Резонатор на основе прямоугольного волновода

В работе будет рассматриваться модель резонатора на основе прямоугольного волновода.

Прямоугольный резонатор – отрезок прямоугольного волновода, замкнутый с обоих концов проводящими пластинами (в работе – по координате z). В таком резонаторе могут возбуждаться Hmnp и Emnp типы колебаний, где m, n, p – индексы, соответствующие числу полуволн, укладывающихся вдоль соответствующих стенок резонатора.

На простейшем примере будет рассмотрен метод, позволяющий рассчитать резонансную длину волны и структуру электромагнитного поля в объемном резонаторе, образованном отрезком прямоугольного волновода.

Также будут изучены структура электромагнитного поля, общая задача о собственных колебаниях в прямоугольном объемном резонаторе, будет определен основной тип колебаний.

Прямоугольный объемный резонатор

Рассмотрим отрезок прямоугольного волновода сечением , ограниченный двумя металлическими торцевыми поверхностями, которые располагаются в сечениях и (рис. 1).

Рис.1. Прямоугольный объемный резонатор

Подобная замкнутая металлическая полость представляет собой прямоугольный объемный резонатор. Исследуем один из частных видов собственных колебаний данного резонатора, руководствуясь следующими соображениями. Пусть по неограниченно протяженному прямоугольному волноводу распространяется основная волна типа , которую условно будем называть падающей. Эта волна движется в сторону возрастания координаты z и характеризуется единственной y-й составляющей вектора напряженности электрического поля с комплексной амплитудой

(1)

Наличие торцевых плоскостей приводит к возникновению отраженной волны, для которой

(2)

где A — не известный пока амплитудный коэффициент.

Если учесть, что при суммарное электрическое поле с проекцией должно обратиться в нуль из-за граничного условия на идеальном проводнике, то, как нетрудно видеть,. Отсюда, используя формулу Эйлера для суммы двух экспоненциальных функций с мнимыми показателями, получим

(3)

Согласно данному равенству, рассматриваемый электромагнитный процесс является двумерной стоячей волной, которая существует как по оси х, так и по оси z; вдоль координаты у напряженность электрического поля постоянна. Однако длина стоячей волны по оси z пока не определена, поскольку никаких требований по отношению к продольному волновому числу h пока не предъявлено.

Эти требования естественным образом вытекают из граничных условий на другой торцевой плоскости:

при z=l, (4)

откуда

(5)

где по-прежнему р — любое целое положительное число, исключая нуль.

Значение продольного волнового числа, удовлетворяющее равенству (5), будем называть резонансным значением

. (6)

Отсюда легко перейти к резонансному значению длины волны в волноводе

(7)

а затем, воспользовавшись дисперсионным соотношением для волны типа в прямоугольном волноводе

вычислить резонансное значение длины волны генератора:

(12)

Таким образом, можно сделать определенные выводы:

1. Для прямоугольной полости с идеально проводящими стенками решения уравнения Гельмгольца вида (3) существуют не при любом значении длины волны возбуждающего источника, а лишь при таких длинах волн, которые удовлетворяют резонансному условию (7).

2. Каждому допустимому значению целочисленного индекса р соответствуют своя резонансная длина волны и своя характерная структура пространственного распределения векторов электромагнитного поля, представляющая собой тип колебаний в прямоугольном объемном резонаторе. В физике типы колебаний в резонаторах, как, впрочем, и типы волн в волноводах часто называют модами соответствующих распределенных систем (от латин. modus — образ).

3. Типы колебаний в прямоугольном объемном резонаторе можно классифицировать. Рассмотренная совокупность мод может быть обозначена как . Такая символика показывает, что поле в объемном резонаторе порождается волноводной волной типа , а вдоль оси z укладывается р стоячих полуволн.

Структура электромагнитного поля

Удобнее всего проследить структуру поля в резонаторе на примере простейшей моды . Здесь, очевидно, пространственное распределение напряженности электрического поля описывается формулой

(8)

где — произвольный амплитудный множитель. Магнитное поле в резонаторе находим непосредственно на основании второго уравнения Максвелла

из которого после подстановки (8) вытекают формулы для всех трех проекций:

(9)

резонатор объемный колебание

Необходимо обратить внимание на следующее важное обстоятельство: комплексные амплитуды обеих проекций магнитного вектора содержат мнимые единицы, в то время как комплексная амплитуда единственной отличной от нуля проекции электрического вектора чисто действительна. Это говорит о том, что между мгновенными значениями напряженностей электрического и магнитного полей в резонаторе существует сдвиг фаз по времени на угол 90°. Поэтому в объемном резонаторе, как и в любой другой электромагнитной колебательной системе, происходит непрерывный обмен энергией между электрическим и магнитным полями. Дважды за период собственных колебаний вся энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля и наоборот. Сказанное иллюстрируется мгновенными картинами распределения силовых линий электромагнитного поля в объемном резонаторе с типом колебаний (рис. 2). Картины построены для различных моментов времени в пределах половины периода.

