Алгоритмічні проблеми

1. Алгоритмічні проблеми

Навчаючи арифметиці в початковій школі, ми познайомилися з додаванням і множенням двох чисел. Нам у явній формі не говорили, що в будь-якої пари чисел існують добуток і сума, а вказали способи і правила їхнього знаходження. Такі способи і правила є прикладами алгоритмів, і обчислювальних (ефективних) процедур. Їхнє застосування не вимагає чи винахідливості чи кмітливості, учню необхідно було тільки слідувати інструкціям учителя.

Більш загально, алгоритм, чи ефективна процедура, – це механічне правило чи автоматичний метод, чи програма для виконання деяких математичних операцій. Приведемо ще кілька прикладів операцій, для яких легко можна вказати алгоритми:

(1.1) (а) по даному п знайти n-e просте число;

(b) диференціювання полінома;

(c) знаходження найбільшого загального дільника двох натуральних чисел (алгоритм Евклида);

(d) для двох даних чисел х, у вирішити, чи є х кратним у.

Неформально і схематично алгоритм представлений на мал. 1а. На вхід подається інформація чи об'єкт, що підлягає обробці (наприклад, поліном у прикладі (1.1) (b), пари натуральних чисел у прикладах (1.1) (с) і (d)), а виходом є результат обробки операції над входом (так, для (1.1) (b) це похідна полінома, а для (1.1) (d) – відповідь «так» чи «ні»). Вихід виробляється автоматично чорним ящиком-який може бути комп'ютером або школярем, що діє по інструкції, чи навіть дуже розумним добре тренованим собакою. Алгоритм є процедура (чи спосіб обчислення), здійснювана чорним ящиком для одержання виходу з входу.

Якщо алгоритм, чи ефективна процедура, використовується для обчислення значень числової функції, то ця функція називається ефективно вычислимой, чи алгоритмічно вычислимой, чи просто вычислимой. Наприклад, функції ху,