Вычисление электрической энергии и электрических сил

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Полная энергия заряженной системы определяется как

W = \frac{1}{2}\int \varphi {\rm d}q

(24)

Она состоит из собственных энергий тел системы Wown, i и энергий взаимодействия каждого из тел со всеми остальными Wint, i, all. При необходимости можно разбить Wint, i, all на энергии попарного взаимодействия Wint, i, j. Для вычисления собственной энергии i-го тела при интегрировании учитывается только им создаваемый потенциал, а для нахождения Wint, i, all - напротив, потенциал всех тел, кроме i-го:

W=

\sum\limits_iW_{own,i}+\sum\limits_{i} W_{int,i,all} = \sum\limits_iW_{own,i}+\sum\limits_{i,j} W_{int,i,j} =

(25)
=

\frac{1}{2}\sum\limits_i\int \varphi_i {\rm d}q_i + \frac{1}{2}\sum\limits_i\int \varphi_{all,except i} {\rm d}q_i =\frac{1}{2}\sum\limits_i\int \varphi_i {\rm d}q_i + \frac{1}{2}\sum\limits_{i,j}\int \varphi_{j} {\rm d}q_i

При наличии заряженных точек или нитей в местах их нахождения оказывается φ = ∞. Собственные энергии таких объектов и полная энергия - формально - равны ∞, так что рассмотрению подлежат лишь энергии взаимодействия.

В случае двух тел энергия их взаимодействия - это энергия взаимодействия первого тела со вторым Wint, 1, 2 плюс равная ей энергия взаимодействия второго тела с первым Wint, 2, 1:

W_{int} = 2W_{int,1,2} = \int \varphi_{2} {\rm d}q_1 = \int \varphi_{1} {\rm d}q_2

(26)

Сила взаимодействия двух тел может быть найдена как сила, действующая со стороны первого тела на второе или (что - с точностью до знака - то же самое) как сила, с которой второе тело действует на первое:

\vec{F}_{1 to 2} = \int \vec{E}_1{\rm d}q_2, \vec{F}_{2 to 1} = \int \vec{E}_2{\rm d}q_1

(27)

Здесь \vec{E}_1- поле, создаваемое одним первым, а \vec{E}_2- одним вторым телом.

Задача. Шар R, равномерно заряженный по объему (ρ0). Найти собственную энергию заряженного шара.

Решение: Мы должны сначала найти потенциал внутри шара, для чего ищем по теореме Гаусса поле:

E_r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0r^2} q_{inside}(r)

=

\frac{1}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot\frac{4\pi\rho_0r^3}{3} = \frac{\rho_0r}{3\varepsilon_0}, r<R

=

\frac{1}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot\frac{4\pi\rho_0R^3}{3} = \frac{\rho_0R^3}{3\varepsilon_0r^2}, r>R

Это поле мы интегрируем, получая φ(r) для r

φ(r)=

\int\limits_r^{+\infty} E_r(\tilde{r}) {\rm d}\tilde{r} = \int\limits_r^R \frac{\rho_0\tilde{r}}{3\varepsilon_0} {\rm d}\tilde{r} + \int\limits_R^{\infty} \frac{\rho_0R^3} {3\varepsilon_0\tilde{r}^2}{\rm d}\tilde{r} =

\frac{\rho_0(R^2-r^2)}{6\varepsilon_0} + \frac{\rho_0R^2}{3\varepsilon_0} = -\frac{\rho_0r^2}{6\varepsilon_0}+\frac{\rho_0R^2}{2\varepsilon_0}

Имея потенциал и записав dq как

dq = ρ0 r2dr sinθdθ dφ

можно найти энергию шара непосредственным интегрированием:

Wown=

\frac{1}{2}\int\limits_0^R\int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{\pi} \varphi(r) \rho_0 r^2{\rm d}r \sin\theta{\rm d}\theta {\rm d}\varphi = 4\pi \frac{1}{2}\int\limits_0^R \varphi(r) \rho_0 r^2{\rm d}r =

2\pi\cdot\left(-\int\limits_0^R \frac{\rho_0r^2}{6\varepsilon_0} \rho_0 r^2{\rm d}r + \int\limits_0^R\frac{\rho_0R^2}{2\varepsilon_0} \rho_0 r^2{\rm d}r \right) =

-\frac{2\pi\rho_0^2R^5}{30\varepsilon_0} + \frac{2\pi\rho_0^2R^5} {6\varepsilon_0} = \frac{4\pi\rho_0^2R^5}{15\varepsilon_0}

Эта энергия совпадает с полной энергией, поскольку система состоит только из одного тела.

Задача. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Найти энергию и силу взаимодействия заряда со своим изображением.

Ответ: W_{int}=-\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0l}, \vec{F} = -\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0l^2} \vec{k}, \vec{k} \bot плоскости.

Подобные работы:

Актуально: