Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла

Министерство науки, высшей школы и технической

политики Российской Федерации.

Новосибирский Государственный

Технический Университет.

Реферат по исследованию операций на тему

«Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла».

Вариант №2.

Факультет: АВТ.

Кафедра: АСУ.

Группа: АС-513.

Студент: Бойко Константин Анатольевич.

Преподаватель: Ренин Сергей Васильевич.

Дата: 19 октября 1997 года.

Новосибирск

Введение.

Первоначально метод был предложен Дэвидоном (Davidon (1959) ), а затем развит Флетчером и Пауэллом (Fletcher, Powell (1963) ). Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла называют также и методом переменной метрики. Он попадает в общий класс квазиньютоновских процедур, в которых направления поиска задаются в виде -Djf(y). Направление градиента является, таким образом, отклоненным в результате умножения на -Dj , где Dj - положительно определенная симметрическая матрица порядка n х n, аппроксимирующая обратную матрицу Гессе. На следующем шаге матрица Dj+1 представляется в виде суммы Dj и двух симметрических матриц ранга один каждая. В связи с этим схема иногда называется схемой коррекции ранга два.

Алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.

Рассмотрим алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла минимизации дифференцируемой функции нескольких переменных. В частности, если функция квадратичная, то, как будет показано позднее, метод вырабатывает сопряженные направления и останавливается после выполнения одной итерации, т.е. после поиска вдоль каждого из сопряженных направлений.

Начальный этап.

Пусть >0 - константа для остановки. Выбрать точку х1 и начальную симметрическую положительно определенную матрицу D1. Положить y1 = x1, k = j = 1 и перейти к основному этапу.

Основной этап.

Шаг 1. Если ||f(yj) ||< ε, то остановиться; в противном случае положить dj = - Djf(yj) и взять в качестве λj оптимальное решение задачи минимизации f(yj + λdj) при λ ≥ 0. Положить yj+1 = yj + λjdj. Если j < n, то перейти к шагу 2. Если j = n, то положить y1 = xk+1 = yn+1, заменить k на k+1, положить j=1 и повторить шаг 1.

Шаг 2. Построить Dj+1 следующим образом :

, (1)

где

pj = λjdj, (2)

qj = f(yj+1) - f(yj). (3)

Заменить j на j + 1 и перейти к шагу 1.

Пример.

Рассмотрим следующую задачу :

минимизировать (x1 - 2)4 + (x1 - 2x2)2.

Результаты вычислений методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла приведены в таблице 1.

Таблица 1. Результаты вычислений по методу Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.

На каждой итерации вектор dj для j = 1, 2 определяется в виде–Djf(yj), где D1 ­­– единичная матрица, а D2 вычисляется по формулам (1) - (3). Приk = 1 имеем p1 = (2.7, -1.49)T, q1 = (44.73, -22,72)T. На второй итерацииp1 = (-0.1, 0.05)T, q1 = (-0.7, 0.8)T и, наконец, на третьей итерацииp1 = (-0.02, 0.02)T, q1 = (-0.14, 0.24)T. Точка yj+1 вычисляется оптимизацией вдоль направления dj при начальной точке yj для j = 1, 2. Процедура остановлена в точкеy2 = (2.115, 1.058)T на четвертой итерации, так как норма ||f(y2) ||= 0.006 достаточно мала. Траектория движения, полученная методом, показана на рисунке 1.

Рисунок 1. Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.

Лемма 1 показывает, что каждая матрица Dj положительно определена и dj является направлением спуска.

Для доказательства леммы нам понадобится :

Теорема 1. Пусть S - непустое множество в Еn, точка x ∈ cl S. Конусом возможных направлений в точке x называется множество D = {d : d ≠ 0, x + λd ∈ S при всех λ ∈ (0, δ) для некоторого δ > 0}.

Определение. Пусть x и y - векторы из Еn и |xTy| - абсолютное значение скалярного произведения xTy. Тогда выполняется следующее неравенство, называемое неравенством Шварца : |xTy| ≤ ||x|| ||y||.

Лемма 1.

Пусть y1 ∈ Еn, а D1 – начальная положительно определенная симметрическая матрица. Для j = 1, ..., n положим yj+1 = yj + λjdj, где dj = –Djf(yj), а λj является оптимальным решением задачи минимизации f(yj + λdj) при λ ≥ 0. Пусть, кроме того, дляj = 1, ..., n – 1 матрица Dj+1 определяется по формулам (1) - (3). Если f(yj) ≠ 0 дляj = 1, ..., n, то матрицы D1, ..., Dn симметрические и положительно определенные, так что d1, ..., dn – направления спуска.

Доказательство.

Проведем доказательство по индукции. При j = 1 матрица D1 симметрическая и положительно определенная по условию леммы. Кроме того, f(y1)Td1 = –f(y1)TD1f(y1) < 0, так как D1 положительно определена. Тогда по теореме 1 вектор d1 определяет направление спуска. Предположим, что утверждение леммы справедливо для некоторого j ≤ n – 1, и покажем, что оно справедливо для j+1. Пусть x – ненулевой вектор из En, тогда из (1) имеем

(4)

Так как Dj – симметрическая положительно определенная матрица, то существует положительно определенная матрица Dj1/2, такая, что Dj = Dj1/2Dj1/2. Пустьa = Dj1/2x и b = Dj1/2qj. Тогда xTDjx = aTa, qjTDjqj = bTb и xTDjqj = aTb. Подставляя эти выражения в (4), получаем :

(5)

По неравенству Шварца имеем (aTa)(bTb) ≥ (aTb)2. Таким образом, чтобы доказать, что xTDj+1x ≥ 0, достаточно показать, что pjTqj > 0 и bTb > 0. Из (2) и (3) следует, что

pjTqj = λjdjT(f(yj+1) – f(yj)). (6)

По предположениюf(yj) ≠ 0, и Dj положительно определена, так чтоf(yj)TDjf(yj) > 0. Кроме того, dj – направление спуска, и, следовательно, λj > 0. Тогда из (6) следует, что pjTqj > 0. Кроме того, qj ≠ 0, и , следовательно, bTb= qjTDjqj > 0.

Покажем теперь, что xTDj+1x > 0. Предположим, что xTDj+1x = 0. Это возможно только в том случае, если (aTa)(bTb) = (aTb)2 и pjTx = 0. Прежде всего заметим, что(aTa)(bTb) = (aTb)2 только при a = λb, т.е. Dj1/2x = λDj1/2qj. Таким образом, x = λqj. Так как x ≠ 0, то λ ≠ 0. Далее, 0 = pjTx = λ pjTqj противоречит тому, что pjTqj > 0 и λ ≠ 0. Следовательно, xTDj+1x > 0, т.е. матрица Dj+1 положительно определена.

Поскольку f(yj+1) ≠ 0 и Dj+1 положительно определена, имеемf(yj+1)Tdj+1 = –f(yj+1)T Dj+1f(yj+1) < 0. Отсюда по теореме 1 следует, что dj+1 – направление спуска.

Лемма доказана.

Квадратичный случай.

В дальнейшем нам понадобиться :

Теорема 2. Пусть f(x) = cTx + 1 xTHx, где Н - симметрическая матрица порядка n x n. Рассмотрим Н - сопряженные векторы d1, …, dn и произвольную точку x1. Пусть λk для k = 1, …, n - оптимальное решение задачи минимизацииf(xk + λdk) при λ ∈ Е1 и xk+1 = xk + λdk. Тогда для k = 1, …, n справедливы следующие утверждения :

1. f(xk+1)Tdj = 0, j = 1, …, k;
2. f(x1)Tdk = f(xk)Tdk;
3. xk+1 является оптимальным решением задачи минимизации f(x) при условииx - x1 ∈ L(d1, …, dk), где L(d1, …, dk) – линейное подпространство, натянутое на векторы d1, …, dk, то есть В частности, xn+1 – точка минимума функции f на Еn.

Если целевая функция f квадратичная, то в соответствии со сформулированной ниже теоремой 3 направления d1, …, dn, генерируемые методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла, являются сопряженными. Следовательно, в соответствии с утверждением 3 теоремы 2 метод останавливается после завершения одной итерации в оптимальной точке. Кроме того, матрица Dn+1, полученная в конце итерации, совпадает с обратной к матрице Гессе Н.

