Моделирование дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения
Московский авиационный институт
/государственный университет/
Филиал «Взлет».
Курсовая работа
по Теории вероятности и математической статистике
Выполнил: студент группы
Р 2/1 Костенко В.В.
Проверил: Егорова Т.П.
г.Ахтубинск 2004 г.
Содержание
Задание №1: Проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электрической схемы. Распределение дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения
Задание №2: Смоделируем случайную величину, имеющую геометрический закон распределения случайной величины
Задание №3: Проверка критерием Колмогорова: имеет ли данный массив соответствующий закон распределения
Список используемой литературы
Задание №1. Проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электрической схемы
Определение: При неограниченном увеличении числа опытов n частота события A сходится по вероятности к его вероятности p.
План проверки: Составить электрическую схему из последовательно и параллельно соединенных 5 элементов, рассчитать надежность схемы, если надежность каждого элемента: 0.6 < pi < 0.9. Расчет надежности схемы провести двумя способами. Составить программу в среде Turbo Pascal .
Схема:
Электрическая цепь, используемая для проверки теоремы Бернулли:
Расчет:
Чтобы доказать выполнимость теоремы Бернулли, необходимо чтобы значение частоты появления события в серии опытов в математическом моделировании равнялось значению вероятности работы цепи при теоретическом расчёте этой вероятности.
Математическое моделирование в среде TurboPascal
Program KURSOVIK;
Uses CRT;
Const c=5;
Var op,i,j,n,m:integer;
a,rab,pp,ppp,ppp1,ppp2:real;
p:array(1..c) of real;
x:array(1..c) of byte;
Begin
ClrScr;
Randomize;
p(1):=0.7; p(2):=0.8; p(3):=0.9; p(4):=0.7; p(5):=0.8;
Writeln(' Опытов: Исходы: Вероятность:'); Writeln;
For op:=1 to 20 do Begin
n:=op*100;m:=0;
Write(' n=',n:4);
For i:=1 to n do Begin
For j:=1 to c do Begin
x(j):=0;
a:=random;
if a End; rab:=x(i)+x(2)*(x(3)+x(4)+x(5)); If rab>0 then m:=m+1; End; pp:=m/n; writeln(' M= ',m:4,' P*= ',pp:3:3); End; ppp1:=p(1)+p(2)*(p(3)+p(4)+p(5)-p(3)*p(4)-p(3)*p(5)-p(4)*p(5)+p(3)*p(4)*p(5)); ppp2:=p(1)*p(2)*(p(3)+p(4)+p(5)-p(3)*p(4)-p(3)*p(5)-p(4)*p(5)+p(3)*p(4)*p(5)); ppp:=ppp1-ppp2; Writeln; Writeln(' Вер. в опыте: p=',ppp:6:3); Readln; End. Результат работы программы Опытов: Исходы: Вероятность: n= 100 M= 94 P*= 0.940 n= 200 M= 163 P*= 0.815 n= 300 M= 247 P*= 0.823 n= 400 M= 337 P*= 0.843 n= 500 M= 411 P*= 0.822 n= 600 M= 518 P*= 0.863 n= 700 M= 591 P*= 0.844 n= 800 M= 695 P*= 0.869 n= 900 M= 801 P*= 0.890 n=1000 M= 908 P*= 0.908 n=1100 M= 990 Р*= 0.900 n=1200 M= 1102 P*= 0.918 n=1300 M= 1196 P*= 0.920 n=1400 M= 1303 P*= 0.931 n=1500 M= 1399 P*= 0.933 n=1600 M= 1487 P*= 0.929 n=1700 M= 1576 P*= 0.927 n=1800 M= 1691 P*= 0.939 n=1900 M= 1782 P*= 0.938 n=2000 M= 1877 P*= 0.939 Вероятность в опыте: p= 0.939 Теоретический расчёт вероятности работы цепи: I способ: II способ: Вывод: Из математического моделирования с помощью Turbo Pascal видно, что частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к рассчитанной теоретически вероятности данного события P(A) = 0.939. Распределение дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения Моделирование случайной величины, имеющей геометрический закон распределения: (X=xk) = p(1-p)k где xk = k=0,1,2…, р – определяющий параметр, 0 По ряду распределения составим теоретическую функцию распределения F(x), изображённую на рис.2. Смоделируем дискретную случайную величину, имеющую геометрический закон распределения, методом Монте – Карло. Для этого надо: 1. Разбить интервал (0;1) оси ОК на k частичных интервалов: D1 – (0;р1), D2 – (р1;р1+р2) … Dk – (p1+p2+…+pk-1;1) 2. Разбросать по этим интервалам случайные числа rj из массива, смоделированного датчиком случайных чисел в интервале (0;1). Если rj попало в частичный интервал DI, то разыгрываемая случайная величина приняла возможное значение xi. По данным разыгрывания составим статистический ряд распределения Р*(Х) и построим многоугольник распределения, изображенный на рис.1. Построим статистическую функцию распределения F*(X), изображённую на рис.2. Теперь посчитаем теоретические и статистические характеристики дискретной случайной величины, имеющей геометрический закон распределения. Рис.1. Рис.2. Задание №2. Смоделируем случайную величину, имеющую геометрический закон распределения случайной величины Программав Turbo Pascal: Program kursovik; Uses crt; Const M=300; Var K,I:integer; P,SI,SII,SP,DTX,DSX,MX,MSX,GT,GS:real; X:array(1..300) of real; PI,S,P1,MMX,MS,D,DS,PS,STA,STR:ARRAY(0..10) OF REAL; BEGIN; CLRSCR; randomize; {ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РЯД} WRITELN('ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РЯД:'); P:=0.4; SI:=0; FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN IF K=0 THEN PI(K):=P ELSE IF K=1 THEN PI(K):=P*(1-P) ELSE IF K=2 THEN PI(K):=P*SQR(1-P) ELSE IF K=3 THEN PI(K):=P*SQR(1-P)*(1-P) ELSE IF K=4 THEN PI(K):=P*SQR(SQR(1-P)) ELSE IF K=5 THEN PI(K):=P*SQR(SQR(1-P))*(1-P) ELSE IF K=6 THEN PI(K):=P*SQR(SQR(1-P))*SQR(1-P) ELSE IF K=7 THEN PI(K):=P*SQR(SQR(1-P))*SQR(1-P)*(1-P) ELSE IF K=8 THEN PI(K):=P*SQR(SQR(SQR(1-P))) ELSE IF K=9 THEN PI(K):=P*SQR(SQR(SQR(1-P)))*(1-P) ELSE IF K=10 THEN PI(K):=P*SQR(SQR(SQR(1-P)))*SQR(1-P) ELSE SI:=SI+PI(K); WRITELN(' P(',K,')=',PI(K):6:5); END; READLN; WRITELN('ИНТЕРВАЛЫ:'); P1(1):=0.4; FOR K:=1 TO 10 DO BEGIN P1(K+1):=PI(K)+P1(K); WRITELN( 'PI(',K,')=',P1(K):6:5); END; READLN; {СТАТИСТИЧЕСКИЙ РЯД} WRITELN; WRITELN('СТАТИСТИЧЕСКИЙ РЯД:'); FOR I:=1 TO 9 DO BEGIN X(I):=RANDOM; WRITE(X(I):5:2); END; READLN; FOR I:=10 TO 99 DO BEGIN X(I):=RANDOM; WRITE(X(I):5:2); END; READLN; FOR I:=100 TO 200 DO BEGIN X(I):=RANDOM; WRITE(X(I):5:2); END; READLN; FOR I:=201 TO 300 DO BEGIN X(I):=RANDOM; WRITE(X(I):5:2); END; READLN; PS(K):=0; FOR I:=1 TO M DO