Теорія і практика обчислення визначників

ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ

1. Основні поняття і теореми

Def. Нехай задано квадратну матрицю А n-го порядку з елементами a_ij, де i визначає номер рядка, j – номер стовпця і при цьому через х_j позначені стовпці матриці А, тобто

 і .

Визначником (det A) квадратної матриці А зі стовпцями х_j називається функціонал j(х₁, х₂, … , х_n) щодо стовпців цієї матриці, який:

а) лінійний за кожним з аргументів (полілінійний):

теорема обчислення визначник сума

j(х₁, …, aх_i1 + bх_i2, … , х_n) = aj(х₁, … , х_i1, … , х_n) + bj(х₁, … , х_i2, … , х_n);

б) абсолютно антисиметричний (антисиметричний по будь-якій парі аргументів): j(х₁, … , х_i, … , х_j, … , х_n) = –j(х₁, … , х_j, … , х_i, … , х_n);

в) підкоряється умові нормування:

.

Тоді, з огляду на загальний вигляд полілінійного антисиметричного функціонала, маємо:

а                                             б

Рис. 1

, (1)

де N(j₁ j₂ … j_n) – кількість безладів у перестановці .

Говорять, що в перестановці мається безлад, якщо j_k > j_m і k < m.

З формули (1) для визначника другого порядку одержуємо .

Визначник третього порядку дорівнює сумі шести (3! = 6) доданків. Для побудови цих доданків зручно скористатися правилом трикутників. Добуток елементів, що розташовані на головній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на рис. 1а, беруться з множником +1, а добуток елементів, що розташовані на побічній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на мал. 1б, беруться з множником –1, тобто

Властивості визначників:

1°. det A = det A^T. З цієї властивості випливає, що рядки і стовпці визначника рівноправні. У силу цього всі властивості, сформульовані для стовпців, можуть бути сформульовані і для рядків визначника.

2°. Якщо один зі стовпців визначника складається з нульових елементів, то визначник дорівнює нулю.

3°. Загальний множник у стовпці визначника можна виносити за знак визначника.

4°. Якщо у визначнику поміняти два стовпці місцями, то визначник змінить знак.

5°. Визначник, що має два рівних стовпці, дорівнює нулю.

6°. Якщо стовпці визначника лінійно залежні, то визначник дорівнює нулю.

7°. .

8°. Визначник не зміниться, якщо до стовпця визначника додати лінійну комбінацію інших стовпців.

9°. Визначник добутку двох квадратних матриць n-го порядку дорівнює добуткові визначників цих матриць.

Def. Якщо в матриці А порядку n викреслити i-й рядок та j-й стовпець, то елементи, що залишилися, утворять матрицю (n – 1)-го порядку. Її визначник називається мінором (n – 1)-го порядку, додатковим до елемента a_ij матриці А, і позначається М_ij, а величина А_ij = (–1) ^{i + j} М_ij називається алгебраїчним доповненням до елемента a_ij матриці А.

10°.  (Розкриття визначника за елементами j-го стовпця та за елементами i-го рядка).

11°.

12°. (Теорема Лапласа).

.

Тут – мінор, складений з елементів матриці А, що розташовані на перетині рядків i₁, i₂, …, i_k і стовпців j₁, j₂, …, j_k, а – алгебраїчне доповнення до цього мінора.

13°. (Про зміну елементів визначника).

Якщо , а , то .

3. Приклади розв’язування задач

Задача 1. Обчислити визначник: .

Розв’язання. I спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за елементами (наприклад) третього рядка (властивість 10º):

.

Визначники третього порядку, що входять до останнього виразу, обчислені за правилом трикутників.

II спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за мінорами 2-го порядку (наприклад тими, що розташовані в 1-муі 2-мурядках вихідного визначника, властивість 12º). Усього таких мінорів буде шість (1-й, 2-й стовпці; 1-й, 3-й стовпці; 1-й, 4-й стовпці; 2-й, 3-й стовпці; 2-й, 4-й стовпці; 3-й, 4-й стовпці). Одержимо:

.

III спосіб. Обчислимо визначник методом приведення визначника до трикутного вигляду. Для цього скористаємося властивістю 8°.

а) 1-й рядок додамо до 3-го рядка;

б) 1-й рядок, помножений на (–2), додамо до 4-горядка.

При цьому визначник не зміниться.

Далі: в) від 1-го рядка віднімемо 2-й рядок;

г) 2-й рядок, помножений на 3, додамо до 4-го рядка, помноженого на 2. При цьому визначник збільшиться вдвічі за рахунок множення 4-го рядка на 2.

;

д) в останньому визначнику 3-ій рядок помножимо на 2 і додамо до 4-го рядка. Визначник не зміниться. Одержимо:

.

Визначник матриці трикутного вигляду обчислюється як добуток діагональних елементів. Доходимо висновку, що вихідний визначник дорівнює –3.

Задача 2. Обчислити визначник: .

Рішення. Для обчислення визначника скористаємося методом виділення лінійних множників. Насамперед відзначимо, що вихідний визначник є багаточленом 4-го степеня відносно х. Крім того, при х = 2 перший і другий рядки співпадають, тобто визначник дорівнює нулеві. Отже, х = 2 є коренем багаточлена. Далі зауважуємо, що при х = 6, х = 12, х = 20 перший рядок співпадає з третім, четвертим і п’ятим рядком відповідно. Виходить, ми встановили всі чотири корені полінома, тобто

det А= C(x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).

Для знаходження C відзначимо, що у визначник множник х⁴ входить з коефіцієнтом, який дорівнює 1/24, а в багаточлен, що стоїть в правій частині, – з коефіцієнтом який дорівнює 1. Тоді C = 1/24. У такий спосіб:

det А = (x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).

Задача 3. Обчислити визначник: .

Рішення. Зрозуміло, що вихідний визначник можна одержати, якщо до всіх елементів визначника  додати х = 4. Тоді скористаємося методом зміни елементів визначника (властивість 13°). Одержуємо:

.

Визначник діагонального вигляду дорівнює добуткові діагональних елементів (5! = 120). Алгебраїчні доповнення дорівнюють: А₁₁ = 5! = 120;

А₂₂ = 3^.4^.5 = 60; А₃₃ = 2^.4^.5 = 40; А₄₄ = 2^.3^.5 = 30 і А₅₅ = 2^.3^.4 = 24.

Решта А_ij = 0. Одержуємо: det А = 120 + 4(120 + 60 + 40 + 30 + 24) = 120 + 4^.274 = 1216.

Задача 4. Обчислити визначник n-го порядку .

Рішення. Розкриємо визначник за елементами 1-го рядка:

,

а останній визначник розкриємо за елементами 1-го стовпця. Одержуємо:

D_n = 5D_{n – 1} – 4D_{n – 2}. (*)

Записане співвідношення називається рекурентним співвідношенням і дозволяє виразити D_n через такі ж визначники більш низького порядку.

З (*) одержуємо:

1) D_n – D_{n – 1} = 4(D_{n – 1} – D_{n – 2}) = 4²(D_{n – 2} – D_{n – 3}) = … = 4^{n – 2} (D₂ – D₁) =

= 4^{n – 2} (21 – 5) = 4ⁿ .

2) D_n – 4D_{n – 1} = D_{n– 1} – 4D_{n – 2} = D_{n– 2} – 4D_{n – 3} = … = D₂ – 4D₁ = 21 – 4^.5 = 1.

3)

Маємо систему рівнянь: . Віднімаючи з 1-го рівняння 2-е, одержуємо: 3D_{n – 1} = 4ⁿ – 1. У такий спосіб: .

4. Задачі і вправи для самостійного розв’язування

1. Визначити число безладів у перестановках (за вихідне розташування завжди, якщо немає особливих вказівок, приймається розташування 1, 2, 3, ... у зростаючому порядку):

а) 2, 1, 5, 4, 3; б) 6, 3, 2, 5, 1, 4; в) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2;

г) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4; д) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

D а) 4; б) 10; в) 18; г) 18; д) 36. ▲

2. З'ясувати, які з наведених нижче добутків входять у визначники відповідних порядків і, якщо входять, то з яким знаком:

а) а₄₃а₂₁а₃₅а₁₂а₅₄; б) а₁₃а₂₄а₂₃а₄₁а₅₅;

в) а₆₁а₂₃а₄₅а₃₆а₁₂а₅₄; г) а₃₂а₄₃а₁₄а₅₁а₆₆а₂₅;

д) а₂₇а₃₆а₅₁а₇₄а₂₅а₄₃а₆₂; е) а₃₃а₁₆а₇₂а₂₇а₅₅а₆₁а₄₄;

ж) а₁₂а₂₃а₃₄ …а_{n–1 n} а₂₅а_kk (1 £ k £ n); з) а₁₂а₂₃а₃₄ …а_n-1nа_n1n.

D а) –; б) не входить у визначник; в) +; г) +; д) не входить у визначник; е) +; ж) не входить у визначник; з) (–1)ⁿ. ▲

3. Вибрати значення i і k так, щоб наступні добутки входили у визначники відповідного порядку із зазначеним знаком:

а) а_1iа₃₂а_4kа₂₅а₅₃ з « + »; б) а₆₂а_i5а₃₃а_k4а₄₆а₂₁ з « – »;

в) а₄₇а₆₃а_1iа₅₅а_7kа₂₄а₃₁ з « + ».

D а) i = 1, k = 4; б) i = 5, k = 1; в) i = 6, k = 2. ▲

4. Користуючись тільки визначенням, знайти члени визначників, які мають у собі множники х⁴ і х³:

а) ; б) .

D а) 2х⁴, –х³; б) 10х⁴, –5х³. ▲

5. Знайти члени визначника 4-го порядку а) що містять елемент а₃₂ і входять у визначник зі знаком « + »; б) що містять елемент а₂₃ і входять у визначник зі знаком « – ».