Рис.2. Структура электромагнитного поля для колебаний

типа в последовательные моменты времени

Отметим также, что среднее значение вектора Пойнтинга, образованного полями вида (8) и (9), тождественно равно нулю. Отсутствие усредненного потока энергии через идеальный резонатор говорит об автономном, не зависящем от параметров внешних устройств характере собственных колебаний в такой электродинамической системе. На языке теории электрических цепей энергию, запасенную в резонаторе, можно назвать реактивной энергией.

Общая задача о собственных колебаниях в прямоугольном объемном резонаторе

Рассмотрим всю совокупность собственных колебаний различных типов в замкнутой полости прямоугольной формы с идеально проводящими стенками. Для этого вновь обратимся к рис. 1 и положим, что ось z является осью стоячей волны, а в поперечной плоскости XOY устанавливается распределение поля, отвечающее волне типа Етп прямоугольного волновода. Как уже говорилось, резонансное значение длины волны в волноводе зависит от целочисленного параметра – числа стоячих полуволн вдоль продольной оси резонатора: . С другой стороны, величины и связаны общим дисперсионным соотношением

(10)

Поскольку волна типа Етп имеет критическую длину

(11)

из равенства (10) получаем формулу для расчета резонансной длины волны колебания типа Етпр в прямоугольном объемном резонаторе

(12)

В практических расчетах часто используют также соответствующую резонансную частоту

(13)

Если допустить, что по прямоугольному волноводу распространяется волна типа Нтп, то аналогичным образом в замкнутой полости возникают колебания типа Нтпр. Совершенно очевидно, что их резонансные длины волн и резонансные частоты определяются выражениями (12) и (13).

Следует отметить, что в выражения (12) и (13) размеры , и относящиеся к осям х, у и z соответственно, входят совершенно равноправно. Поскольку известно, что некоторые индексы типов волн в волноводе могут быть равны нулю, возникает вопрос о том, существуют ли резонаторные моды с индексом .

Если , то поле в резонаторе не меняется вдоль оси z. Обратимся к волноводной волне типа Етп. Здесь силовые линии электрического вектора в продольном разрезе имеют конфигурацию, показанную на рис. 3а для случая п=1. Данный рисунок отвечает случаю, когда рассматриваемый тип волны является распространяющимся, т. е. . Если же значение стремится к, то длина волны в волноводе стремится к бесконечности и силовые линии вектора напряженности электрического поля приобретают вид «нитей», параллельных оси z (рис. 3б).

Рис.3. К вопросу о существовании колебаний типа Emn0

В пределе при электрический вектор имеет лишь z-ю составляющую и граничные условия на двух идеально проводящих торцевых стенках резонатора выполняются автоматически независимо от расстояния между ними. Таким образом, моды типа Етп0 в прямоугольном объемном резонаторе возможны.

Обратимся теперь к колебаниям Н-типа. Здесь исходная волна типа Нтп в волноводе, по определению, имеет электрические векторы, лежащие лишь в поперечной плоскости. Если все составляющие векторов поля не будут меняться вдоль оси z, как это должно быть в случае резонаторной моды типа Нтп0, то поле в любой точке резонатора должно обратиться в нуль, поскольку граничные условия на стенках с координатами z=0 и z=l выполняться не могут. Таким образом, в прямоугольном объемном резонаторе колебания типа Нтп0 физически не существуют.

Итак, классификация типов колебаний в прямоугольном объемном резонаторе включает в себя следующие этапы:

• одна из осей резонатора принимается за продольную ось регулярного прямоугольного волновода;

• устанавливается, какой тип волны, Етп или Нтп , существует в таком волноводе;

• определяется значение индекса р — число стоячих полуволн, которые укладываются между торцевыми стенками.

Следует заметить, что такой принцип классификации в значительной степени условен, так как связан с произвольным выбором продольной оси регулярного прямоугольного волновода. Чтобы уяснить это, обратимся к рис. 4а, на котором изображена уже знакомая картина силовых линий векторов электромагнитного поля для колебания типа Н101. Если теперь резонатор повернуть в пространстве таким образом, чтобы ребро с размером было ориентировано вдоль оси у (рис. 4б), то этот же самый электромагнитный процесс должен быть назван колебанием типа E110. Легко проверить, что резонансные длины волн для обоих названных типов колебаний одинаковы.

Рис. 4. К вопросу об условном характере классификации типов колебаний в прямоугольном объёмном резонаторе

Понятие основного типа колебаний

На практике обычно стремятся к тому, чтобы при заданной резонансной частоте геометрические размеры колебательной системы были минимальными. Этого удается достичь возбудив в резонаторе колебание основного (низшего) типа. Так принято называть моду с наибольшей резонансной длиной волны при фиксированных размерах резонансной полости.

