые пропорции в частях тела человека

Рис. 11. Золотые пропорции в фигуре человека

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи. В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д. 6. Ряд Фибоначчи С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Месяцы	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	и т.д.
Пары кроликов	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	и т.д.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16... 7. Обобщенное золотое сечение Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал. Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений. Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором – это сумма двух предыдущих чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами? Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через φS (n), то получим общую формулу φS (n) = φS (n – 1) + φS (n – S – 1). Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 – ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи. В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения xS+1 – xS – 1 = 0. Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 –знакомое классическое золотое сечение. Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи. Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезу о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики – новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах. С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами. Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S > 0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги» исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные; затем их отношения – числа рациональные. И лишь позже – после открытия пифагорейцами несоизмеримых отрезков – на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа – 10, 5, 2, – из которых уже по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа. Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа. В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной, – а не бесконечной, как думали ранее! – суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметик. 8. Принципы формообразования в природе Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали. Рис. 12. Спираль Архимеда Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни». Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Рис. 13. Цикорий Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. Рис. 14. Ящерица живородящая В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого. Рис. 15. Яйцо птицы Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин морфология. Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды. Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия. 9. Золотое сечение и симметрия Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

10. Разгадка тайны золотого сечения

Золотое сечение - это сечение отрезка на две части так, что длина большей части относится к длине меньшей части так же, как длина всего отрезка к длине большей части.

Золотой вурф - это последовательный ряд отрезков, когда смежные отрезки находятся в отношении золотого сечения.

Рассмотрим гармонический процесс колебаний струны.

На струне могут создаваться стоячие волны основной и высших гармоник (обертонов). Длины полуволн гармонического ряда соответствуют функции 1/N, где N - натуральное число. Длины полуволн могут быть выражены в процентах от длины полуволны основной гармоники: 100% 50% 33% 25% 20%... Возбудить ту или иную гармонику можно воздействием на соответствующий участок струны. В случае воздействия на произвольный участок струны будут возбуждаться все гармоники с различными амплитудными коэффициентами, которые зависят от координаты участка, от ширины участка и от частотно- временных характеристик воздействия.

Введем функцию восприимчивости струны к импульсному воздействию.

Учитывая разные знаки фаз четных и нечетных гармоник, получим знакопеременную функцию, которая в первом приближении соответствует функции Бесселя, а по большому счету Пси-функции Шредингера.

Выглядит она приблизительно следующим образом:

Если точку закрепления принять за начало отсчета, а середину струны за 100%, то максимум восприимчивости по 1-ой гармонике будет соответствовать 100%, по 2-й - 50%, по 3-ей - 33% и т.д.

Посмотрим, где будет наша функция пересекать ось абсцисс.

62% 38% 23.6% 14.6% 9% 5,6% 3.44% 2.13% 1.31% 0.81% 0.5% 0.31% 0.19% 0.12% ...

Это пропорция золотого вурфа. Каждое следующее число в 0.618 раз отличается от предыдущего. Получилось следующее:

Возбуждение струны в точке, делящей ее в отношении золотого сечения на частоте близкой к основной гармонике, не вызовет колебаний струны, т.е. точка золотого сечения - это точка компенсации, демпфирования.

Для демпфирования на более высоких частотах, к примеру на 4-ой гармонике, точку компенсации нужно выбрать в 4-ом пересечении функции с осью абсцисс.

Если мы создадим прямоугольный плоский резонатор электромагнитных колебаний, стороны которого относятся в пропорции золотого сечения, то колебания в таком резонаторе будут разделены по двум степеням свободы, т.к. колебания вдоль большей стороны не смогут возбудить колебаний вдоль меньшей стороны, т.к. для меньшей стороны длина большей стороны соответствует точке компенсации.

Теперь становится понятной причина, побудившая создать прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения на летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии. Это позволило сориентировать электромагнитные колебания по нужному направлению (вертикально или горизонтально). Далее, эти пропорции уже были отражены в архитектуре культовых сооружений и стали канонами искусства.