D а) а₁₁а₂₄а₃₂а₄₃, а₁₃а₂₁а₃₂а₄₄, а₁₄а₂₃а₃₂а₄₁; б) а₁₁а₂₃а₃₂а₄₄, а₁₂а₂₃а₃₄а₄₁, а₁₄а₂₃а₃₁а₄₂. ▲

6. Виписати всі члени визначника 5-го порядку, що мають вигляд . Що вийде, якщо з їхньої суми винести а₁₄а₂₃ за дужки?

D . ▲

7. Як зміниться визначник n-гопорядку, якщо всі його стовпці записати в зворотному порядку? D Визначник помножиться на (–1)^(n(n–1))/2. ▲

8. Не розкриваючи визначників, довести, що:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ; д) .

D а) властивості 7, 3; б) властивості 7, 3, 5; в) властивості 7, 3, 5; г) властивість 5;

д) властивість 5. ▲

9. Знайти мінори елементів а₁₃, а₂₄, а₄₃ визначника .

D М₁₃ = 24; М₂₄ = – 126; М₄₃ = 52. ▲

10. Знайти алгебраїчне доповнення елементів а₁₄, а₂₃, а₄₂ визначника

.

D А₁₄ = 8; А₂₃ = 0; А₄₂ = – 12. ▲

11. Обчислити визначник, розкриваючи його по 3-му рядку .

D 8a + 15b + 12c – 19d. ▲

12. Обчислити визначник, розкриваючи його по 2-му стовпцю: .

D 5a – 5b – 5c + 5d. ▲

13. Обчислити наступні визначники, знижуючи їхній порядок за допомогою розкладання за елементами деякого рядка або стовпця:

а) ; б) ; в) .

D а) abcd; б) abcd; в) xyzuv. ▲

14. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

D а) 0; б) 6; в) 0; г) –2; д) –27; е) –27. ▲

15. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

D а) –7; б) 0; в) –1; г) 4; д) 40; е) –3. ▲

16. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

D а) 100; б) –5; в) 1; г) 2; д) 4; е) –8. ▲

17. Обчислити наступні визначники 3^-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) .

D а) (1 – e³)²; б) abc + x(ab + bc + ac); в) 0; г) –2(x³ + y³); д) 0; е) 0. ▲

18. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

D а) –7; б) 0; в) –1; г) –18. ▲

19. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

D а) 1; б) –5; в) 0; г) –3. ▲

20. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) 1; б) 48; в) 1; г) . ▲

21. Обчислити визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

D а) –8; б) –9; в) –6; г) –10. ▲

22. Обчислити визначники 5-го порядку:

а) ; б) . D а) 52; б) 5. ▲

23. Зведенням до трикутного вигляду обчислити визначники:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Dа) n!; б) 2n + 1; в) хⁿ(а₀ + а₁ + … + а_n); г) . ▲

24. Обчислити визначники методом виділення лінійних множників:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Dа) (х – 1)(х – 2)…(х – n +1); б) (x – a – b – c)(x – a + b + c)(x + a – b + c)(x + a + b – c);

в) (х² – 1)(х² – 4); г) x²z², вказівка: визначник не зміниться, якщо 1-й стовпець поміняти місцями з 2-м стовпцем і одночасно 1-й рядок із 2-м рядком; при х = 0 визначник дорівнює 0, аналогічно по z. ▲

25. Розв’язати рівняння:

а) ; б) ;

в) ; г) (х Î R).

Dа) х_i = a_i, i = 1, 2, … , n – 1; б) х_i = a_i, i = 1, 2, … , n; в) х = 0, 1, 2, … , n – 1; г) x = 1. ▲

26. Використовуючи метод рекурентних співвідношень, обчислити визначники: а) ; б) ; в) .

D а) ; б) 2^{n + 1} – 1; в) . ▲

27. Обчислити визначники методом представлення їх у вигляді суми визначників:

а) ; б) .

∆ а) хⁿ + (а₁ + а₂ + ^… + а_n)х^{n – 1}; б) вказівка: x_i º (x_i – a_i + a_i),

. ▲

28. Обчислити визначники методом зміни елементів визначника:

а) ; б) .

∆ а) ; б) . ▲

29. Обчислити визначники n-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

∆ а) 1; б) 3ⁿ; в) 1; г) хⁿ; д) 1 – n; е) (–2)^{n –1}(5n – 2). ▲

30. Обчислити визначники n-гопорядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

∆ а) (–2)^{n –2}(1 – n); б) n + 1; в) (–1)^{n –1}(n – 1); г) 1; д) (1 – (–1)ⁿ)/2, вказівка:

D_n = 1– D_{n –1}; е) 0, якщо n = 2k +1; (–1)^n/2, якщо n = 2k, kÎ Z; вказівка: D_n = – D_{n – 2}. ▲

31. Обчислити визначники n-го порядку:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

∆ а) (b₁ – а₁)(b₂ – а₂) … (b_n – а_n); б) (n – 1)!; в) (–1)^{n – 1.} n!; г) 0;

д) (–1)^{(n(n –1))/2}n^n–1(n + 1)/2; е)  ▲