Эконометрическое моделирование временных рядов

Задача 1

За год на предприятии были выпущены семь партий продукции, для каждой из которых были определены издержки. Вычислить сумму издержек для следующего плана выпуска.

линейный экономический моделирование

Таблица 1.1.Данные о планируемом выпуске изделий

Таблица 1.2.Данные о выпущенных партиях

Задача относится к разделу Парная регрессия, т.к. в ней даны один независимый параметр (единицы продукции, обозначим как х) и зависимый параметр (затраты, обозначим у).Прежде чем выбирать вид аппроксимирующей зависимости следует представить исходные данные графически.

Предполагаем линейную зависимость между х и у

Y=a+bx

Для определения параметров a,b используем метод наименьших квадратов

∑( y –(a+bx))² → min

Функция минимальна, если равны нулю ё, частные производные по параметрам т.е.:

y’a = ∑ (2( y-abx)(-1))=0

y’b = ∑ (2 ( y-a-bx)(-x))=0

или

na+b∑x =∑y,

a ∑x +b ∑x² =∑xy (1)

Система уравнений (1) однозначно определяет параметры a и b – это система двух уравнений с двумя неизвестными. Все остальные величины можно определить из исходных данных :

n- количество исходных точек,

∑x ∑y - суммарные значения параметров х и у по всем точкам,

∑xy - суммарное значение произведения параметров,

∑x²- суммарное значение квадрата величины х.

Рассчитаем коэффициенты линейного уравнения парной регрессии:

Σx^2 = (x^2) - cp –(xcp)^2

b = (cp(y*x) – cp (y)*cp (x))/(σx^2) (2)

a = cp( y) - b*cp(x)

Где индекс cp обозначает среднее значение данной величины, т.е. суммарное значение данной величины надо разделить на n.

Составим таблицу в редакторе Excel.

Таблица 1.3

Используя из табл. 1.3, получаем следующую систему уравнений:

7a+29b=1025

29a+155b=5530

Решаем систему уравнений методом последовательных исключений переменных или по формуле (2) и определяем коэффициенты

a= -6.127

b= 36.824

линейное уравнение запишем в виде

y=-6.127+36.824x (3)

Для варианта х=2,у=9 ,z =5 рассчитываем затраты

Таблица 1.4

Используя пакет прикладных программ (ППП) статистическая функция ЛИНЕЙНАЯ и графические результаты (добавить линию тренда) проверим полученные результаты.

Таблица 1.5

Рис.1.2.

Кроме того, по найденному уравнению линейной регрессии (3) проведем расчет величин у, сравним их с заданными, т.е. рассчитаем отклонения и определим их суммарное отклонение, которое должно быть равно нулю. Результаты приведем в табл. 1.6.

Таблица 1.6

Выводы:

1. Решена задача парной регрессии методом наименьших квадратов.

2. Получены коэффициенты в линейном уравнении y=-6.127+36.824x и рассчитан возможный домашний вариант.

3. Результаты проверены с помощью ППП и линии тренда.

Задача 2.

По семи территория Уральского района за 1995 г. Изе6стны значения двух признаков (табл.2.1)

Таблица 2.1

Требуется определить параметры парной регрессии для следующих функции: линейной степенной показательной, равносторонней геперболы и параболы методом наименьших квадратов (МНК). Составить прогноз величины у для некоторого х например для х=1.1 (х) min. Дать графическую интерпретацию результатов, использовать ППП для решения статистических задач сделать выводы.

К исходным данным добавим ещё одну пару значений х,у, связанную с порядковым номером по журналу и количеством студентов в группе, по формулам:

x8=xmin +((xmax-xmin)/Nсум)*Ni

y8=ymin+((ymax-ymin)/Nсум)*Ni

где, Ni –порядковый номер по журналу, Nсум- количество студентов в группе, min, max – минимальная и максимальная величины х и у по таблице 2.1.

после этого составляем таблицу 2.2 и рассчитываем все параметры для решения системы уравнений:

na+b∑x =∑y (4)

a∑x+b∑(x^2) =∑(xy)

Рассчитываем коэффициенты линейного уравнения парной регрессии:

σx^2= (x^2)cp = (xcp)^2

b= (cp(y*x) –cp(y)*cp(x))/(σx^2) (5)

a= cp (y) –b*cp(x)

Таблица 2.2.Линейная регрессия y=a+bx