Математическое программирование, базы данных, ПО

1. Общая задача линейного программирования (ЗЛП) : Здесь (1) называется системой ограничений, ее матрица имеет ранг r £ n, (2) - функцией цели (целевой функцией) . Неотрицательное решение (х10, x20,..., xn0) системы (1) называется допустимым решением (планом) ЗЛП. Допустимое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую функцию (2) в min или max (оптимум) .

2. Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс - методом необходимо ее привести к определенной (симплексной) форме: (2`) f+cr+1xr+1 +... + csxs +... + cnxn = b0 ® min Здесь считаем r < n (система имеет бесчисленное множество решений) , случай r = n неинтересен: в этом случае система имеет единственное решение и если оно допустимое, то автоматически становится оптимальным.

В системе (1`) неизвестные х1, х2,..., хr называются базисными (каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом +1) , остальные хr+1,..., xn - свободными. Допустимое решение (1`) называется базисным (опорным планом) , если все свободные неизвестные равны 0, а соответствующее ему значение целевой функции f(x10,..., xr0,0,..., 0) называется базисным.

В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами: а) система (1`) удовлетворяет условиям: 1) все ограничения - в виде уравнений; 2) все свободные члены неотрицательны, т.е. bi ³ 0; 3) имеет базисные неизвестные; б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям: 1) содержит только свободные неизвестные; 2) все члены перенесены влево, кроме свободного члена b0; 3) обязательна минимизация (случай max сводится к min по формуле max f = - min(-f) ) .

3 Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответствует симплекс - матрица: 1 0... 0... 0 a1, r+1... a1s... a1n b1 0 1... 0... 0 a2, r+1... a2s... a2n b2.................................................................

0 0... 1... 0 ai, r+1... ais... ain bi.................................................................

0 0... 0... 1 ar, r+1... ars... arn br 0 0... 0... 0 cr+1... cs... cn b0 Заметим, что каждому базису (системе базисных неизвестных) соответствует своя симплекс - матрица, базисное решение х = (b1, b2,..., br, 0,..., 0) и базисное значение целевой функции f(b1, b2,..., br, 0,..., 0) = b0 (см. Последний столбец!) .

Критерий оптимальности плана. Если в последней (целевой) строке симплекс-матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b0, то соответствующий этой матрице план оптимален, т.е. сj £ 0 (j = r+1, n) => min f (b1,..., b2,0,..., 0) = b0.

Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется столбец (S-й) , в котором последний элемент сs > 0, a все остальные элементы неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е. сs > 0, ais £ 0 (i= 1, r) => min f = -¥.

Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках оптимума надо переходить к следующей матрице с помощью некоторого элемента ais > 0 и следующих преобразований (симплексных) : 1) все элементы i-й строки делим на элемент a+is; 2) все элементы S-го столбца, кроме ais=1, заменяем нулями; 3) все остальные элементы матрицы преобразуем по правилу прямоугольника, что схематично показано на фрагменте матрицы и дано в формулах: akl` = akbais ailaks = akl - ailaks; ais ais bk` = bkais biaks; cl` = clais - csail ais ais Определение. Элемент ais+ называется разрешающим, если преобразование матрицы с его помощью обеспечивает уменьшение (невозрастание) значения, целевой функции; строка и столбец, на пересечении которых находится разрешающий элемент, также называются разрешающими.

Критерий выбора разрешающего элемента. Если элемент ais+ удовлетворяет условию bi = min bk ais0 aks0+ где s0 - номер выбранного разрешающего столбца, то он является разрешающим.

4. Алгоритм симплекс-метода (по минимизации) .

5. систему ограничений и целевую функцию ЗЛП приводим к симплексной форме; 6) составим симплекс-матрицу из коэффициентов системы и целевой функции в симплексной форме; 7) проверка матрицы на выполнение критерия оптимальности; если он выполняется, то решение закончено; 8) при невыполнении критерия оптимальности проверяем выполнение критерия отсутствия оптимальности; в случае выполнения последнего решение закончено - нет оптимального плана; 9) в случае невыполнения обоих критериев находим разрешающий элемент для перехода к следующей матрице, для чего: а) выбираем разрешающий столбец по наибольшему из положи тельных элементов целевой строки; б) выбираем разрешающую строку по критерию выбора разрешающего элемента; на их пересечении находится разрешающий элемент; 6) c помощью разрешающего элемента и симплекс-преобразований переходим к следующей матрице; 7) вновь полученную симплекс-матрицу проверяем описанным выше способом (см. п. 3) Через конечное число шагов, как правило получаем оптимальный план ЗЛП или его отсутствие Замечания.

1) Если в разрешающей строке (столбце) имеется нуль, то в соответствующем ему столбце (строке) элементы остаются без изменения при симплекс-преобразованиях.

2) преобразования - вычисления удобно начинать с целевой строки; если при этом окажется, что выполняется критерий оптимальности, то можно ограничиться вычислением элементов последнего столбца.

3) при переходе от одной матрицы к другой свободные члены уравнений остаются неотрицательными; появление отрицательного члена сигнализирует о допущенной ошибке в предыдущих вычислениях.

4) правильность полученного ответа - оптимального плана - проверяется путем подстановки значений базисных неизвестных в целевую функцию; ответы должны совпасть.

5) . Геометрическая интерпретация ЗЛП и графический метод решения (при двух неизвестных) Система ограничений ЗЛП геометрически представляет собой многоугольник или многоугольную область как пересечение полуплоскостей - геометрических образов неравенств системы. Целевая функция f = c1x1 + c2x2 геометрически изображает семейство параллельных прямых, перпендикулярных вектору n (с1, с2) .

Теорема. При перемещении прямой целевой функции направлении вектора n значения целевой функции возрастают, в противоположном направлении - убывают.

На этих утверждениях основан графический метод решения ЗЛП.

6) Алгоритм графического метода решения ЗЛП.

7) В системе координат построить прямые по уравнениям, соответствующим каждому неравенству системы ограничений;

8) найти полуплоскости решения каждого неравенства системы (обозначить стрелками) ;

9) найти многоугольник (многоугольную область) решений системы ограничений как пересечение полуплоскостей;

10) построить вектор n (с1, с2) по коэффициентам целевой функции f = c1x1 + c2x2;

11) в семействе параллельных прямых целевой функции выделить одну, например, через начало координат;

12) перемещать прямую целевой функции параллельно самой себе по области решения, достигая max f при движении вектора n и min f при движении в противоположном направлении.

13) найти координаты точек max и min по чертежу и вычислить значения функции в этих точках (ответы) .

14) . Постановка транспортной задачи.

Приведем экономическую формулировку транспортной задачи по критерию стоимости: Однородный груз, имеющийся в m пунктах отправления (производства) А1, А2,..., Аm соответственно в количествах а1, а2,..., аm единиц, требуется доставить в каждый из n пунктов назначения (потребления) В1, В2,..., Вn соответственно в количествах b1, b2,..., bn единиц. Стоимость перевозки (тариф) единицы продукта из Ai в Bj известна для всех маршрутов AiBj и равна Cij (i=1, m; j=1, n) . Требуется составить такой план перевозок, при котором весь груз из пунктов отправления вывозиться и запросы всех пунктов потребления удовлетворяются (закрытая модель) , а суммарные транспортные расходы минимальны.

Условия задачи удобно располагать в таблицу, вписывая в клетки количество перевозимого груза из Ai в Bj груза Xij > 0, а в маленькие клетки соответствующие тарифы Cij: 8. Математическая модель транспортной задачи.

Из предыдущей таблицы легко усматривается и составляется математическая модель транспортной задачи для закрытой модели Число r = m + n - 1, равное рангу системы (1) , называется рангом транспортной задачи. Если число заполненных клеток (Xij ¹ 0) в таблице равно r, то план называется невырожденным, а если это число меньше r, то план вырожденный - в этом случае в некоторые клетки вписывается столько нулей (условно заполненные клетки) , чтобы общее число заполненных клеток было равно r.

Случай открытой модели Σаi ¹ Σbj легко сводится к закрытой модели путем введения фиктивного потребителя Bn+1 c потребностью bn+1=Σai-Σbj, λθαо - фиктивного поставщика Аm+1 c запасом am+1=Σbj-Σai ; οπθ этом тарифы фиктивных участников принимаются равными 0.

9. Способы составления 1-таблицы (опорного плана) .