Теорема 3. Пусть Н – симметричная положительно определенная матрица порядка n x n. Рассмотрим задачу минимизации f(x) = cTx + 1 xTHx при условии x ∈ En. Предположим, что задача решена методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла при начальной точке y1 и начальной положительно определенной матрице D1. В частности, пусть λj, j = 1, …, n, – оптимальное решение задачи минимизации f(yj + λdj) при λ ≥ 0 и yj+1 = yj + λjdj, где dj = -Djf(yj), а Dj определяется по формулам (1) – (3). Если f(yj) ≠ 0 для всех j, то направленияd1, …, dn являются Н - сопряженными и Dn+1 = H-1. Кроме того, yn+1 является оптимальным решением задачи.

Доказательство.

Прежде всего покажем, что для j, такого, что 1 ≤ j ≤ n, справедливы следующие утверждения :

1. d1, …, dj линейно независимы.
2. djTHdk = 0 для i ≠ k; i, k ≤ j.
3. Dj+1Hpk, или, что эквивалентно, Dj+1Hdk = dk для 1 ≤ k ≤ j, pk = λkdk.

Проведем доказательство по индукции. Для j = 1 утверждения 1 и 2 очевидны. Чтобы доказать утверждение 3, заметим прежде всего, что для любого k справедливы равенства

Hpk = H(λkdk) = H(yk+1 - yk) = f(yk+1) –f(yk) = qk. (7)

В частности, Hp1 = q1. Таким образом, полагая j = 1 в (1), получаем

,

т.е. утверждение 3 справедливо при j = 1.

Теперь предположим, что утверждения 1, 2 и 3 справедливы для j ≤ n – 1. Покажем, что они также справедливы и для j + 1. Напомним, что по утверждению 1 теоремы 2 diTf(yj+1) = 0 для i ≤ j. По индуктивному предположению di = Dj+1Hdi, i ≤ j. Таким образом, для i ≤ j имеем

0 = diTf(yj+1) = diTHDj+1f(yj+1) = –diTHdj+1.

Ввиду предположения индукции это равенство показывает, что утверждение 2 также справедливо для j+1.

Теперь покажем, что утверждение 3 справедливо для j+1.

Полагая k ≤ j+1, имеем

. (8)

Учитывая (7) и полагая k = j + 1 в (8), получим, что Dj+2Hpj+1 = pj+1. Теперь пусть k ≤ j. Так как утверждение 2 справедливо для j + 1, то

pj+1THpk = λkλj+1dj+1THdk = 0. (9)

По предположению индукции из (7) и вследствие того, что утверждение 2 справедливо для j + 1, получаем

. (10)

Подставляя (9) и (10) в (8) и учитывая предположение индукции, получаем

.

Таким образом, утверждение 3 справедливо для j+1.

Осталось показать, что утверждение 1 справедливо для j+1. Предположим, что . Умножая это равенство на и учитывая, что утверждение 2 справедливо для j+1, получаем, что . По условию теоремы , а по лемме 1 матрица положительно определена, так что . Так как H положительно определена, то и, следовательно, . Отсюда следует, что , и так как d1, …, dj линейно независимы по предположению индукции, то для i = 1, …, j. Таким образом, d1, …, dj+1 линейно независимы и утверждение 1 справедливо для j+1. Следовательно, утверждения 1, 2 и 3 выполняются. В частности сопряжённость d1, …, dn следует из утверждений 1 и 2, если положить j = n.

Пусть теперь j = n в утверждении 3. Тогда для k = 1, …, n. Если в качестве D взять матрицу, столбцами которой являются векторы d1, …, dn, то . Так как D имеет обратную, то , что возможно только в том случае, если . Наконец, является оптимальным решением по теореме 2.

Теорема доказана.

Список литературы.

1. Базара М., Шетти К. «Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы». М., 1982.
2. Химмельблау Д. «Прикладное нелинейное программирование». М., 1975.