11. Золотое сечение в скульптуре

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния.

Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения.

Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому

скульпторы использовали их в своих произведениях.

Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения». Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям.

Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в

своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос.

Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что для взрослых мужчин это отношение равно = 1,625, а для взрослых женщин оно составляет = 1,6. Так что пропорции мужчин ближе к «золотому сечению», чем пропорции женщин. Было проведено большое число измерений на помещенных в журналах крупных портретах мужчин и женщин, на многих из них указанные отношения представляют «золотое сечение».

12. Золотое сечение в архитектуре

В книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое сечение» дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.

Другим примером из архитектуры древности является Пантеон.

Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал «золотое сечение».

Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, «золотое сечение» можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова (Ленинский проспект, д. 5).

Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.

Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 г.

При восстановлении здание приобрело более массивные формы. Не сохранилась и внутренняя планировка здания, о которой дают представления только чертеж нижнего этажа.

Многие высказывания зодчего заслуживают внимание и в наши дни. О своем любимом искусстве В. Баженов говорил: «Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания... К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождем является рассудок».

13. Золотое сечение в живописи

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.

Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете».

Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма.

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них.

Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

Сказка

Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: «Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научится, чтобы мог кормить сам себя». Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи.

Пришел первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел ее: как искусный мастер он сшил для нее красивую шелковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями – ведь он был ювелир. Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и еще умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула.

Братья бросились к ней и каждый кричал одно и то же: «Ты должна быть моей женой». Но женщина ответила: «Ты меня создал – будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил – будьте мне братьями. А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь».

Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, ее лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано – художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее храня, не может сдержать торжество.

Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель...

Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой.

Несмотря на успех, Леонардо был мрачен, положение во Флоренции показалось художнику тягостным, он собрался в дорогу. Не помогли ему напоминания о нахлынувших заказах.

Золотое сечение в картине И. И. Шишкина "Сосновая роща"

На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.

Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.

Золотое сечение в картине Леонардо да Винчи "Джоконда"

Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

Золотая спираль в картине Рафаэля "Избиение младенцев"

В отличии от золотого сечения ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре - спирали.

Многофигурная композиция, выполненная в 1509 - 1510 годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру "Избиение младенцев".

На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка,- вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мячом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается ...золотая спираль! Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.

Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции "Избиение младенцев" или только "чувствовал" ее. Однако с уверенностью можно сказать, что гравер Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствуют добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где она у нас обозначена лишь пунктиром. Эти элементы можно увидеть на окончательной гравюре Раймонди: арка моста, идущая от головы женщины,- в левой части композиции и лежащее тело ребенка - в ее центре. Первоначальную композицию Рафаэль выполнил в рассвете своих творческих сил, когда он создавал свои наиболее совершенные творения. Глава школы романтизма французский художник Эжен Делакруа (1798 - 1863) писал о нем: "В сочетании всех чудес грации и простоты, познаний и инстинкта в композиции Рафаэль достиг такого совершенства, в котором с ним еще никто не сравнился.

В самых простых, как и в самых величественных, композициях повсюду его ум вносит вместе с жизнью и движением совершенных порядок в чарующую гармонию". В композиции "Избиение младенцев" очень ярко проявляются эти черты великого мастера. В ней прекрасно сочетаются динамизм и гармония. Этому сочетанию способствует выбор золотой спирали за композиционную основу рисунка Рафаэля: динамизм ему придает вихревой характер спирали, а гармоничность - выбор золотого сечения как пропорции, определяющей развертывание спирали.

14. "Необходимо прекрасному зданию быть построенным подобно хорошо сложенному человеку"

(Павел Флоренский)

Можно ли “поверить алгеброй гармонию”? “Да”, – считал Леонардо и указал, как это сделать. “Золотое сечение” – не середина, а пропорция – несложное математическое соотношение, содержащее в себе “закон звезды и формулу цветка”, рисунок на хитиновом покрове животных, длину ветвей дерева, пропорции человеческого тела. Видишь гармоничную композицию, пропорциональное телосложение или здание, радующее глаз, – измерь и придешь к одной и той же формуле. Во времена Возрождения для проверки “закона гармонии” измеряли античные статуи, полтора века назад пропорции “золотого сечения” проверяли, соотнося длину ноги и туловища гвардейских солдат, – все совершенно точно.

Художник Александр Панкин исследует законы красоты… на знаменитых квадратах Казимира Малевича.

– В начале 80-х на лекции о Малевиче просят показать слайд “Черного квадрата”. После того как изображение появляется на экране, лектор строго произносит: “Переверните, пожалуйста”. Мы смеялись: трудно понять простому человеку, зачем такое рисовать. Это красиво?

– Исследуя картины Малевича с циркулем и с линейкой, я пришел к выводу, что они удивительно гармоничны. Здесь нет ни одного случайного элемента. Взяв единственный отрезок, – скажем, размер холста или сторону квадрата, – можно по одной формуле выстроить всю картину. Есть квадраты, все элементы которых соотносятся в пропорции “золотого сечения”, а знаменитый “Черный квадрат” нарисован в пропорции квадратного корня из двух.

– А вы рисуете эти пропорции на полях для полного сходства со школьной задачей по геометрии?

– То, чем я занимаюсь, можно назвать “объективным искусством”. На первый взгляд какое же это творчество, если не ставится задача выразить свою индивидуальность? Существует даже такое выражение – “художник узнаваем”. Но я обнаружил удивительную закономерность: чем меньше стремления самовыразиться, тем больше творчества. Там, где рамки слишком широки, где все можно, мы постепенно приходим к тому, что люди начинают портить полотна (скажем, Бренер подошел к картине Малевича с баллончиком краски), некоторые иконы режут и говорят: “А я так вижу”. Важен канон. Не случайно в иконописи он так строго соблюдается. Для творчества лучше не настежь открытые двери, а чтобы надо было пролезать в щель. Меня интересует форма, как она образуется и развивается сама по себе.

– Это же компьютерный алгоритм, при чем тут живопись?

– В 1918 году Малевич сказал, что живопись кончилась, – осталась только геометрия. В том году он нарисовал белый квадрат на белом фоне. Но потом случилось “возвращение Малевича на Землю”, его живопись опредметилась. Наука не поглотила искусство, но в те исторические периоды, когда геометрия и искусство сближались, это давало импульс к развитию того и другого. Так было во времена Возрождения, когда Леонардо исследовал пропорции “золотого сечения”, и в начале ХХ века, когда Поль Сезанн сказал: “Трактуйте природу посредством цилиндра, шара, конуса”. Если импрессионисты рисовали нечто личное, изменчивое, то кубистов, наоборот, интересовал формообразующий элемент – каркас. Сейчас проходят конференции “Математика и искусство” и семинары, где встречаются ученые и художники, случаются настоящие открытия. Со времен Леонардо известен так называемый числовой ряд Фибоначчи: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34... Это “золотая” последовательность чисел, по этому закону располагаются листья цветка и семечки в подсолнухе. Я изобразил этот ряд на плоскости в виде треугольников. Получилась удивительная вещь. Члены ряда Фибоначчи очень быстро растут: треугольник превращался в стрелу, две стороны уходят в бесконечность, а один из катетов все время остается равным пяти! До этого я не понимал, что такое “конечная бесконечность”! Посмотрев на эту картину, профессор Александр Зенкин математически доказал: такая система треугольников – это ядро ряда Фибоначчи. Обнаружился новый математический объект!

– Треугольники Панкина?

– На одном семинаре были предложения так их и назвать, потому что эту математическую закономерность почему-то раньше никто не замечал.

– Может быть, вы исследуете гармонию Малевича не потому, что видите в его творчестве особый смысл, а потому, что другие картины сложнее под формулу подогнать?