BEGIN FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN IF ((X(I) PS(K):=PS(K)+1; END; END; END; FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN STA(K):=PS(K+1)/M; WRITELN('P*(',K,')=',STA(K):6:5); END; WRITELN; WRITELN('СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИНТЕРВАЛЫ:'); STR(1):=STA(0); FOR K:=1 TO 10 DO BEGIN STR(K+1):=STR(K)+STA(K); WRITELN(' PS(',K,')=',STR(K):6:5); END; READLN; {ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ МАТОЖИДАНИЕ Mx} MX:=0; FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN MMX(K):=K*PI(K); MX:=MX+MMX(K); END; WRITELN('ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ МАТОЖИДАНИЕ MX:',MX:6:5); MSX:=0; FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN MS(K):=K*STA(K); MSX:=MSX+MS(K); END; WRITELN('СТАТИСТИЧЕСКОЕ МАТОЖИДАНИЕ Mx*:',MSX:6:5); WRITELN; {ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ Dx} DTX:=0; DSX:=0; FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN D(K):=SQR(K-MX)*PI(K); DTX:=DTX+D(K); DS(K):=SQR(K-MSX)*STA(K); DSX:=DSX+DS(K); END; WRITELN('ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ Dx:',DTX:6:5); WRITELN('СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ Dx*:',DSX:6:5); WRITELN; {ТЕОР И СТАТ СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ G} GT:=SQRT(DTX); GS:=SQRT(DSX); WRITELN('ТЕОР СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ G:',GT:6:5); WRITELN('СТАТ СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ G*:',GS:6:5); WRITELN; READLN; END. Результаты: ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РЯД: P(0)=0.40000 P(1)=0.24000 P(2)=0.14400 P(3)=0.08640 P(4)=0.05184 P(5)=0.03110 P(6)=0.01866 P(7)=0.01120 P(8)=0.00672 P(9)=0.00403 P(10)=0.00242 ИНТЕРВАЛЫ: PI(1)=0.40000 PI(2)=0.64000 PI(3)=0.78400 PI(4)=0.87040 PI(5)=0.92224 PI(6)=0.95334 PI(7)=0.97201 PI(8)=0.98320 PI(9)=0.98992 PI(10)=0.99395 Статистический ряд: 0.57 0.86 0.58 0.11 0.81 0.26 0.17 0.14 0.51 0.53 0.80 0.57 0.17 0.14 0.30 0.58 0.80 0.55 0.86 0.81 0.80 0.18 0.39 0.02 0.74 0.67 0.57 0.32 0.30 0.92 0.64 0.95 0.96 0.25 0.10 0.87 0.44 0.76 0.87 0.43 0.84 0.58 0.62 0.87 0.90 0.70 0.20 0.62 0.08 0.54 0.53 0.47 0.08 0.40 0.30 0.09 0.26 0.54 0.29 0.60 0.95 0.52 0.27 0.99 0.54 0.84 0.75 0.74 0.03 0.42 0.98 0.92 0.32 0.07 0.06 0.49 0.36 0.15 0.03 0.75 0.05 0.17 0.20 0.03 0.54 0.76 0.28 0.16 0.09 0.58 0.96 0.29 0.92 0.88 0.92 0.03 0.57 0.78 0.61 0.05 0.71 0.67 0.10 0.62 0.39 0.10 0.01 0.72 0.27 0.09 0.14 0.60 0.24 0.88 0.40 0.07 0.43 0.39 0.28 0.84 0.68 0.93 0.66 0.65 0.81 0.02 0.02 0.05 0.32 0.29 0.17 0.10 0.34 0.81 0.02 0.26 0.02 0.34 0.23 0.28 0.66 0.43 0.52 0.00 0.16 0.17 0.07 0.11 0.75 0.21 0.37 0.45 1.00 0.29 0.35 0.37 0.54 0.28 0.63 0.25 0.08 0.67 0.30 0.17 0.58 0.93 0.64 0.25 0.68 0.06 0.39 0.35 0.79 0.43 0.80 0.99 0.36 0.64 0.52 0.65 0.29 0.02 0.81 0.01 0.53 0.98 0.89 0.61 0.25 0.32 0.44 0.99 0.14 0.30 0.28 0.44 0.83 0.97 0.01 0.72 0.36 0.09 0.03 0.57 0.21 0.66 