Використання можливостей системи Wolfram Mathematica при вивчені математичного аналізу

На сьогоднішній день в широких колах користувачів обчислювальних машин став досить  популярним і широко використовуваним термін «комп'ютерна математика». Дане поняття включає сукупність як теоретичних і методичних засобів, так і сучасних програмних і апаратних засобів (10).

Попит на універсальні і спеціалізовані програмні пакети для вирішення різних прикладних завдань викликав появу на ринку програмних продуктів систем комп'ютерної математики (СКМ), які швидко стали популярними.

В останні роки в процес математичної освіти дедалі наполегливіше і успішніше впроваджуються такі системи, як DERIVE, MatLab, Maple, MuPAD, Mathematica та ін. Вони звільняють користувача від проведення громіздких, рутинних викладок, однотипних обчислень і дозволяє зосередитися безпосередньо на аналізі модельованого явища. Діалог з пакетом СКМ відбувається на досить природній мові, використовуються традиційні позначення і способи написання формул. Безсумнівним достоїнством сучасних СКМ є прекрасні графічні можливості, що дозволяє зробити наочними багато математичних понять і методів.

У викладацькому середовищі математиків існує обґрунтоване побоювання, що використання систем комп'ютерної математики "зіпсує" математичну підготовку студентів, подібно до того, як "калькулятор розучив їх рахувати". Вихід бачиться у роз'ясненні призначення та використання СКМ. Очевидно, що успішне використання СКМ можливо лише за умови знання основ математики. Більше того, щоб використати всі можливості таких пакетів як MatLab, Maple, Mathematica потрібна дужа висока математична культура (7, c. 3).

А також, при залученні СКМ для обчислень потрібно пам'ятати, що використовувати обчислювальну систему не завжди просто. Для одних і тих же завдань система може пропонувати кілька варіантів виконання, і студент, який застосовує систему, повинен вміти вибрати найбільш ефективний варіант. Далі, будь-яка система комп'ютерної математики не застрахована від локальних помилок, і користувач повинен пам'ятати про способи контролю проведених обчислень. Тобто потрібно, в певному сенсі, вміти відслідковувати процес виконання перетворень. Також потрібно мати уявлення про способи подання даних в СКМ.

В даній курсовій роботі об'єктом дослідження є процес вивчення математичного аналізу.

Предметом дослідження – використання СКМ Wolfram Mathematica при вивченні математичного аналізу.

Мета даної роботи – продемонструвати можливості системи Wolfram Mathematica при вивчені математичного аналізу.

Актуальність роботи полягає в тому, що за допомогою системи WM, студент може самостійно перевіряти себе, тобто, контролювати рівень формування навичок і умінь, представляти результати у найбільш наочній формі, будувати без труднощів складні тривимірні поверхні і т.д. При цьому звільняти час для обдумування алгоритмів, більш глибокого вивчення математичної сутності розв'язуваних задач і їх рішень різними методами.

Для досягнення поставленої мети визначені наступні задачі:

1. розглянути програму навчальної дисципліни «Математичний аналіз» та самостійну роботу студентів по цій дисципліні;

2. розглянути та проаналізувати сучасні СКМ;

3. розглянути загальні відомості про систему Wolfram Mathematica;

4. розглянути особливості та інтерфейс системи WM;

5. продемонструвати обчислення границь функцій у WM;

6. продемонструвати обчислення похідних і інтегралів у WM;

7. продемонструвати побудову графіків на плоскості та у просторі в WM;

8. продемонструвати розкладання функцій в ряди Тейлора і Маклорена.

9.

1.1 Деякі відомості математичного аналізу

Математичний аналіз займає центральне місце в ряду математичних і технічних дисциплін, які вивчаються. Він є базою, стартовим матеріалом для їх розуміння та засвоювання.

В процесі навчання математичного аналізу студенти отримують знання та навички як найпростішого, так і складного аналізу. Вони вчаться використовувати методи диференціального та інтегрального числення функцій однієї або декількох змінних. Широко ознайомлюються з дослідженнями функцій та способами їх представлення, вивчають різноманітні прийоми та оператори для логічного та грамотного запису виразів. Більш повний зміст курсу представлений у програмі навчальної дисципліни "Математичний аналіз", яка приведена у додатку 1.

Методи математичного аналізу, засновані на доказах теорем, лем, наслідках та ін., привчають студентів до строгості математичного мислення, абстрактності в підходах до розв’язання задач, до бачення та прогнозування аналогових ситуацій. Оволодіння методами математичного аналізу дозволяє використовувати їх в дослідницьких та практичних цілях, домагаючись реальності результатів та необхідної точності розрахунків (6, c. 3).

