Вычисление емкости

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Для расчета емкости можно ввести разность потенциалов между обкладками, решить уравнение Пуассона, найти D на обкладках, а затем плотность поверхностного заряда обкладок σ = ± Dn (Dn - это Dx или Dr у обкладки). При этом принимается, что поле вне конденсатора отсутствует (иначе неверна связь σ и Dx(r)).

Рассмотрим для примера симметричный (ε = ε(r)) цилиндрический конденсатор. В нем

\varphi(r) = \varphi(R_1) +\frac{\varphi_2- \varphi_1}{\int\limits_{R_1}^{R_2}\tilde{r}^{-1}\varepsilon^ {-1}(\tilde{r}){\rm d}\tilde{r}}\cdot \int\limits_{R_1}^r \varepsilon^{-1}(\tilde{r})\tilde{r}^{-1}{\rm d}\tilde{r}

(39)

E_r(r) = -\frac{\varphi_2-\varphi_1}{\int \limits_{R_1}^{R_2}\tilde{r}^{-1}\varepsilon^{-1}(\tilde{r}) {\rm d}\tilde{r}}\cdot \varepsilon^{-1}(r)r^{-1}

(40)
|σ (R1(2))| = |Dr(R1(2))| = ε0ε(R1(2))|Er(R1(2))|(41)

Заряд обкладки равен

|Q| = |σ1(2)|· 2π R1(2)L = |Dr(R1(2))|· 2π R1(2)L(42)

где L - длина конденсатора вдоль оси z. Как видно, R1 или R2 cокращается, после чего можно найти емкость как

С = \frac{|Q|}{|\varphi_2-\varphi_1|} = \frac{2\pi\varepsilon_0L}{\int\limits_{R_1}^{R_2}\tilde{r}^{-1} \varepsilon^{-1}(\tilde{r}){\rm d}\tilde{r}}

(43)

Аналогичное рассмотрение для декартового и сферического случаев приводит к выражениям:

С = \frac{\varepsilon_0S}{\int\limits_{x_1}^{x_2} \varepsilon^{-1}(\tilde{x}){\rm d}\tilde{x}}, С = \frac{4\pi\varepsilon_0}{\int\limits_{R_1}^{R_2}\tilde{r}^{-2} \varepsilon^{-1}(\tilde{r}){\rm d}\tilde{r}}

(44)

Подобные работы:

Актуально: