Метод релаксации переменных решения СЛАУ

Содержание

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Список используемой литературы

Задание 1

Построить таблицу значений функции алгебры логики, найти все существенные переменные:       

Решение

Распишем данную функцию по действиям и для всех наборов значений 3 переменных, посчитаем их результаты:

Функция тождественно принимает значение 0 при любых значениях переменных x,y,z. Поэтому в данной функции существенных переменных нет.

Задание 2

Построить полином Жегалкина функции:

Решение

Записываем таблицу значений функции

Находим СДНФ функции по единицам:

СДНФ функции:

Полином Жегалкина:

Задание 3

Найти СКНФ и СДНФ функции:

Решение

Найдем с помощью таблицы значений:

Получим СДНФ (единицы функции) и СКНФ (нули функции):

СДНФ (единицы):       

СКНФ (нули):    

Задание 4

С помощью карт Карно найти минимальную КНФ и ДНФ функции:

Решение

Запишем карту Карно:

Минимальные формы:

КНФ (покрытия по нулям):

ДНФ (покрытия по единицам):     

Задание 5

Придумать связный ориентированный граф из пяти вершин и не менее чем семи ребер (ориентированы могут быть не все ребра). Для данного графа составить структурную матрицу, по ней (методами булевой алгебры) найти все пути и сечения между двумя любыми несмежными вершинами на ваш выбор

Решение

Таблица:

Пути из 1 в 4:

1. 1-3-4

2. 1-2-4

Задание 6

Придумать связный взвешенный граф из восьми вершин и не менее чем 14 ребер (нумерация ребер – слева направо, веса от 1 до 20). Для этого графа построить минимально островное дерево с помощью алгоритма Прима, и найти расстояние между вершинами 1 и 8 с помощью алгоритма Дейкстры. Реализовать алгоритм на любом языке программирования.

алгебра логика граф полином дейкстра

Решение

Текст программы для алгоритма Дейкстра

//---------------------------------------------------------------------------

#include

#pragma hdrstop

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma argsused

//Нахождение расстояния от источника до всех вершин в графе

//с неотрицательными весами (метод Дейкстры).

//Нахождение кратчайшего пути из S в T.

#include

#define MaxNodes 14

#define B 1000  //Машинный эквивалент бесконечности.

//Описание типа узла стека.

typedef struct Zveno *svqz;

struct Zveno

{

  int Element;

  svqz Sled;

};

class Spisok

{

  private:

         int A(MaxNodes)(MaxNodes);  //Матрица весов дуг.

         int D(MaxNodes); //Матрица расстояний от источника до

                          //всех вершин графа.

          svqz Stack; //Указатель на рабочий стек.

         void UDALENIE (svqz *, int *);

         void W_S (svqz *, int);

         int Pusto_Q (int *);

  public:

          Spisok() {Stack = NULL;}

         void Vvod_Ves();

          void Reshenie ();

};

void main ()

{

  Spisok A;

  A.Vvod_Ves();

  A.Reshenie();

}

int Spisok::Pusto_Q (int *Q)

{

  for (int i=0;i

    if ( *(Q+i)!=0 ) return 0; //Ложь - не пусто!

  return 1; //Истина - пусто!

}

void Spisok::Reshenie ()

{

  int S; // Начальная вершина пути (источник).

  int T; // Конечная вершина пути.

  int u,v,Min;

  int i,j,k;

  svqz UkZv;

  int Q(MaxNodes);

  cout << "input source : ";

  cin >> S; S--;

  //Инициализация.

  for (i=0;i

  D(S) = 0;

  for (i=0;i

  Q(S) = 0;

  //Вычисление матрицы расстояний от

  //источника до всех вершин графа.

  while (!Pusto_Q(&Q(0))) //Пока Q не пусто.

  {

    Min = B;

    for (i=0;i

     if (Q(i)==1 && D(i)

    Q(u) = 0;

    for (i=0;i

     if (Q(i) == 1)

       if ( D(i) > D(u)+A(u)(i) ) D(i) = D(u) + A(u)(i);

  }

  //Вывод матрицы расстояний от источника

  //до всех вершин графа.

  cout << "matrix of distanses: \n";

  for (i=0;i

  cout << endl;

  // -----------------------------------------------------

  // Нахождение кратчайшего пути из S в T с использованием

  //            построенной матрицы расстояний.

  // -----------------------------------------------------

  cout << "Inpute finish node: ";

  cin >> T; T--;

  W_S (&Stack,T); v = T;

  while ( v!=S )

  {

    for (i=0;i

      if ( D(v)==D(i)+A(i)(v) ) u = i;

    W_S (&Stack,u);

    v = u;

  }

  //Вывод кратчайшего пути на экран дисплея.

  cout << "Minimal path: ";

  UkZv = Stack;

  while ( UkZv != NULL )

  {  cout << (UkZv->Element+1) << " ";

     UkZv = UkZv->Sled;  }

  cout << endl;

}

void Spisok::Vvod_Ves()

//Ввод матрицы весов дуг заданного графа.

{

  cout << "Inppute the elements of edge matrix by strings:\n";

  for (int i=0;i

   for (int j=0;j

     {

       cout << "Inpute A(" << (i+1) << "," << (j+1) << "): ";

       cin >> A(i)(j);

       if ( A(i)(j)==0 ) A(i)(j) = B;

     }

}

void Spisok::W_S (svqz *stk, int Elem)

//Помещение Elem в стек stk.

{

  svqz q=new (Zveno);

  (*q).Element = Elem;

  (*q).Sled = *stk; *stk = q;

}

void Spisok::UDALENIE (svqz *stk, int *Klad)

//Удаление звена из стека, заданного указателем *stk.

//Значение информационного поля удаляемого звена сохраня-

//ется в параметре Klad.

{

  svqz q;

  if (*stk==NULL) cout<<"try to select from the empty stack!\n";

  else

         { *Klad = (**stk).Element;

           q = *stk; *stk = (**stk).Sled; delete q; }

}

Алгоритм Прима:

//---------------------------------------------------------------------------

#include

#pragma hdrstop

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma argsused

#include

#define TRUE 1

#define FALSE 0

typedef int Boolean;

typedef unsigned int SubInt;

typedef struct Uzel *Ref;

struct Uzel

{

  SubInt X; //Начало дуги.

  SubInt Y; //Конец дуги

  int Pay;  //Стоимость дуги.

  Ref Left; //Указатель на левого сына.

  Ref Right;//Указатель на правого сына.

};

typedef struct zveno *svqz;

struct zveno

{

  unsigned int Element(256);

  svqz Sled;

  zveno();

};

zveno::zveno()

{

  for(int k=0;k<256;Element(k++)=0);

}

class Spisok

{

  private:

          Ref Root;

          void Search (int, int, int, Ref *);

          void Poisk (svqz, SubInt, svqz *);

          void Postroenie (svqz *);

          void Udalenie (svqz *, svqz);

  public:

          Spisok() { Root = NULL;} //Вначале дерево пусто.

          void Reshenie();

          void Postr();

};

void Spisok::Search (int A, int B, int C, Ref *p)

//Добавление вершины, содержащей поля A,B,C, в дерево *p.

{

  if ( (*p) == NULL )

  {

           (*p) = new (Uzel); (**p).X = A; (**p).Y = B; (**p).Pay = C;

           (**p).Left = (**p).Right = NULL;

  }

  else

           if ( C<=(**p).Pay ) Search (A,B,C,&((**p).Left));

           else

                    if ( C>(**p).Pay ) Search (A,B,C,&((**p).Right));

}

void Spisok::Postroenie (svqz *UkStr)

//Постpоение линейного однонапpавленного списка

//с заглавным звеном, содержащего вершины графа.