Міцне засвоєння сучасних математичних методів дає змогу випускнику університету розв’язувати в своїй діяльності актуальні практичні задачі та розуміти написані на сучасному науковому рівні результати інших дослідників і тим самим удосконалювати свою проф. майстерність (6, c. 4).

Однак, курс математичного аналізу дуже широкий і складний, він охоплює великий об’єм матеріалу. Проте, виділених годин на практичні заняття не достатньо для якісного засвоєння необхідного матеріалу та для формування навичок і умінь по цій дисципліні. Тому, приблизно 1/3 відводиться на самостійну роботу студентів.

Самостійна навчальна робота не лише формує у студентів навички і вміння самостійного здобування знань, що важливо для здійснення неперервної освіти протягом усієї подальшої трудової діяльності, а й має важливе виховне значення, оскільки формує самостійність як рису характеру, що відіграє істотну роль у структурі особистості сучасного спеціаліст вищої кваліфікації.

Вагомим підґрунтям для самостійної роботи має стати лекція, на якій викладач не просто закликає до самостійної роботи, а й порушує проблеми, пропонує конкретні завдання, рекомендує певну літературу чи системи комп’ютерної математики, визначає час для виконання роботи, повідомляє види й терміни її контролю, наголошує на можливості отримати консультацію (8,c. 126).

Використання СКМ у самостійній роботі студентів при вивчені математичного аналізу дає змогу поєднати високі обчислювальні можливості з перевагами графічного подання інформації. Це сприяє розвиткові геометричної інтуїції, графічних навичок, евристичної діяльності студентів і дає змогу враховувати їхні індивідуальні здібності. Також системи комп’ютерної математики можна паралельно використовувати як потужні електронні довідники з великою кількістю прикладів (8, c. 140).

1.2 Короткий огляд та аналіз сучасних систем комп’ютерної математики

Нові інформаційні технології докорінно змінили порядок вирішення математичних завдань. Тепер рішення завдань і виконання математичних перетворень доцільно проводити за допомогою спеціальних програм. Саме огляду і короткому аналізу таких програмних продуктів і присвячений даний підрозділ (4, c. 15).

За функціональністю сучасні математичні системи діляться в цілому на дві категорії: пакети, призначені в основному для чисельних розрахунків (MatLab, S-PLUS) і системи комп’ютерної алгебри (Derive, Mathematica, Maple, Macsyma, частково, MathCad) – вони також називаються системами символьних чи аналітичних обчислень (Symbolic Manipulation Program). Це найбільш універсальні математичні програми, здатні вирішувати най різноманітні задачі, причому як чисельно, так і точно – аналітично (11).

Опис та особливості системи Mathematica будуть розглянуті в підрозділі 1.3.

1) DERIVE

Система Derive, повна назва якої Derive a Mathematical Assistant (математичний помічник Derive), фірми Soft Warehouse, Inc., являється маловимогливим до ресурсів пакетом символьної математики, орієнтованим в першу чергу на студентів та шкільних викладачів. Однак він з успіхом використовується також для серйозних наукових досліджень (3, c. 11).

Derive є зручним інструментом при диференціюванні, інтегруванні, розкладанні функцій в ряди, знаходженні границь. Система має повний набір вбудованих елементарних функцій, а також безліч статистичних і спеціальних математичних функцій. Система дозволяє працювати з матрицями, проводити перетворення Фур’є і Лапласа. Здатність системи працювати з комплексними числами робить її привабливою для радіотехнічних і електротехнічних розрахунків. Загалом, можливості системи повністю покривають потреби класичних курсів елементарної та вищої математики (1, c. 23).

2) MAPLE

Даний продукт компанії Waterloo Maple Software, Inc. (http://www.maplesoft.com/), дозволяє виконувати як чисельні, так і аналітичні розрахунки з можливістю редагування тексту і формул на робочому аркуші. Завдяки представленню формул в поліграфічному форматі, чудовою двовимірної і тривимірної графіки та анімації Maple є одночасно і потужним науковим графічним редактором.

Проста і ефективна мова-інтерпретатор, відкрита архітектура, можливість перетворення кодів Maple в коди C робить його дуже ефективним засобом створення нових алгоритмів. Володіє інтуїтивно зрозумілим інтерфейсом, простими правилами роботи і широким функціоналом, цей продукт вже завоював популярність у російських математиків та інженерів. Найближчим конкурентом Maple є пакет Mathematica фірми Wolfram Research.

3) MATHСAD

Це інтегроване середовище для виконання, документування та обміну результатами технічних обчислень від компанії MathSoft, Inc. (http://www.mathsoft.com/). Система має зручний інтерфейс, добре розвинені засоби допомоги і велику довідкову базу. Mathсad служить засобом обчислень, аналізу та написання звітів для професіоналів у всіх галузях науки і техніки. Барвисті дво- і тривимірні графіки будуються миттєво і з автоматичним вибором масштабу. Продукт простий у використанні і не викликає проблем при навчанні (10).

Система Mathcad спочатку була орієнтована на чисельні розрахунки, але в даний час, у зв’язку з інтеграцією з Maple, система набула широкі можливості для символьних перетворень (7, c. 27).

Багато проблем, що виникають при роботі з Mathcad, знімаються завдяки наявності електронних підручників та можливості підключення до глобальної Мережі Інтернет, через яку користувач отримує доступ до сервера, на якому можна знайти приклад вирішення подібного завдання.

4) MACSYMA

Macsyma від компанії Macsyma, Inc.( http://www.macsyma.com/) – це одна з перших математичних програм, які оперують символьною математикою. Сильна сторона Macsyma – розвинутий апарат лінійної алгебри та диференціальних рівнянь. Система орієнтована на прикладні розрахунки і не призначена для теоретичних досліджень у галузі математики. У зв’язку з цим в програмі відсутні або скорочені розділи, пов’язані з теоретичними методами (теорія чисел, теорія груп, та _пе.)

Macsyma має дуже зручний інтерфейс. Робочим документом програми є науковий зошит, в якому містяться доступні для редагування поля тексту, команд, формул і графіків. Відмінною особливістю пакету є сумісність з текстовим редактором Microsoft Word. Майже всі команди Macsyma в бібліотечних файлах завантажуються автоматично; дуже зручно і вікно перегляду (браузер) математичних функцій. Macsyma генерує коди FORTRANа і C, включаючи керуючі оператори (10).

5) MATLAB

MATLAB (MATrix LABoratory – матрична лабораторія) – продукт компанії MathWorks, Inc. (http://www.mathwork.com/), що представляє собою мову високого рівня для науково-технічних обчислень.

В основу створення системи MATLAB покладено принцип розширюваності, що дозволяє адаптувати систему під завдання користувача. Сутність цього принципу полягає в тому, що користувач може створювати практично необмежену кількість власних функцій, які зберігаються на жорсткому диску ЕОМ.

Основні області застосування MATLAB – це математичні розрахунки, розробка алгоритмів, моделювання, аналіз даних і візуалізація, наукова та інженерна графіка, розробка програм, включаючи графічний інтерфейс користувача.

Мультиплатформеність MATLAB зробила його одним з найпоширеніших продуктів – він фактично став прийнятими в усьому світі стандартом технічних обчислень (10).

Програма MATLAB в основному призначена для чисельного моделювання систем, однак починаючи з версії 5.0 містить спеціальний модуль MatLab Notebook для оформлення документів, а також придбаний модуль символьної бібліотеки програми Maple V для виконання аналітичних перетворень (1, c. 30).

6) S-PLUS

S-PLUS – продукт компанії Insightful Corporation (http://www.insightful.com/), раніше відомої як підрозділ MathSoft, яка нині є одним зі світових лідерів у сфері статистичного аналізу даних, візуалізації та прогнозування.

S-PLUS представляє собою інтерактивне комп’ютерне середовище, яке забезпечує повнофункціональний графічний аналіз даних і включає оригінальну об’єктно-орієнтовану мову. До основних переваг S-PLUS відносяться неперевершена функціональність, можливість інтерактивного візуального аналізу даних, методи підготовки аналізованих даних, простота використання найсучасніших статистичних методів, потужні обчислювальні можливості, розширюваний набір статистичних методів і гнучкий інтерфейс користувача (10).

1.3 Загальні відомості про систему Wolfram Mathematica

Система Mathematica створена американською компанією Wolfram Research, Inc., голова і засновник якої – відомий фізик і математик Стефан Вольфрам (Stephen Wolfram) – є основним автором розробки. Ще в 70-х роках молодий дослідник (С. Вольфрам народився в 1959 році), працюючи в різних галузях фізики, звернув увагу на те, що вченим дуже часто зустрічаються схожі комплекси громіздких математичних викладок, які віднімають багато часу. Проводити такі обчислення в той час можна було або «в лоб» – озброївшись ручкою і зошитом, або за допомогою «замовних» комп’ютерних програм вузької спеціалізації (12).

Поставивши собі за мету забезпечити вчених продуктивним математичним інструментом, Вольфрам зібрав колектив розробників для визначення архітектури нової (як тепер кажуть, повністю ексклюзивної) комп’ютерної системи. Далекоглядна концепція системи Mathematica полягало у створенні раз і назавжди такої системи символьної математики, в якій можна було б обробляти найрізноманітніші аспекти технічних обчислень і не тільки, когерентним і єдиним чином. Ключовим інтелектуальним досягненням, завдяки якому це стало можливо, стало створення нового виду символічної комп’ютерної мови, яка вперше змогла маніпулювати найширшим діапазоном об’єктів, необхідних для досягнення універсальності, обов’язкових для технічних обчислень, використовуючи при цьому лише невелику кількість примітивів (13).

У серпні 1987 року була заснована Wolfram Research, а наступного року – у червні 1988 року – офіційно вийшла перша версія системи Mathematica на платформі Macintosh. Програма одразу ж отримала дуже гарні відгуки з боку провідних (і не тільки математичних) видань світу. Ще менш ніж через півроку з’явилася версія Mathematica для комп’ютерів з MS-DOS.З тих пір були розроблені версії системи для Microsoft Windows, Windows NT, OS/2, Linux, Unix, Convex і т.д. – всього більше ніж для 20 операційних систем і апаратних засобів.

У 1991 році фірма Wolfram Research представила другу версію Mathematica, що включає в себе вдосконалену мову програмування, компілятор і можливість використання готових звукових схем. Третя версія, випущена в 1996 році, представила Mathematica як пакет з новим, простим у використанні інтерфейсом з кнопками та палітрами (13).

Спочатку, вплив системи Mathematica відчувався у фізиці, математиці та інженерних дисциплінах. Але з роками, система Mathematica стала активно використовуватися в набагато ширшому діапазоні областей знань, що виходять за рамки технічних. Система Mathematica використовується сьогодні в різних дисциплінах – фізиці, біології, соціальних та інших науках. Вона зіграла вирішальну роль у багатьох важливих відкриттях і стала основою для тисяч технічних документів. У комерційній діяльності система Mathematica грає важливу роль у розвитку складного фінансового моделювання і в даний час широко використовується в багатьох видах загального планування та аналізу. Система Mathematica також є важливим інструментом у галузі інформатики і в розробці програмного забезпечення – її мовний компонент широко використовується як середовище для проведення досліджень, написання прототипів, і в створенні інтерфейсів.

Найбільша частина користувачів системи Mathematica складається з фахівців технічних та інших галузей знань. Однак система Mathematica також широко застосовується в освіті і зараз сотні курсів, від середньої школи до аспірантури, засновані на її використанні. До того ж, після появи студентської версії, Mathematica стала популярним і престижним інструментом для студентів у всьому світі (2, c. 102).

З тих пір, як була випущена перша версія Mathematica, кількість користувачів системи неухильно зростає і зараз їх загальна кількість налічує мільйони. Сьогодні вона використовується всіма компаніями зі списку Fortune 50, в усіх 15-ти департаментах уряду США, і в кожному з 50-ти найбільших університетах світу.

Протягом багатьох років спільність базового дизайну системи Mathematica неухильно дозволяла їй розширювати сфери її області впливу. Поступово, система Mathematica пройшла шлях від програми, яка використовується переважно для математичних та технічних розрахунків до інструменту, широко застосовуваного у різних інших областях обчислювальних дисциплін (13).

1.4 Особливості системи Wolfram Mathematica

З перших кроків і до остаточного результату Mathematica володіє швидким та інтуїтивно-зрозумілим управлінням. Mathematica допомагає швидко просуватися до рішення при використанні її безпосередньо як інструмент обчислень або ж як потужну систему моделювання.

Для того, хто зібрався вперше попрацювати з Mathematica, труднощі можуть розпочатися негайно. Все, що система пропонує при запуску, - це чисте робоче вікно нового блокнота. Однак досить невеликого досвіду роботи з комп’ютером, щоб поступово освоїтися і вже незабаром визнати – за широтою охоплення математичного матеріалу, за можливостями оформлення робочих документів і, особливо, по частині інтерфейсу Mathematica як мінімум не поступається всім іншим математичним системам разом взятих.

