Теорія систем та системний аналіз
Контрольна робота
з дисципліни «Теорія систем та системний аналіз»
Варіант 6
Прізвище та ініціали викладача
Чорней Руслан Костянтинович
Київ 2010
1. Вимірювальні шкали
Вимірювання — це алгоритмічна операція, яка заданому спостережуваному стану об'єкта чи процесу ставить у відповідність певне позначення: число, номер або символ. Це забезпечує інформативність результатів вимірювань про спостережуваний об'єкт; кількість же інформації залежить від повноти цієї відповідності та розмаїтості варіантів. Потрібну нам інформацію ми одержуємо з результатів вимірювань за допомогою їх перетворень або обробки експериментальних даних.
Ступінь відповідності між станами та їх позначеннями залежить не тільки від організації вимірювань (тобто від експериментатора), але й від природи досліджуваного явища.
Ми будемо розглядати лише такі об'єкти, про будь-які два стани яких можна сказати, розрізняються вони чи ні, і тільки такі алгоритми вимірювання, які різним станам ставлять у відповідність різні позначення, а нерозрізнюваним станам — однакові. Це означає, що як стан об'єкта, так і його позначення задовольняють таким аксіомам тотожності:
або А = В, або А ≠ В;
якщо А = В, то В = А;
якщо А = В та В = С, то А = С.
1.1 Кількісне визначення та вимірювання
Номер — це матеріальний або квазіматеріальний символ. Номери мають властивість упорядкованості лише внаслідок довільній домовленості. До номерів незастосовні правила додавання та віднімання. Що стосується чисел, то це математичне поняття. Вони мають властивість упорядкованості внаслідок їх "реальності". На відміну від номерів, до чисел застосовні закони додавання та віднімання.
Відмінність між кількістю та якістю пов'язана з різницею між кількістю речовини та її властивостями. Уважають, що кількість речовини в тілі — це щось таке, що збільшується після об'єднання двох тіл, а властивість (якість) речовини — ознаки, які не змінюються внаслідок об'єднання двох однакових тіл. Отже, характеристики речовини, що задовольняють закону додавання (мають властивість адитивності), — це кількісні показники речовини, а ті, для яких закон додавання не діє, — якісні. Наприклад, маса, об'єм, довжина — кількісні характеристики, а питома вага, концентрація — якісні (хоча їх також можна подати за допомогою чисел, тобто кількісно).
Тіла можуть мати властивості, до яких застосовні шкали вимірювання з різним степенем вільності та силою. У разі вимірювання характеристик речовини виконуються такі умови:
існують два види характеристик: кількісні та якісні;
вимірювати можна обидва види характеристик, але, узагалі кажучи, кількісні характеристики припускають вимірювання "вищогорівня", ніж якісні;
"рівень" вимірювання характеристики залежить від її властивостей — транзитивності, симетричності, адитивності тощо, що визначають шкалу вимірювання, яку можна застосовувати.
1.2 Шкали найменувань
Припустімо, що кількість розпізнаваних станів (математичний термін — кількість класів еквівалентності) скінченна. Кожному стану поставимо у відповідність позначення, відмінне від позначень інших класів. Тоді вимірювання полягає в тому, щоб, провівши експеримент над об'єктом, визначити належність результату до того чи іншого класу еквівалентності й записати це за допомогою символу, який позначає цей клас. Такий процес називається вимірюванням у шкалі найменувань (іноді цю шкалу називають також номінальною чи класифікаційною), її утворює зазначена множина символів.
Найприродніше використовувати шкалу найменувань для класифікації дискретних за своєю природою явищ (наприклад, різних об'єктів). Позначати класи можна як словами природної мови (наприклад, географічні назви, власні імена людей тощо), довільними символами (герби та прапори держав, емблеми родів військ, різноманітні значки тощо), номерами (реєстраційні номери автомобілів, офіційних документів, номери на майках спортсменів), так і різноманітними комбінаціями (наприклад, поштові адреси, екслібриси приватних бібліотек, печатки тощо). Усі ці позначення еквівалентні простій нумерації, але на практиці часто віддають перевагу іншим позначенням.
Перейдемо до питання про допустимі операції над даними, вираженими в номінальній шкалі. Ще раз наголосимо, що позначення класів — це лише символи, навіть якщо для цього використано номери. Номери лише зовні мають вигляд чисел, але не мають їх властивостей. Якщо в одного спортсмена на спині номер 4, а в іншого — 8, то можна тільки дійти висновку, що це різні учасники змагань; не можна сказати, наприклад, що один із них удвічі кращий чи що в одного форма новіша. З номерами не можна поводитись як Із числами, за винятком визначення їх рівності чи нерівності: тільки ці відношення визначено між елементами номінальної шкали.
