Способы улучшения цифровых сигналов в условиях ограниченного объема априорной информации
Содержание
Основная часть
Выводы
Библиографический список
В современных радиоэлектронных системах в процессе передачи сигнала на него накладываются различные шумы. Процесс приема и перевода сигнала в цифровой вид также сопряжен с внесением в сигнал шумовой составляющей. В большинстве случаев шум является аддитивным. Как правило, при обработке сигнала основной задачей является выделение полезной и ослабление шумовой составляющей. Для решения данной задачи чаще всего используются критерий минимума среднеквадратической погрешности или критерий среднеабсолютного отклонения. В связи с чем актуальной является задача обработки цифрового сигнала одновременно по нескольким критериям (1).
В связи с этим значительный интерес представляет использование многокритериальных методов обработки результатов измерений, представленных единственной реализацией при ограниченном объеме априорной информации о функциях полезной составляющей и шуме.
Цель работы – уменьшение дисперсии шумовой составляющей многокритериальными методами сглаживания входного сигнала, представленного единственной реализацией нестационарного случайного процесса в условиях априорной неопределенности.
Пусть исходные результаты измерений представляют собой дискретную последовательность значений измеряемой физической величины 
, полученную в равноотстоящие моменты времени 
где 
(
- константа). Данную выборку результатов измерений можно рассматривать как реализацию случайного процесса 
, который является аддитивной смесью полезного сигнала и шума. Упрощенная математическая модель входного сигнала представляется в виде:
, 
, (1)
где 
– полезная составляющая; 
– аддитивная шумовая составляющая; 
– объем выборки.
Функциональная зависимость от времени 
полезной составляющей неизвестна. Закон распределения аддитивного шума 
также считается априорно неизвестным. Однако предполагается, что плотность распределения шумовой составляющей имеет нормальный закон, а математическое ожидание равно нулю.
Получение оценки 
величины 
можно интерпретировать как уменьшение дисперсии аддитивного шума 
. Предлагается уменьшать дисперсию измеряемого процесса путем существенного уменьшения суммы квадратов конечных разностей его значений (2):
(2)
а также (или) уменьшения суммы квадратов конечных разностей второго порядка:
. (3)
При этом в качестве меры расхождения исходного и полезного сигналов используется сумма:
. (4)
Для определения оценок 
будем стремиться одновременно уменьшить суммы (2 и(или) 3) и (4). Эта цель достигается минимизацией двухкритериальных целевых функций вида (1–3):
, (5)
, (6)
а также минимизаций трехкритериальной целевой функцией вида:
,(7)
где 
и 
– постоянные регулировочные множители. При реализации рассматриваемых методов сглаживания наилучшие результаты на основе использования имитационного моделирования достигаются при значениях 
в случае использования целевых функций вида (5) и (6) и 
, 
в случае использования целевой функции вида (7).
Заметим, что целевые функции (6, 5–7) непрерывны и ограничены снизу на множестве 
, поэтому, по крайней мере, в одной точке 
достигает своего наименьшего значения. Докажем единственность такой точки на примере целевой функции вида (5). В силу необходимого условия экстремума ее координаты должны удовлетворять системе уравнений:
, (8)
то есть следующей системе линейных уравнений с неизвестными
:
. (9)
Перепишем систему (9) в виде:
. (10)
Докажем, что система уравнений (10) имеет единственное решение. С этой целью методом математической индукции установим справедливость утверждения 
«первые 
уравнений системы (10) задают переменные 
как линейные функции аргумента 
т.е. 
, причем 
, 
» при каждом 
(полагаем здесь 
). При 
имеем 
, 
, а в случае 
– 
, где 
, 
, то есть утверждения 
, 
верны. В предположении верности утверждения 
при некотором 
докажем справедливость утверждения 
. Из 
-го уравнения системы (10) получаем
где 
; 
.
Итак, утверждения 
выполнены. С помощью утверждения 
последнее уравнение системы (10) приводится к виду 
где 
, 
. Полученное уравнение имеет единственное решение 
, по которому однозначно определяются значения 
, где 
.
Таким образом, система уравнений (5) имеет единственное решение; аналогично доказательство единственности решения для целевых функций вида (6) и (7).
Для нахождения точки наименьшего значения целевых функций 
(5), (6) и (7) применим метод наискорейшего спуска (4). Зададим точность 
, с которой будут найдены значения . В качестве начальной итерации примем 
, . При каждом 
зададим величину 
, присвоив ей значение левой части k-го уравнения систем (10).
Для целевой функции (6), получим:
(11)
Целевая функция (7) сводится к решению системы:
(12)
Кроме того, для целевой функции вида (5) введем величину:
. (13)
Для целевой функции вида (6) – величину:
. (14)
Для целевой функции вида (7) – величину:
. (15)
Если 
, то в точке 
функция 
достигает наименьшего значения. Заметим, что 
и что тогда и только тогда, когда 
. В случае 
функция 
является квадратичной функцией с положительной второй производной. Решив уравнение 
, найдем точку минимума
– для целевой функции вида (5):
, (16)
– для целевой функции вида (6):
, (17)
– для целевой функции вида (7):
(18)
Так как в точке 
производная функции по направлению вектора 
положительна, то 
; следовательно 
. Произведем коррекцию значений 
:
, 
.
После этого проверяем условие
. (19)
Если неравенство (19) выполняется, требуемая точность считается достигнутой, и расчет заканчивается. Тогда 
, т.е. расстояние между двумя последними итерациями в пространстве 
не превосходит 
. В случае невыполнения условия (19) повторяется расчет величин 
и проверка указанного условия.
Таким образом, вектор оценок 
итерационно корректируется так, чтобы целевая функция достигла своего наименьшего значения. На некотором шаге итерационного процесса выполнится условие (19), и вычисления прекращаются. Полученный вектор оценок с заданной точностью будет являться точкой наименьшего значения целевой функции при заданных начальных условиях (5).
Также в работе предложено аналитическое решение двухкритериальной целевой функции вида (5). Как установлено ранее, точка минимума функции (5) является единственным решением системы линейных уравнений (2, 3)
(20)
Покажем, что это решение имеет вид
, 
, (21)
где
, (22)
(23)
|