X. Способ северо-западного угла (диагональный) . Сущность способа заключается в том, что на каждом шаге заполняется левая верхняя клетка (северо-западная) оставшейся части таблицы, причем максимально возможным числом: либо полностью вывозиться груз из Аi, либо полностью удовлетворяется потребность Bj. Процедура продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются запасы ai и не удовлетворяются потребности bj. В заключение проверяют, что найденные компоненты плана Xij удовлетворяют горизонтальным и вертикальным уравнениям и что выполняется условие невырожденности плана.

XI. Способ наименьшего тарифа. Сущность способа в том, что на каждом шаге заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший тариф; в случае наличия нескольких таких равных тарифов заполняется любая из них. В остальном действуют аналогично предыдущему способу.

12. Метод потенциалов решения транспортной задачи.

Определение: потенциалами решения называются числа ai®Ai, bj®Bj, удовлетворяющие условию ai+bj=Cij (*) для всех заполненных клеток (i, j) .

Соотношения (*) определяют систему из m+n-1 линейных уравнений с m+n неизвестными, имеющую бесчисленное множество решений; для ее определенности одному неизвестному придают любое число (обычно a1=0) , тогда все остальные неизвестные определяются однозначно.

Критерий оптимальности. Если известны потенциалы решения X0 транспортной задачи и для всех незаполненных клеток выполняются условия ai+bj £ Ci j, то X0 является оптимальным планом транспортной задачи.

Если план не оптимален, то необходимо перейти к следующему плану (таблице) так, чтобы транспортные расходы не увеличились.

Определение: циклом пересчета таблицы называется последовательность клеток, удовлетворяющая условиям: 1) одна клетка пустая, все остальные занятые; 2) любые две соседние клетки находятся в одной строке или в одном столбце; 3) никакие 3 соседние клетки не могут быть в одной строке или в одном столбце.

Пустой клетке присваивают знак “+” , остальным - поочередно знаки “-” и “+” .

Для перераспределения плана перевозок с помощью цикла перерасчета сначала находят незаполненную клетку (r, s) , в которой ar+bs>Crs, и строят соответствующий цикл; затем в минусовых клетках находят число X=min{Xij}. Далее составляют новую таблицу по следующему правилу: 1) в плюсовые клетки добавляем X; 2) из минусовых клеток отнимаем Х; 3) все остальные клетки вне цикла остаются без изменения.

Получим новую таблицу, дающее новое решение X, такое, что f(X1) £ f(X0) ; оно снова проверяется на оптимальность через конечное число шагов обязательно найдем оптимальный план транспортной задачи, ибо он всегда существует.

11. Алгоритм метода потенциалов.

12) проверяем тип модели транспортной задачи и в случае открытой модели сводим ее к закрытой; 13) находим опорный план перевозок путем составления 1-й таблицы одним из способов - северо-западного угла или наименьшего тарифа; 14) проверяем план (таблицу) на удовлетворение системе уравнений и на невыражденность; в случае вырождения плана добавляем условно заполненные клетки с помощью “0” ; 15) проверяем опорный план на оптимальность, для чего: а) составляем систему уравнений потенциалов по заполненным клеткам; б) находим одно из ее решений при a1=0; в) находим суммы ai+bj=C¢ij (“косвенные тарифы” ) для всех пустых клеток; г) сравниваем косвенные тарифы с истинными: если косвенные тарифы не превосходят соответствующих истинных(C¢ij £ Cij) во всех пустых клетках, то план оптимален (критерий оптимальности) . Решение закончено: ответ дается в виде плана перевозок последней таблицы и значения min f.

Если критерий оптимальности не выполняется, то переходим к следующему шагу.

5) Для перехода к следующей таблице (плану) : а) выбираем одну из пустых клеток, где косвенный тариф больше истинного (C¢ij= ai+bj > Cij) ; б) составляем цикл пересчета для этой клетки и расставляем знаки “+” , “-” в вершинах цикла путем их чередования, приписывая пустой клетке “+” ; в) находим число перерасчета по циклу: число X=min{Xij}, где Xij - числа в заполненных клетках со знаком “-” ; г) составляем новую таблицу, добавляя X в плюсовые клетки и отнимая X из минусовых клеток цикла 6) См. п. 3 и т.д.

Через конечное число шагов (циклов) обязательно приходим к ответу, ибо транспортная задача всегда имеет решение.