Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), a≤x≤, и имеет плотность 1) 
=(x), то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных осей Ox и Oy равны
моменты инерции IХ и Iу относительно тех же осей Ох и Оу вычисляются по формулам
а координаты центра масс 
и 
— по формулам
где l— масса дуги, т. е.
Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох
и Оу дуги цепной линии y=chx при 0≤x≤1.
1) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и =1.
◄ Имеем: 
Следовательно,
►
Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.
◄ Имеем: 
Отсюда получаем:
►
В приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.
Пример 3.Найти координаты центра масс полуокружности 
◄Вследствие симметрии 
. При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна 
, а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем 
Отсюда 
, т.е. центр масс C имеет координаты C
.
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.
Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой 
(м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
◄ Так как путь, пройденный телом со скоростью 
(t) за отрезок времени (t1,t2), выражается интегралом
то имеем:
►
Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту /i? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?
<4| Работа переменной силы / (#), действующей вдоль оси Ох на отрезке (а, Ь), выражается интегралом