Вбудовані підказки й інтегрована допомога допомагають швидко почати роботу. Вводячи необхідні числа і символи можна використовувати традиційну систему запису (9).

Однією з особливостей програми є назва стандартних функцій повними іменами без скорочень. Це дозволяє (при певному рівні знання математичної англійської мови) дуже швидко знаходити потрібні функції.

Mathematica не тільки може виконувати необхідні обчислення, але й у багатьох випадках вона вибере оптимальний спосіб проведення обчислень. Все що потрібно зробити – це визначити завдання; Mathematica ховає всі складні механічні аспекти вирішення, дозволяючи концентруватися безпосередньо на завданні.

Mathematica однаково добре справляється з завданнями різної складності і масштабів, це щось більше, ніж звичайна script-мова. Можна сказати, що система Mathematica написана на мові Mathematica, хоча деякі функції, особливо пов’язані з лінійною алгеброю, з метою оптимізації були написані мовою C (5, c.15).

Система Mathematica складається з ядра (обчислювальний механізм) і зовнішньої оболонки (візуальний інтерфейс), які взаємодіють через протокол MathLink. Ці компоненти можуть з’єднуватися самими різними шляхами. Інші компоненти, які використовують MathLink, можуть мати можливість взаємодіяти з Mathematica.

Бібліотека програм Mathematica – це постійно розширювальна збірка складного програмного забезпечення, яка створена для вирішення технічних і обчислювальних завдань для різних специфічних областей. Кожний додаток програми було створено фахівцем у своїй галузі, який знає, як застосувати обчислювальні можливості Mathematica для вирішення щоденних завдань (13).

Основні можливості системи Mathematica наведені у додатку 2.

Величезним достоїнством програми Wolfram Mathematica є потужна довідкова система, яка дозволяє уточнити призначення будь-якої функції, оператора або службового слова системи і поступово знайомить з її можливостями. Однак вона включає в себе не тільки дуже якісний опис функцій з прикладами, а також підручник. У ній є всі матеріали для тих хто тільки починає роботу з програмою, і для тих хто працює з нею дуже давно. Але є один недолік – вся програма і довідкова система написані виключно англійською мовою. Тому ця довідкова система не претендує на роль навчальної системи і незручна для знайомства з системою Mathematica (9).

1.5 Інтерфейс системи Wolfram Mathematica

Після установки пакета в головному меню створюються ярлики на два файли: Mathematica і Mathematica Kernel. Справа в тому, що ярлик Mathematica Kernel запускає ядро пакету, яке робить всі обчислення, а ярлик Mathematica запускає інтерфейсну частину пакету.

Інтерфейс системи Mathematica реалізує відображення вікон, палітр, панелей інструментів, знаків і розташування їх у різному вигляді і в різних місцях екрану монітора. Типовий робочий вид програми показано на рис.1.4.1. Він складається з основного меню програми (у верхній частині екрана), вікна робочого документа або «блокноту» (notebook) і панелі (палітри) для введення _пец символів і знаків найбільш вживаних математичних операцій (в Mathematica є можливість виклику ще шести стандартних панелей, крім того , користувач сам може створити подібну панель з набором потрібних йому _пец символів і команд) (12).

Основне меню програми містить кілька сотень найменувань пунктів меню, підменю, команд, функцій. Вивчити їх відразу неможливо: з короткого опису не можна зрозуміти зміст. Зміст пунктів меню, підменю, команд можна зрозуміти тільки в процесі роботи з системою.

Вікно робочого документа або блокнот складається з комірок. Грубо комірку можна порівняти з параграфом у текстовому редакторі. Вся інформація, яка є в блокноті, зберігатися в його комірках. Як тільки в порожньому новому файлі набирається хоча б один символ, Mathematica створить для нього комірку. Комірка також є мінімальною одиницею, яку можна обчислити. Тобто, якщо у комірці є дві формули, обчислити їх окремо не вийде. Усі комірки можна розділити на три типи:

• комірки введення – в них задаються команди (формули), які будуть обчислені;

• комірки результату – у них Mathematica виводить результат обчислень;

• не обчислювані комірки – комірки з текстом, заголовки і все інше, що вводить користувач і обчислювати не треба (7, c. 59).

Будь-які клітинки можна об’єднувати і розбивати за допомогою команд меню Cell: Divide Cell (розбити клітинку) і Merge Cells (об’єднати комірки).

Введення даних здійснюється в комірки. Пакет підтримує кирилицю і грецькі літери нарівні з англійським алфавітом. Можна називати змінні російськими літерами, також як і грецькими. У той же час, ідентифікатори розрізняються по регістру, тобто змінна A не те саме, що змінна a.

Для швидкого доступу до функцій, розробники Mathematica ввели спеціальні типи вікон, які називаються палітрами. Палітри містять вікна з кнопками, які виконують дії. Дії можуть бути абсолютно різними: від додавання грецької букви, до розкриття дужок у алгебраїчному виразі. Різні палітри доступні через меню Palettes. Огляд стандартних палітр можна знайти у додатку 3 (12).

Wolfram Mathematica має розвинені засоби форматування тексту. За допомогою їх можна розбивати блокнот на глави і розділи, вводити пояснювальний текст і т.д. Стилі можна задати як всьому блокноту, так і окремій комірці цілком, або частково. Також можна змінити відображення всіх стандартних стилів і додати нові.

2.1 Обчислення границь функції

wolfram mathematica математичний аналіз функція

Багато функцій при наближенні аргументу до деякого значення або до деякої області значень прагнуть до певної границі. Так, функція sin(x)/x при х, яка прагне до нуля (позначимо це як х→ 0), дає границю 1 у вигляді усувної невизначеності 0/0.

Чисельні математичні системи, так само як і більшість програм на звичайних мовах програмування, не сприймають вираз 0/ 0 → 1 як об'єктивну реальність. Їх захисний механізм налаштований на примітивне правило - нічого не можна ділити на 0. Отже, обчислення sin(x)/x при х = 0 буде супроводжуватися видачею помилки типу «Ділення на 0». Звичайно, в даному конкретному випадку можна передбачити особливий результат – видати 1 при х = 0. Але це окремий випадок. У цілому ж подібні системи «не розуміють» поняття границі.

У системі Mathematica границі визначаються за допомогою вбудованої функції Limit, яка має вигляд:

Limit (f(х), х → х₀),

де:

• f (х) - функція, границю якої необхідно визначити;

• х - аргумент функції f(х);

• х₀ - граничне значення х.

На рис. 2.1.1 представлені приклади застосування функції Limit. Ця функція дозволяє не тільки чисельно знаходить границі функцій, заданих аналітично, але і дозволяє знайти границю у вигляді математичного виразу. Це свідчить про високі інтелектуальні можливості системи Mathematica.

При роботі з функцією Limit використовуються наступні опції:

• Analytic – вказує, чи є невідома функція аналітичною. Опція використовується у вигляді Analytic→True (або False), значення за замовчуванням – Automatic. Великого практичного значення ця опція не має;

• Direction - вказує напрямок, в якому відбувається наближення до границі. Опція використовується у вигляді Direction→-1 (або +1), за замовчуванням вибір залишається за системою (Automatic). Значення +1 означає границю ліворуч, а -1 – праворуч (здавалося б, повинно бути навпаки, але задано саме так).

Застосування опції Direction пояснюють приклади, показані на рис. 2.1.2.

З прикладів видно, що границі при наближенні до них зліва і справа різні. Графік дає пояснення наближень і відповідей. З графіка видно, що функція має розрив безперервності і при наближенні до нього ліворуч (+1), границею буде від’ємне значення функції (-π / 2), і при наближенні праворуч (-1) – позитивне (π / 2).

2.2 Обчислення похідних

До числа найбільш часто використовуваних математичних операцій належить обчислення похідних функцій як в аналітичній, так і в символьній формі. Для цього використовуються такі функції:

• D (f, х) – повертає частинну похідну функції f по змінній х;

• D (f, {х, n}) – повертає частинну похідну n-го порядку по х;

• D (f, xl, х2 ,...) – повертає змішану похідну;

• Dt (f, х) – повертає узагальнену похідну функції f по змінній х;

• Dt (f) – повертає повний диференціал f.

Для функції D існує опція NonConstants, яка дозволяє задати список об'єктів, що знаходяться в неявній залежності від змінних диференціювання. За замовчанням цей список порожній. Для функції Dt є опція Constants, яка, навпаки, вказує символи, які є константами (за замовчанням їх список також порожній). На практиці застосовувати дані опції приходиться рідко.

Існує ще одна функція, Derivative (nl, n2 ,...) (f), - основна (загальна) форма подання функції, отриманої в результаті nl-кратного диференціювання функції f по першому аргументу, n2-кратного - по другому аргументу і т . д.

Приклади застосування функції D і Dt для обчислення похідних в аналітичному вигляді показані на рис. 2.2.1 й рис. 2.2.2, відповідно.

Приклади на рис. 2.2.3 ілюструють обчислення похідних від першого до третього порядку включно для функції f(х), заданої користувачем.

З останнього прикладу видно, що для обчислення вищих похідних можливе послідовне застосування функції D.

У цілому засоби для символьного обчислення похідних, які є в ядрі системи Mathematica, охоплюють практично всі важливі типи математичних виразів. Вони можуть включати в себе як елементарні, так і спеціальні математичні функції, що вигідно відрізняє систему Mathematica від деяких простих систем символьної математики, таких як Derive.

3. Обчислення інтегралів

Одна з найважливіших операцій – обчислення первісних і визначених інтегралів у символьному вигляді. Зауважимо, що визначений інтеграл може бути представлений як аналітичним, так і чисельним значенням. Для обчислення чисельних значень визначених інтегралів розроблено ряд наближених методів – від простих (прямокутників і трапецій) до складних, які автоматично адаптуються до характеру зміни підінтегральної функції f(x).

Для інтегрування в системі Mathematica використовуються наступні функції:

• Integrate (f, x) – повертає первісну (невизначений інтеграл) підінтегральної функції f по змінній х;

• Integrate (f, {x, xmin, xmax}) – повертає значення визначеного інтеграла з межами від x_minдо x_max;

• Integrate (f, {x, xmin, xmax}, {у, ymin, ymax },...) – повертає значення кратного інтеграла з межами від x_minдо x_maxпо змінній х, від y_minдо y_maxпо змінній у і т. д.

Для більш зручного вживання цих функцій, також як і для похідної і границі, існують кнопки з відповідними значками на палітрі Basic Math Assistant .

Приклади обчислення невизначених інтегралів представлені на рис. 2.3.1.

Тут вхідна комірка у першому прикладі представлена у форматі введення (Input-Form), а в інших прикладах – в стандартному форматі (StandardForm), при використанні палітри. При записі інтегралів останній формат кращий зважаючи на наочності, оскільки при цьому знаки інтеграла мають природний математичний вигляд.

Наступна серія прикладів (рис. 2.3.2) ілюструє обчислення визначених інтегралів звичайного виду та інтегралів з межами-функціями.

Система Mathematica має найширші можливості обчислення інтегралів. Ядро системи увібрало в себе формули інтегрування з усіх відомих довідників.

Mathematica здатна обчислювати навіть кратні інтеграли з фіксованими і змінними, верхнім або нижнім, межами.

На рис. 2.3.3 представлено обчислення декількох подвійних визначених інтегралів. Хоча обчислення подвійного інтеграла передбачено в синтаксисі функції Integrate, це не завжди дає результат. Як правило, обчислення кратних інтегралів краще виробляти, використовуючи послідовне обчислення однократних інтегралів, вкладених один в одного.

При обчисленні складних інтегралів, наприклад які не мають представлення через елементарні функції, система Mathematica 2 зверталася до своїх пакетів розширень в спробі знайти рішення, яке може бути представлене через спеціальні математичні функції. Mathematica наступних версій вже не акцентує увагу користувача на свої проблеми і, як правило, видає результат інтегрування. Однак деколи він може мати досить незвичайний вигляд (рис. 2.3.4).

Ці приклади наочно показують, що обчислення первісних в системі може дати результати, далекі від тривіального обчислення невизначених інтегралів, приведених у звичайних довідниках з математики. До речі, і при обчисленні тривіальних інтегралів результат може бути іншим, ніж у довідниках, із-за різних перетворень, застосованих для отримання кінцевих формул. Часом можуть знадобитися певні зусилля для отримання результату в заданій формі. Як підінтегральний вираз, так і результати обчислень можуть містити як елементарні, так і спеціальні математичні функції.

Необхідно зазначити, що результати символьного інтегрування в системах Mathematica різних версій нерідко різняться. Більше того, вони можуть різнитися і в межах однієї версії Mathematica, так як ядро системи постійно вдосконалюється. Звичайно більш пізні версії дають більш точні результати обчислень особливих інтегралів, хоча часом вони і виглядають більш складними і навіть незвичайними. Це говорить про необхідність вдумливо ставитися до одержуваних результатів.

Для обчислення чисельних значень визначених інтегралів використовується функція NIntegrate (f, {x, xmin, xmax}), яка повертає чисельне наближення інтеграла від функції f по змінній х в межах від x_minдо x_max.

Вона має ряд опцій, які можна отримати, виконавши команду Options (Nlntegrate). Наведемо приклади чисельного інтегрування (рис. 2.3.5).