– Почему же! Последнее время мне хочется так же исследовать “Незнакомку” Крамского. Я посмотрел: там тоже в основе лежит “золотое сечение”. Те же правила и закономерности, которые я нащупал в картинах Малевича, можно приложить и к другим картинам, очень интересные вещи получатся. Картины Малевича – это краеугольный камень формообразования, мимо него нельзя пройти. “Черный квадрат” – точка отсчета, космическая воронка, куда искусство попадает и выходит измененным. Появляются новые пространства. У передвижников или у натуралистов типа Шилова картина – это окно, за которым в обычной прямой перспективе располагаются трехмерные объекты. У Сезанна пространства лежат на холсте. В иконах одновременно присутствуют две точки зрения: смотришь со своего места и одновременно будто находишься внутри происходящего. Пространство опредмечивается, не зря иконам не нужны рамки. Мне кажется, в будущем пространство картины будет лежать не за холстом, а перед ним…

– Недавно в магазине я увидела плакат с “Черным квадратом”. Обрадовалась и купила, хотела повесить дома, а потом передумала. Неуютно спать, когда над кроватью “Черный квадрат” висит. А вы хотели бы у себя над кроватью повесить квадрат Малевича?

– Честно говоря, у меня над кроватью мои картины висят, они у меня всюду висят. А хотел бы… наверное, Иванова – “Явление Христа народу”. Удивительная композиция – фигура Христа в центре и от нее будто лучи расходятся. Раньше я почему-то этого не замечал…

15. Закономерности построения пространственной композиции парка

Соотношения парковых объемных форм

Соотношения объемных элементов парка - декоративной древесной и кустарниковой растительности, малых архитектурных форм, фонтанов, террас - образуют композицию объемных форм. Композиция формы может быть трех видов: фронтальной, объемной и глубинно-пространственной. Фронтальная композиция характеризуется преобладанием горизонтальных и вертикальных элементов над глубиной формы, при объемной - все три измерения имеют примерно одинаково значение, а при глубинно-пространственной - плоскости и объемы организуют так, чтобы все виды и панорамы раскрывались по принципу возрастающей эмоциональной нагрузки. Композиция парка должна иметь четкую внутреннюю пространственную ориентацию, позволяющую посетителю легко находить композиционные центры. Декоративная древесная и кустарниковая растительность, малые архитектурные формы и другие объемные элементы садово-парковой композиции находятся в определенных соотношениях, которые при рациональном их использовании усиливают художественную выразительность парковых пейзажей. Огромное разнообразие соотношений форм парковых элементов, естественных и искусственных, обусловливается величиной, геометрическим строением, положением в пространстве, освещенностью, цветом, фактурой. К композиционным средствам, используемым при формировании больших парковых пространств, относятся линейная и воздушная перспективы, членение глубинного пространства, синтез искусств и другие. Соотношение форм по величине (высоте, ширине, длине). Величины "высота, ширина, длина" выражаются в метрической системе и записываются целыми или иррациональными числами. Совокупность пространственных соотношений величин, объединенных определенной композиционной зависимостью, называется пропорцией. Но понятие пропорции в садово-парковом искусстве нельзя отождествлять с понятием пропорция в математике. Пропорции теснейшим образом связаны с решение конкретных композиционных задач, обусловлены художественным вкусом и композиционным опытом автора. С помощью художественных пропорций может быть выражена монументальность, торжественность, или, наоборот, скромность, простота. Пропорции в садово-парковой композиции - это как бы ее внутренняя красота. Она невидима непосредственно, но всегда ощутима, подобно духовной красоте человека. В настоящее время художники чаще всего пользуются двумя пропорциональными соотношениями: модульной системой пропорций и "золотым сечением". Основой модульной системы проектирования является некоторая исходная величина, которая служит мерой всех частей композиции и называется модулем. Модуль - это не мера длины, а размер какой-либо части сооружения. Например, ширину парковой дорожки часто определяют по количеству бетонных плит, укладываемых на нее, а высоту дерева - шириной его кроны. Универсальным модулем парковых пространств является человек. Интересное усовершенствование модульной системы пропорций для архитектуры (модулор) предложил великий француз Ле Корбюзье. Метр - это цифры без реального содержания; сантиметр, дециметр, метр - это только обозначения десятичной системы. Цифры модулора - это действительные размеры. Они - факты. Они являются результатом выбора между бесконечным количеством величин. Модулор - это такая измерительная система, в основу которой положен человеческий рост и математика. (Рис. Стр. 122). Исходные единицы измерения в модулоре связаны с условным членением роста человека. Понятно, что такая измерительная система имеет особое значение при создании садов и парков, то есть специально оборудованных мест для отдыха людей. Модулор-гамма, это еще не музыка, но правильно используя эту систему модульных пропорций, можно творить музыку садов и парков, музыку природы.