0.26 0.80 0.39 0.95 0.48 0.10 0.59 0.39 0.94 0.25 0.28 0.86 0.03 0.98 0.36 0.13 0.80 0.88 0.82 0.64 0.76 0.08 0.28 0.70 0.31 0.49 0.58 0.84 0.60 0.03 0.72 0.04 0.81 0.86 0.84 0.85 0.03 0.87 0.96 0.77 0.28 0.59 0.75 0.38 0.40 0.55 0.57 0.04 0.70 0.70 0.46 0.21 0.79 0.21 0.88 0.70 0.89 0.10 0.35 0.30 0.44 0.25 0.40 0.80 1.00 0.84 0.29 0.16 0.68 0.28 0.48 0.41 0.49 0.17 0.98 0.58 0.53 0.83 0.84 0.70 0.76 0.44 0.40 0.64 0.81 0.89 0.32 0.39 0.21 0.77 0.22 0.05 0.76 0.24 P*(0)=0.44333 P*(1)=0.21000 P*(2)=0.12667 P*(3)=0.11000 P*(4)=0.04000 P*(5)=0.02333 P*(6)=0.01667 P*(7)=0.01000 P*(8)=0.01000 P*(9)=0.00333 P*(10)=0.00148 Статистические интервалы: PS(1)=0.44333 PS(2)=0.65333 PS(3)=0.78000 PS(4)=0.89000 PS(5)=0.93000 PS(6)=0.95333 PS(7)=0.97000 PS(8)=0.98000 PS(9)=0.99000 PS(10)=0.99333 Числовые характеристики: MX:1.45465 Mx*:1.36478 Dx:3.29584 Dx*:3.20549 G:1.81544 G*:1.79039 Задание №3. Проверка критерием Колмогорова: имеет ли данный массив соответствующий закон распределения Воспользуемся критерием Колмогорова. В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями рассматривается максимальное значение модуля разности между статистической функцией распределения F*(x) и соответствующей теоретической функцией распределения F(x). D = max | F*(x)- F(x)| D = 0.04 Далее определяем величину l по формуле: l = D\| n , где n – число независимых наблюдений. l = D\| n =0,04*\/ 300 = 0,693 и по таблице значений вероятности P(l) находим вероятность P(l). P(l) = 0,711. Это есть вероятность того, что (если величина х действительно распределена по закону F(x)) за счёт чисто случайных причин максимальное расхождение между F*(x) и F(x) будет не меньше, чем наблюдаемое. Нет оснований отвергать гипотезу о том, что наш закон распределения является геометрическим законом распределения. Воспользуемся критерием Колмогорова. В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями рассматривается максимальное значение модуля разности между статистической функцией распределения F*(x) и соответствующей теоретической функцией распределения F(x). D = max | F*(x)- F(x)| D = 0.04 Далее определяем величину l по формуле: l = D\| n , где n – число независимых наблюдений. l = D\| n =0,04*\/ 300 = 0,693 и по таблице значений вероятности P(l) находим вероятность P(l). P(l) = 0,711. Это есть вероятность того, что (если величина х действительно распределена по закону F(x)) за счёт чисто случайных причин максимальное расхождение между F*(x) и F(x) будет не меньше, чем наблюдаемое. Нет оснований отвергать гипотезу о том, что наш закон распределения является геометрическим законом распределения. Список используемой литературы 1. «Теория вероятностей» В. С. Вентцель. 2. «Теория вероятностей (Задачи и Упражнения)» В.С. Вентцель, Л. А. Овчаров. 3. «Справочник по вероятностным расчётам». 4. «Теория вероятностей и математическая статистика» В.Е.Гмурман. 5. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» В. Е. Гмурман.