Тому в процесі обробки експериментальних даних, зафіксованих у номінальній шкалі, безпосередньо із самими даними можна виконувати лише операцію перевірки їх збігу чи розбіжності. Зобразимо цю операцію за допомогою символу Кронекера
де хій х3 — записи результатів різних вимірювань.
Із результатами цієї операції можна виконувати складніші перетворення: рахувати кількість збігів (наприклад, кількість спостережень &-го класу дорівнює
,
де п — загальна кількість спостережень), обчислювати відносні частоти класів (наприклад, відносну частоту k-го класу ωk= nk/n), порівнювати ці частоти між собою (визначаючи, наприклад, моду — номер класу, який зустрічається найчастіше, — Мо = argmax ωk), виконувати різні статистичні процедури, слідкуючи, однак, щоб у цих процедурах із вихідними даними не було виконано ніяких операцій, крім перевірки їх на збіг (наприклад, можна застосовувати χ2-тест, інші тести на відносних частотах, критерій згоди тощо).
1.3 Порядкові шкали
Якщо природа спостережуваної (вимірюваної) ознаки стану дає змогу не тільки ототожнити його з одним із класів еквівалентності, але й якось порівнювати різні класи, то для вимірювання можна вибрати "сильнішу" шкалу, ніж номінальна.
Наступна за "силою" після номінальної порядкова пікала (її називають також ранговою), її можна застосувати, якщо крім аксіом тотожності 1-3 класи задовольняють таким аксіомам упорядкованості:
4) якщо А > В, то В < А (антисиметричність);
5) якщо А > В та В > С, то А > С (транзитивність). Позначивши такі класи символами й установивши між цими символами ті самі відношення порядку, отримаємо шкалу простого порядку. Приклади її застосування — нумерація черговості, військові звання, призові місця в конкурсі.
Іноді виявляється, що не кожну пару класів можна впорядкувати за перевагою: деякі пари вважаються рівними. Тоді аксіоми 4 та 5 видозмінюють:
4') якщо А≥В, то В≤А;
5') якщо А≥ В та В ≥ С, то А≥ С.
Шкала, що задовольняє аксіомам 4' і 5', називається шкалою слабкого порядку. Приклад такої шкали — упорядкування за ступенем близькості з конкретною особою (мати = батько > син = дочка, дядько =тітка < брат = сестра тощо).
Інша ситуація виникає, коли є пари класів, непорівнянні між собою, тобто ні А ≥ В, ні В≥ А. Тоді говорять про шкалу часткового порядку. Такі шкали часто виникають у соціологічних дослідженнях суб'єктивних переваг. Наприклад, у разі вивчення купівельного попиту суб'єкт часто не в змозі оцінити, який саме з двох різнорідних товарів йому більше подобається; людині може бути складно також упорядкувати за перевагою улюблені заняття (читання літератури, плавання, смачна їжа, слухання музики тощо).
Характерна риса порядкових (у строгому розумінні) шкал — те, що відношення порядку нічого не говорить про "дистанцію" між порівнюваними класами. Тому порядкові експериментальні дані, навіть зображені цифрами, не можна розглядати як числа. Над ними не можна виконувати дії, що дають різні результати в разі перетворення шкали, яке не порушує порядку. Наприклад, не можна обчислювати вибіркове середнє порядкових вимірів, тобто
, тому що перехід до монотонне перетвореної шкали х' = f(х) у разі усереднення дає
.
Однак операція, що дає змогу виявити, яке з двох спостережень, хгчи х}, має перевагу, допустима. Уведемо індикатор невід'ємних чисел — функцію
Тоді якщо хi > х}і ми ввели цифрову шкалу порядку, то С(хi —х}) = 1, а С(х}— хi) = 0, що дає змогу виявити перевагу хiперед х}. Число
де п — кількість порівнюваних об'єктів (1≤ Ri ≤ 0), називається рангом i-го об'єкта. (Звідси походить інша назва порядкових шкал — рангові.) Якщо існує слабкий порядок, то частина спостережень збігається (у статистиці така група спостережень називається зв'язкою), і всі члени зв'язки одержують однаковий (старший для них) ранг. Коли це незручно, членам зв'язки присвоюють або ранг, середній для зв'язки (мідранг), або випадково — від молодшого до старшого.