Ці приклади показують, що функція NIntegrate з успіхом може застосовуватися для обчислення як однократних, так і багатократних визначених інтегралів, в тому числі зі змінними межами.

4. Побудова графіків на площині

У відношенні графіки система Mathematica є лідером серед систем комп'ютерної алгебри. Велика кількість опцій дозволяє оформляти графічні образи практично в будь-якому бажаному вигляді.

Графіки в системі Mathematica є об'єктами і тому вони можуть бути значеннями змінних.

Почнемо розгляд графічних можливостей системи з побудови найпростіших графіків функцій однієї змінної виду у = f (x) або просто f (x). Графік таких функцій будується на площині, тобто в двовимірному просторі. При цьому використовується прямокутна (декартова) система координат. За замовчуванням будуються і лінії координатної системи.

Для побудови двовимірних графіків функцій виду f(x) використовується вбудована в ядро ​​функція Plot:

Plot (f, {x, xmin, xmax}) – повертає об'єкт, що представляє собою графік функції f аргументу х в інтервалі від xmin до xmax;

Plot ({f1, f2 ,...}, {x, xmin, xmax}) – повертає об'єкт у вигляді графіків ряду функцій fi.

Функція Plot використовується для побудови однієї або кількох ліній, що дають графічне представлення для зазначених функцій f, f1, f2 і т. д. Приклади застосування функції Plot показані на рис. 2.4.1.Зауважимо, що графіки побудовані без використання будь-яких опцій (точніше, з набором опцій за замовчуванням).

Рис. 2.4.1. Приклади Побудови графіків на площині

В міру ускладнення задач користувачеві рано чи пізно перестануть влаштовувати графіки, одержувані при автоматичному виборі їх стилю та інших параметрів. Для точного налаштування графіків Mathematica використовує спеціальні опції графічних функцій. Для виведення їх списку треба використовувати команду Options (Plot).

Ще одним важливим засобом настроювання графіків є графічні директиви. Синтаксис їх подібний синтаксису функцій. Однак директиви не повертають об'єктів, а лише впливають на їх характеристики. Застосування графічних директив спільно з опціями дозволяє створювати графіки самого різного виду. Так як список опцій і директив дуже великий, то не будемо на ньому зупинятися.

Також часто виникає необхідність побудови графіка по точках. Це забезпечує вбудована в ядро ​​графічна функція ListPlot:

• ListPlot ({yl, у2 ,...}) – виводить графік списку величин. Координати х приймають значення 1, 2, ...;

• ListPlot ({{x1, y1}, {х2, у2 },...})– виводить графік списку величин з зазначеними х і y координатами.

У найпростішому випадку (рис. 2.4.2) ця функція сама задає значення координати х = 0, 1, 2, 3, ...і будує на графіку точки з координатами (х, у), вибираючи у послідовно зі списку координат. Функція ListPlot, особливо в її другій формі (із заданими координатами х і у), зручна для виведення на графік експериментальних точок.

Система Mathematica також дозволяє будувати графіки функцій в полярній системі координат. Побудова графіків в полярній системі координат можливо двома способами. Перший спосіб ґрунтується на використанні звичайної декартової системи координат. Координати кожної точки при цьому задаються в параметричному вигляді: x = f _x(t) і у = f _у(t), де незалежна змінна t змінюється від мінімального значення t_min до максимального t_mах. Особливо зручне застосування таких функцій для побудови замкнутих ліній, таких як кола, еліпси, циклоїди і т. д.

Рис. 2.4.2. Приклад Побудови графіка по точках

Для побудови параметрично заданих функцій використовуються наступні графічні засоби:

• ParametricPlot ({fx, fy}, {t, tmin, tmax}) – будує параметричний графік з координатами fх і fу (відповідними х і у), одержуваними як функції від t;

• ParametricPlot ({{fx, fy}, {gx, gy },...}, {t, tmin, tmax}) – будує графіки декількох параметричних кривих.

Функції fx, fу можуть бути як безпосередньо вписані в список параметрів, так і визначені як функції користувача.

Рисунок 2.4.3 показує побудову параметрично заданої фігури Ліссажу. Вона задається функціями синуса і косинуса з постійним параметром R і аргументами, кратними t.

Тепер розглянемо другий спосіб побудови графіків в полярній системі координат (рис. 2.4.4). Для цього використовується функція PolarPlot:

PolarPlot (f, {t, tmin, tmax}) – будує графік в полярній системі координа