Индексы m, п, р для основного типа колебаний, очевидно, должны подбираться так, чтобы предельно уменьшить знаменатель в формуле (2). Ясно, что один из индексов при этом должен быть равен нулю, а два оставшихся — единице. Нулевой индекс соответствует той декартовой оси, вдоль которой ориентировано ребро с наименьшей длиной.

Следует отметить, что в объемных резонаторах могут существовать вырожденные моды, у которых резонансные длины волн совпадают, несмотря на то что структуры поля совершенно различны. Примером могут служить колебания типов Е351 и Н135 в резонаторе кубической формы.

Структура электромагнитного поля в прямоугольном резонаторе

Строгий подход к проблеме собственных колебаний электромагнитного поля в замкнутой полости прямоугольной формы с идеально проводящими стенками основан на поиске комплекснозначной функции , которая удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца

(14)

во всех внутренних точках резонатора. Это векторное уравнение есть сокращенная форма записи трех скалярных уравнений относительно декартовых проекций (символом а обозначены х, у или z):

(15)

Проведенное ранее исследование наводит на мысль о том, что среди всевозможных решений таких уравнений должны быть особо выделены функции вида трехмерных стоячих волн

~ (16)

со всевозможными комбинациями трех гармонических сомножителей. Прямая подстановка выражения (16) в уравнение (15) приводит к следующему выводу: уравнение Гельмгольца для резонатора имеет решение не при любом значении коэффициента фазы , а лишь в том случае, когда этот параметр принадлежит дискретной совокупности, определяемой выражением

(22)

где m, n, p – положительные целые числа, не равные нулю одновременно. Отсюда естественным образом вытекает полученное ранее соотношение для расчета резонансных длин волн вида (12).

Теперь учтем, что на идеально проводящих стенках резонатора касательные составляющие электрического вектора должны обратиться в нуль. В развернутой форме это требование означает, что

при

при (18)

при

Равенства (18) позволяют конкретизировать допустимые решения и записать их так:

(19)

где А, В, С—не известные пока коэффициенты.

Далее следует принять во внимание то, что проекции электрического вектора внутри резонатора обязаны не только удовлетворять уравнению Гельмгольца (15), но и соответствовать векторному полю без источников, для которого

(20)

Подставив выражения (19) в формулу (20), приходим к выводу о том, что между амплитудными коэффициентами должна существовать линейная связь

(21)

Будем рассматривать поле колебания типа Emnp, для которого или в соответствии со вторым уравнением Максвелла

Отсюда получаем ещё одно уравнение связи

(22)

Решая систему алгебраических уравнений (21) и (22) относительно неизвестных A и B, получаем

(23)

Итак, комплексные амплитуды проекций вектора напряженности электрического поля для колебания типа Emnp в прямоугольном объёмном резонаторе имеют вид

(24)

где С – произвольный амплитудный коэффициент.

Комплексные амплитуды декартовых проекций магнитного вектора

(25)

Проекции векторов электромагнитного поля для резонаторных мод типа Hmnp находят аналогичным способом.

Пример решения задачи

Определить, какова должна быть длина закороченного с обоих концов отрезка прямоугольного волновода сечением , если известно, что при резонансной длине волны вдоль его оси укладывается три стоячие полуволны.

Решение

Дано: Резонансное значение длины волны генератора:

Отсюда

Проверка единиц измерения:

Подставив исходные данные, получим:

Ответ:

Вывод

В работе рассмотрена модель резонатора на основе прямоугольного волновода, на простейшем примере рассмотрен метод, позволяющий рассчитать резонансную длину волны и структуру электромагнитного поля в объемном резонаторе, образованном отрезком прямоугольного волновода.

Также изучены структура электромагнитного поля, общая задача о собственных колебаниях в прямоугольном объемном резонаторе, определен основной тип колебаний в прямоугольном резонаторе.

Также можно сделать определенные выводы:

1. Для прямоугольной полости с идеально проводящими стенками решения уравнения Гельмгольца существуют не при любом значении длины волны возбуждающего источника, а лишь при таких длинах волн, которые удовлетворяют резонансному условию.

4. Типы колебаний в прямоугольном объемном резонаторе можно классифицировать. Рассмотренная совокупность мод может быть обозначена как . Такая символика показывает, что поле в объемном резонаторе порождается волноводной волной типа , а вдоль оси z укладывается р стоячих полуволн.

В окончании работы приведен пример решения типичной задачи по данной теме.

Литература

1. Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: «Высшая школа», 1992. – 416с.

2. Баскаков С.И. Сборник задач по курсу «Электродинамика и распространение радиоволн». – М.: «Высшая школа», 1981. – 208с.

3. Лебедев В.И. Техника и приборы СВЧ.т.1. – М.: «Высшая школа», 1970. – 438с.

4. Говорков В.А. Электрические и магнитные поля. – М.: «Государственное энергетическое издательство», 1960. – 464с.

5. Справочник по волноводам. Под ред. Я.Н.Фельда. – М.: «Советское радио», 1952. – 432с.