Модулор

В модулоре Ле Корбюзье каждое последующее членение связано с предыдущим "золотым сечением". Понятие "золотого сечения" восходит из глубокой древности. В геометрии Эвклида оно определено как деление отрезка в крайнем и среднем отношениях, то есть деление отрезка, при котором величина большей его части является средней пропорциональной всего отрезка и его меньшей части. Введем обозначения: целое - С, большая часть - а, меньшая - b. Правило "золотого сечения" выступит как соотношение С/а=а/b. Это соотношение является иррациональным. Распространенным и достаточно точным выражением его являются такие величины: a = 0,618; b = 0,382. Приближенные целочисленные значения "золотого сечения" можно получить при помощи чисел ряда Фибоначчи, в котором каждое последующее число равно сумме двух предыдущих: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… . Из этих числе составляется ряд целочисленных отношений: 1: 2; 2 : 3; 3 : 5; 5 : 8; 8 : 13; 13 : 21;… В ряду, начиная с отношения 5 : 8, все последующие выражает "золотое сечение". Любое тело, предмет, вещь, геометрическая фигура, соотношение которых соответствует "золотому сечению", отличаются строгой пропорциональностью и производят наиболее приятное зрительное впечатление. В садово-парковом искусстве применение правил пропорциональных соотношений затруднено в связи с тем, что растительность, развиваясь, увеличивается. Но, тем не менее, соотношения высоты растительной группировки и площади экспозиции, а также растений внутри группировки, растительности и архитектурных сооружений, ширин дорожек и цветников, мельчайших деталей композиции должны строиться в соответствии с правилами применяемых систем пропорций.

"Золотое сечение"

Соотношения форм по геометрическому строению. Этот тип соотношений возникает при сопоставлении прямолинейных (геометрических) и криволинейных (живописных) форм, то есть природных и искусственных форм. Соотношения по геометрическому строению характеризуются понятием пластичности, или, другими словами, гармоничным соотношением форм и линий. Примером пластического решения в садово-парковом искусстве является умелая вертикальная планировка, или геопластика, с помощью которой достигается гармоническое сочетание особенностей рельефа, дорог, малых архитектурных форм и растительности. Соотношения форм по их положению в пространстве парка. Они имеют решающее значение в создании глубинно-пространственной композиции, ибо садово-парковое строительство - это искусство больших пространств. Соотношения этого типа регулируются чередованием открытых и закрытых пространств, глубинным построением пейзажей, линейной и воздушной перспективами. Открытие и закрытие пространства следует чередовать. При этом необходимо учитывать, что открытые пространства действуют возбуждающе, а закрытые - успокаивающе. Полноценное восприятие пространства в движении обеспечивается при условии, что его протяженность равна 150-200 м. Глубинная многоплановая композиция, воспринимаемая с видовой точки, называется пейзажем парка. Наиболее эффектен пейзаж, который укладывается в поле нормального видения, то есть в пределы конуса, образованного треугольником, угол которого равен 15-18,5 . В пейзаже различают передний, средний и дальний планы. Передний план - начало перспективы. Он очерчивается алей, террасой, беседкой, видовой площадкой, одиночными деревьями или древесными группами. Средний план оформляется главным образом опушкой массива, древесными группами или одиночными деревьями. На дальнем плане обычно доминирует характерный объект, декоративная растительная группа или опушка массива с вертикально выделяющимся силуэтом. Силуэт в садово-парковой композиции - это контурное очертание декоративных растительных группировок на фоне неба или городской застройки, воспринимаемое пространственно извне или изнутри, но всегда на дальнем плане. Парк без выразительного силуэта безлик и уныл. Вертикальные акценты и доминанты необходимы для создания запоминающегося образа парка, отличающего его от всех других. Большое значение имеет оформление видовой точки пейзажа. Обычно обрамление перспективы, называемое рамкой, образуют зеленые кулисы. Для сосредоточения внимания зрителя на определенном пейзаже необходимо создание фокуса пейзажа. Это может быть активное в эстетическом отношении дерево, садово-парковое сооружение или декоративный элемент. В зависимости от взаимного расположения различных планов перспективы пейзажи могут быть малой (50-100 м), средней (100-400 м) и большей (свыше 500 м) глубины.

Пейзажи различной глубины создают на основе законов линейной и воздушной перспектив. Законами линейной перспективы обусловлены изменения величины и формы парковых элементов и растительных группировок в зависимости от расстояния между зрителем и объектом. С удалением предметы уменьшаются в размере, превращаясь в точку на горизонте. Учитывая это, можно уменьшать или увеличивать глубину паркового пейзажа, изменять размеры его отдельных элементов. Использование линейно перспективы в построении парковых композиций ограничено. Чаще ее применяют в процессе проектирования для пространственного изображения пейзажей. Законами воздушной перспективы обусловлены изменения яркости освещения и цвета в зависимости от расстояния между наблюдателем и различными планами паркового пейзажа. Яркость цвета и света изменяется в связи с запыленностью воздуха, имеющего слегка синеватую окраску. Мягкие, плавные, с синеватым оттенком элементы пейзажа оптически удаляются от наблюдателя, а четкие, контрастные, наоборот, кажутся ближе. Все тона окраски растительности и архитектурных элементов изменяются в зависимости от толщины слоя воздушного пространства: красные переходят в фиолетовые, а вдали приобретают темно-синий цвет; желтые более постоянны, но с большим удалением кажутся зеленоватыми, зеленые на расстоянии переходят в голубые, и только синий цвет остается без изменения. Изменение цвета предметов называется колоритной перспективой.

Законы линейной перспективы

Изучая законы воздушной перспективы, мы вплотную подошли к соотношениям форм по цвету. Цветовые соотношения необычайно разнообразны, поэтому их можно подразделить на три основных вида: по цветовому тону; по насыщенности цвета; по светлости тона. Соотношения по цветовому тону создаются на основе условного разделения спектра на семь частей. Условного, потому что в видимой части солнечного спектра нет резких переходов между тонами. Всего в спектре глаз может различить 130 различных оттенков, а деление на семь частей возникло по аналогии с семиступенчатостью музыкальной гаммы. Основных тонов три (красный, желтый и синий), остальные являются дополнительными (оранжевый, голубой, фиолетовый, зеленый). Для удобства цвета располагают в цветовом круге. Цвета, находящиеся друг против друга, в цветовом круге, создают контрастные соотношения (красный с зеленым, оранжевый с синим, фиолетовый с желтым). Эти соотношения наиболее эмоционально эффектны. Мягкими, гармоничными называют соотношения цветов, которые в цветовом круге расположены "через один" (красный с желтым, оранжевый с зеленым, желтый с синим, зеленый с фиолетовым, фиолетовый с оранжевым). Дисгармоничными являются сочетания соседних цветов (зеленого с синим, красного с оранжевым и т. д.). Они неприятны, и их следует избегать. Физиологические и психологические воздействие цвета на организм известно издавна. Например, Гете считал, что цвета действует на душу, могут вызывать чувства, пробуждать эмоции и мысли, успокаивать или волновать, печалить или радовать. По эмоциональному воздействию цвета разделяют на теплые, или активные (красный, оранжевый, желтый), которые возбуждающе, и холодные, или пассивные (синий, зеленый, фиолетовый), которые оказывают успокаивающее воздействие. При использовании в парковой перспективе соотношений по цвету необходимо руководствоваться такими правилами:

А) основная окраска растительности - зеленый тон, что затрудняет достижение колоритного разнообразия, но не исключает использования всех оттенков растительности: от темно-зеленого до желто-зеленого. Цветовая гамма дает возможность подчеркнуть соотношение планов: переднего, среднего и дальнего (темно-зеленый цвет отдаляет, желто-зеленый приближает);

Б) колоритные пятна в композиции паркового пейзажа должны быть максимально укрупнены, особенно, особенно при большом удалении;

В) при комбинации в равной мере насыщенных цветовых пятен цветовые соотношения необходимо балансировать размерами пятен;

Г) теплые тона растительности (красный, оранжевый) уместны на хорошо освещенных;

Д) светло-серый и серебристый тона используются для смягчения слишком сильных контрастов;

Е) белый цвет гармонирует со всеми другими цветами.

Соотношение форм по освещенности. Богатство колоритных сочетаний в парковом пейзаже проявляется только при условии хорошей освещенности. Глубина перспективы, пространственная выразительность зеленых насаждений, соотношение объемных форм растительных группировок подчеркивается игрой света и тени. Выразительность игры света и тени зависит от интенсивности солнечной радиации, от периода года и времени дня. Свет - главный фактор, создающий игру света и тени. Он проявляет контуры растительности, помогает создавать пластичные соотношения объемов, выявлять в пейзаже самые красивые элементы.

Неосвещенная поверхность предмета называется тенью. Значение тени в парковом пространстве, особенно в южных районах, трудно переоценить. Тени подразделяются на собственные и падающие. Собственная тень находится на той части поверхности освещенного предмета, которая скрыта от прямых лучей источника света. Тень, отбрасываемая освещенным предметом или образовывавшаяся на его поверхности от другого предмета, стоящего на пути светового луча, называется падающей тенью. Форма падающей тени зависит от формы освещенного предмета, отбрасывающего тень, а также рельефа поверхности, на которую тень падает. Интенсивность тени зависит от яркости света, плотности предмета и взаимного расположения предметов. Освещенные (обычно на возвышенности) и затененные (в низинах) парковые пространства необходимо гармонично комбинировать. Динамичная игра светотени - эффектное средство формирования парка, влияющее на размещение растительных группировок и малых архитектурных форм, на соотношение высоты растительности и площади открытых пространств. На полянах наиболее эффектны тени от конусообразных и мощных ажурных крон. Ширина открытого пространства при этом должна быть не менее трехкратной высоты дерева. Контрастность светотени определяется удалением предмета от наблюдателя. Цвет тени обусловливается цветом поверхности, на которую падает тень, но обычно она имеет синий оттенок. Вечером и ночью игру светотени создают искусственные источники света, обогащающие светопластику ночного пейзажа. Специалисты по световой архитектуре рассматривают искусственный свет как полноценное композиционное средство. Зелень можно подсвечивать несколькими способами: с помощью ламп, скрытых в кроне деревьев, ламп, скрытых в земле, прожекторов с защитными экранами. Для подсветки дорог и обозначения газонов и цветников устанавливают низкие светильники высотой до 1 м, использующие отраженный свет. Соотношения форм по фактуре. Фактура, то есть различные поверхности декоративной растительности, может быть гладкой или шероховатой, зеркальной или матовой. Разнообразные сочетания различных по фактуре растений значительно обогащают парковые пейзажи. Виды соотношений пространственных форм не исчерпываются перечисленными выше. Здесь описаны только основные из них. Но и по ним можно судить о большом разнообразии видов соотношений пространственных форм, являющихся для паркостроения своеобразной палитрой.

Литература:

1. Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1989.3. Журнал «Квант», 1973, № 8.4. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.

5. Кеплер И. О шестиугольных снежинках. – М., 1982.

6. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.

7. Дюрер А. Дневники, письма, трактаты – Л., М., 1957.

8. Цеков-Карандаш Ц. О втором золотом сечении. – София, 1983.

9. Стахов А. Коды золотой пропорции.

10. Информация из интернета.