{

  svqz UkZv;

  int el;

  (*UkStr) = new (zveno);

  UkZv = (*UkStr); UkZv->Sled = NULL;

  cout << "Input nodes: \n";

  cin >> el;

  while ( el!=0 )

  {

          UkZv->Sled = new (zveno); UkZv = UkZv->Sled;

          UkZv->Element(el) = 1; UkZv->Sled = NULL;

          cin >> el;

  }

}

void Spisok::Postr()

//Постpоение деpева, содержащего все ребра графа.

{

  int A,B,C;

  cout << "For every nodes input input start and finish\n";

  cout << "node and cost of edge:\n";

  cin >> A >> B >> C;

  while ( A!=0 )

  { Search (A,B,C,&Root);

          cin >> A >> B >> C;

  }

}

void Spisok::Poisk (svqz st, SubInt MENT, svqz *Res)

{

  svqz q;

  (*Res) = NULL; q = st->Sled;

  while  ( q != NULL  &&  (*Res) == NULL )

  {

          if ( q->Element(MENT)==1 ) (*Res) = q;

          else  q = q->Sled;

  }

}

void Spisok::Udalenie (svqz *zv, svqz UkStr)

//Удаление из однонапpавленного списка с заглавным звеном

//элемента, на который указывает указатель zv.

{

         svqz Z;     //"Стаpый" указатель.

         svqz UkZv1; //"Hовый" указатель.

         if ( (*zv)->Sled != NULL ) (**zv) = *((**zv).Sled);

         else

         {  Z = UkStr; UkZv1 = UkStr->Sled;

                   while  (UkZv1 != (*zv))

                   { Z = UkZv1; UkZv1 = UkZv1->Sled; }

                   Z->Sled = NULL; delete UkZv1;

         }

}

void Spisok::Reshenie()

{

  svqz UkStr;  //Указатель на список.

  Ref UkUzel;  //Рабочий указатель на узел дерева.

  Ref UkUzel1; //Рабочий указатель на узел дерева.

  SubInt T1,T2;

  svqz Res1,Res2;

  //Построение первоначальных множеств вершин графа.

  Postroenie (&UkStr);

  cout <<"Edges with minimsl cost: ";

  while ( UkStr->Sled->Sled != NULL )

  {

          UkUzel1 = Root;       //"Отстающий" указатель.

          UkUzel  = Root->Left; //"Опережающий" указатель.

          if ( UkUzel== NULL )

          { //Выбор в дереве ребра наименьшей стоимости и ...

                   T1 = Root->X; T2 = Root->Y;

                   //... удаление этого ребра из дерева.

                   Root = Root->Right; delete UkUzel1;

          }

          else

          { //Выбор в дереве ребра наименьшей стоимости и ...

                   while ( UkUzel->Left != NULL )

                   {

                     UkUzel1 = UkUzel1->Left;

                     UkUzel  = UkUzel->Left;

                   }

                   T1 = UkUzel->X; T2 = UkUzel->Y;

                   //... удаление этого ребра из дерева.

                   UkUzel1->Left = UkUzel->Right;

                   delete UkUzel;

          }

          //Если v и w принадлежат различным

          //множествам W1 и W2 из VS ...

          Res1 = Res2 = NULL;

          Poisk (UkStr,T1,&Res1);

          Poisk (UkStr,T2,&Res2);

          if ( Res1!=Res2 )

          {

           for (int k=0;k<256;k++)

              if ( Res1->Element(k)==1 || Res2->Element(k)==1 )

                     Res1->Element(k)=1;

             Udalenie (&Res2,UkStr);

             cout << "(" << T1 << " " << T2 << ")  ";

          }

  }

}

void main ()

{

  Spisok Tree;

  Tree.Postr();

  Tree.Reshenie();

}

Список используемой литературы

1. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики / МАИ. М., 1992.

2. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.

3. Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977.

4. Берзтисс А.Т.Структуры данных.1974