Отже, у разі вимірювань у порядкових (у строгому розумінні) шкалах обробка даних має ґрунтуватися тільки на допустимих для цих шкал операціях — обчисленні δiji Ri. Із цими числами можна працювати далі вже довільно: крім обчислення частот і мод (як і для номінальної шкали), з'являється можливість визначити вибіркову медіану (тобто спостереження з рангом Ri, найближчим до числа n/2); можна розбити всю вибірку на частини в будь-якій пропорції, обчислюючи вибіркові квантилі будь-якого рівня р, 0 < р < 1 (тобто спостереження з рангом Ri, найближчим до величини пр); можна визначити коефіцієнти рангової кореляції між двома серіями порядкових спостережень (rsСпірмена, τ Кендалла); будувати за допомогою отриманих величин інші статистичні процедури.
1.4 Модифіковані порядкові шкали
Досвід роботи з сильними шкалами та бажання зменшити відносність порядкових шкал, додати їм хоча б зовнішньої незалежності від вимірюваних величин спонукають дослідників до різних модифікацій, які дещо посилюють порядкові шкали. Іще одна важлива причина спроб посилити шкали полягає в тому, що багато вимірюваних у порядкових (принципово дискретних) шкалах величин мають дійсний або уявний неперервний характер: сила вітру чи землетрусу, твердість речовини, глибина та міцність знань, оволодіння навичками тощо. Сама можливість уведення між двома значеннями третього сприяє тому, щоб намагатися підсилити шкалу.
Усе це зумовило появу та використання на практиці низки порядкових шкал, але не в такому строгому розумінні, як ті, про які йшлося вище. При цьому іноді з отриманими даними поводяться як із числами, що спричиняє помилки та неправильні рішення. Розглянемо деякі з відомих модифікацій.
Шкала твердості за Моосом. Із двох мінералів твердіший той, котрий залишає на іншому подряпини чи вм'ятини після досить сильного зіткнення. Відношення "А твердіше ніж 5" — типове відношення порядку. У 1811 р. німецький мінералог Ф. Моос запропонував запровадити стандартну шкалу для визначення відносної твердості методом дряпання. Як еталони взято 10 мінералів, розміщених у порядку висхідної твердості: 1 — тальк, 2 — гіпс, 3 — кальцит, 4 — флюорит, 5 — апатит, 6 — ортоклаз, 7 — кварц, 8 — топаз, 9 — корунд, 10 — алмаз.
Шкала сили вітру за Ботфортом. У 1806 р. Ф. Ботфорт запропонував умовну 12-бальну шкалу для оцінки сили вітру за його дією на наземні предмети та за хвилюванням моря: 0 — штиль(затишшя), 4 — помірний вітер, 6 — сильний вітер, 10 — буря (шторм), 12 балів — ураган.
Шкала магнітуд землетрусів за Ріхтером. Американський сейсмолог Ч. Ріхтер у 1935 р. запропонував класифікацію землетрусів за магнітудами, що базується на оцінці енергії сейсмічних хвиль, які виникають під час землетрусів, і разом із Б. Гуттенбергом теоретично обґрунтував її в 1941-1945 рр. Співвідношення між магні-тудою землетрусу за шкалою Ріхтера та його силою в епіцентрі за 12-бальною шкалою залежить від глибини поштовху.
Бальні шкали оцінки знань учнів. Потреба суспільства в офіційному визначенні ступеня кваліфікованості тих, хто вчиться, незалежно від того, де, коли та як вони здобувають освіту, сприяла запровадженню загальноприйнятих шкал оцінювання знань учнів у балах. Усі відчувають, зокрема й на власному досвіді, неточність, приблизність цієї шкали. Один із методів поліпшення шкали балів полягає в збільшенні кількості градацій. Однак і це не розв'язує проблеми, і викладачі неофіційно (для себе) уводять додаткові градації — додають до балів плюси, мінуси, крапки. Навіть застосовуючи 100-бальну шкалу, деякі викладачі використовують дробові бали. Усе це відбувається тому, що не існує ні абсолютного взірця, єдиного для всіх людей, ні навіть умовного загальнодоступного стандарту на зразок еталонів твердості чи висоти хвиль, і знання можна оцінювати тільки в порядковій шкалі. Проте мало хто (не тільки з учнів, але й з викладачів) розуміє, що бальна шкала належить до класу порядкових. Доходить до того, що навіть в офіційних питаннях, що впливають на долі людей, підраховують середньоарифметичний бал — величину, що не має змісту в порядковій шкалі! Порядкова шкала Черчмена й Акоффа. У соціологічних дослідженнях часто виявляється корисним запропонувати опитуваному не тільки впорядкувати заданий перелік альтернатив, але й зазначити, хоча б грубо, силу переваги. Проілюструємо цей метод вимірювання на прикладі.
Нехай є чотири предмети. Спочатку опитуваний упорядковує їх за перевагою: А ≥ В ≥С≥D ). Потім його просять поставити у відповідність (приписати) предметам будь-які числа між нулем і одиницею, грубо виразивши "силу" переваги. Нехай результат такий: