Статистические методы для анализа закономерностей в эмпирических данных

Введение

ЗАДАНИЕ:

Анализ продуктов питания

Лаборатория производит анализ продуктов, которые обрабатываются при определенной температуре X 1 (t, °С), и в которые добавляются для увеличения срока годности определенные консерванты Х 2 (мг). В готовом продукте может содержаться некоторое количество нежелательных веществ Y (в долях к общей массе). Х 1 и Х 2 даны в относительных единицах (абсолютные значения t О (60; 80); консервант Х 2 О (0,5; 1)), Y - в абсолютных

Необходимо определить зависимость Y = f(Х 1 ,Х 2 ) и установить значения Х 1 и Х 2 , которые обеспечивают номинал Y ном. =0,009; 0,010; 0,011; 0,01 г. Определить ошибку e , которая соответствует установленному номиналу Y ном

Исходные данные, соответствующие конкретному варианту:

Описание задачи статистического анализа .

выборочное среднее:

выборочная дисперсия:

среднеквадратичное отклонение:

мат. ожидание произведения для вычисления коэф. ковариации:

Оценка параметров регрессии fr(x)=a+b*x

Уравнение линейной регрессии:

коэффициент корреляции:

отклонения фактических значений от теоретических (ошибка):

Расчетная часть

Вычисленные характеристики заданных факторов:

Выявление линейной связи Y от X1 и Y от Х2 Фактор Х1:

    Фактор Х2:

Вывод: вариационный ряд случайной ошибки: видно, что нормальный закон распределения искажен, что свидетельствует о неадекватности выявленной зависимости

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем t-критерии Стьюдента и доверительный интервал каждого из показателей. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

tb=b/mb; ta=a/ma; trxy=rxy/mrxy; где mb,ma,mrxy - величины случайной ошибки

Выдвигаем гипотезу H0 о статистически незначимом отличии параметров линейной регрессии от нуля: a=b=rxy = 0.

Определяем tтабл - это квантиль уровня 1-a/2 распределения Стьюдента с параметром n-m-1, где m - число параметров функции регресии при x

Определяем случайные ошибки

Фактичекие t-статистики

Коэффициент детерминации: rxy 2

Так как фактические t-статистики превосходят tтабл = 2.16 , то гипотеза H0 отклоняется, т.е. a,b,rxy неслучайно отличаются от нуля и статистически значимы на уровне a =0.05

( фактор Х1)

В среднем расчетные значения функции регрессии отклоняются от фактических на 9.6%. Качество построенной модели оценивается как хорошее(менее 10%)

(фактор Х2)

В среднем расчетные значения функции регрессии отклоняются от фактических на 11.5%. Качество построенной модели оценивается как плохое(более 8%)

Проверим гипотезу о статистической незначимости уравнения регрессии показателя тесноты связи (критерий Фишера).

Выдвигаем гипотезу H0 о статистической незначимости уравнения регрессии показателя тесноты связи

Критериальная статистика: Ffakt=(n-m-1)*((rxy)2/(1-(rxy)2)

Критическая область: Ftabl

Вывод: так как < , то это указывает на необходимость отклонить принятие гипотезы H0 о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости при a=0.05 уравнения регрессии и показателя тесноты связи

Расчет доверительного интервала для a,b. Для этого определим предельную ошибку для каждого параметра функции регрессии.

Доверительные интервалы параметров функции регрессии

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводят к выводу о том, что с вероятностью P = 1-a =0.95 параметры ,находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не является статистически незначимыми и существенно отличаются от нуля

                        Фактор Х1 Фактор Х2

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза

прогнозное значение фактора

прогнозное значение результата

Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

Анализ полученных результатов.

По полученным данным можно сделать вывод, что две величины X1,X2 влияют на Y, т.к. на данном уровне значимости коэффициенты корреляции не равны нулю, что подтверждает гипотеза о параметрах a,b,rxy. Про зависимость Y от Х1 можно сказать, что Y зависит от X1 линейно. Этот факт подтверждается значениями признаков: приемлемой ошибкой аппроксимации , близким к нулю значением коэффициента при х в функции регрессии и отношением величины этого коэффициента к величины его доверительного интервала. Этот же вывод можно сделать по графическим представлениям зависимостей. Что касается зависимости Y от Х2, то можно сказать, что Y зависит от X2 линейно. Этот факт подтверждается значениями тех же признаков, что и для описанных выше зависимостей

Из-за допущенной отрицательной ошибки D нет значений X1 и X2, которые удовлетворяют заданному номиналу 0.009