Поверхні

Реферат

на тему:

"Поверхні"

1. Класифікація поверхонь

Всі поверхні можна розділити на графічні та геометричні.

До геометричних належать поверхні, утворення яких підпорядковане певним геометричним законам, вони утворюються рухом в просторі прямої або кривої лінії, яка називається твірною. Графічною називається поверхня, закон утворення якої невідомий. У цьому разі поверхня задається графічно, за допомогою певної кількості ліній. Прикладом графічної поверхні може служити поверхня землі, яку ще називають топографічною.

В залежності від форми твірної поверхні ділять на лінійчаті, коли твірною є пряма, та нелінійчаті, коли твірною є крива.

За законом руху твірних можемо мати поверхні з поступовим рухом та обертаючим рухом – поверхні обертання, гвинтовим рухом – гвинтові поверхні.

По признаку розгортання поверхні бувають розгорнутими та нерозгорнутими.

По признаку напрямних, які можуть бути ламаними, прямим або кривими, поверхні бувають граними або кривими.

Якщо поверхня створена правильними багатогранниками, то поверхня буде граною, якщо плоскі криві правильної форми, то поверхні будуть кривими, причому якщо в утворенні приймають участь кола в якості напрямних, то отримуємо поверхні обертання.

Частина простору, яка обмежена з усіх сторін поверхнею, називається тілом.

Висновки по першому питанню:

1. Всі поверхні можна розділити на графічні та геометричні. До геометричних належать поверхні, утворення яких підпорядковане певним геометричним законам, вони утворюються рухом в просторі прямої або кривої лінії, яка називається твірною. Графічною називається поверхня, закон утворення якої невідомий.

2. Якщо поверхня створена правильними багатогранниками, то поверхня буде граною, якщо плоскі криві правильної форми, то поверхні будуть кривими, причому якщо в утворенні приймають участь кола в якості напрямних, то отримуємо поверхні обертання.

2. Креслення багатогранників та тіл обертання

Щоб накреслити складну технічну деталь, потрібно, насамперед, уявити собі її форму. Для цього зручно уявно розчленити деталь на окремі геометричні тіла і навчитися будувати проекції цих простих геометричних тіл. Зобразити й прочитати креслення геометричного тіла означає не тільки вміти за розмірами побудувати проекції, а й провести повний аналіз фігури. Останнє означає, що треба вміти визначати й показати на кресленні ребра, грані, вершини, твірні, їх розташування між собою і відносно площин проекцій, показати видимі й невидимі елементи, знайти проекції точок, що лежать на поверхні тіла, проставити розміри тощо.

Геометричні тіла, обмежені плоскими фігурами – багатокутниками, називаються багатогранниками. Їх плоскі фігури називаються гранями, а лінії перетину граней – ребрами. Точки перетину ребер, або точки, в яких сходяться грані, називаються вершинами багато-гранника. Кут, утворений гранями, які сходяться в одній вершині, буде багатогранним кутом. Багатогранниками, наприклад, є призма й піраміда. На практиці найчастіше зустрічаються такі тіла обертання: циліндр, конус, сфера, кільце, тор.

Проекції призм. Якщо твірна ковзає по довільній напрямній замкненій ламаній лінії так, що окремі її положення залишаються між собою паралельними, то утворюється призматична поверхня.

Призмою називається багатогранник, який утворюється перерізом призматичної поверхні двома паралельними площинами.

Дві грані призми є однаковими багатокутниками з відповідно паралельними сторонами, а бічні грані в загальному випадку – паралелограмами.

Призма, в якої бічні ребра перпендикулярні до основи, називається прямою і похилою, коли вони не перпендикулярні.

Бічні грані прямої призми – прямокутники, похилої – паралелограми. Призми поділяються на правильні і неправильні.

Правильною називається призма, в основі якої лежить правильний багатокутник.

За формою основи призми бувають трикутні, чотирикутні, шестикутні і т.д. Коли в основі призми лежить прямокутник або паралелограм, вона називається паралелепіпедом.

Прямий паралелепіпед, в основі якого лежить прямокутник, називається прямокутним.

Побудова проекцій правильної прямої шестикутної призми розпочинається з виконання її горизонтальної проекції – правильного шестикутника. Із вершин цього шестикутника проводять вертикальні лінії зв’язку і будують фронтальну проекцію нижньої основи призми. Ця проекція зображується відрізком горизонтальної прямої. Від цієї прямої вверх відкладають висоту призми і будують фронтальну проекцію верхньої основи. Потім накреслюють фронтальні проекції ребер – відрізки вертикальних прямих, що дорівнюють висоті призми. Фронтальні проекції передніх і задніх ребер співпадають. Горизонтальні проекції бічних граней зображуються у вигляді відрізків прямих. Середня бічна грань 1234 зображується на площині π₂ в дійсному вигляді, а на площині π₃ – у вигляді відрізка прямої лінії. Фронтальні і профільні проекції решти граней зображуються спотворено.

Проекції пірамід. Якщо твірна лінія, що проходить через постійну точку, ковзає по замкненій ламаній лінії, то утворюється багатогранний кут, або пірамідальна поверхня. Перерізаючи пірамідальну поверхню площиною, дістають піраміду.

Отже, пірамідою називається багатогранник, одна грань якого є багатокутник, а бічні грані – трикутники, які мають спільну точку – вершину піраміди.

За формою основи піраміди бувають трикутні, чотирикутні, п’ятикутні і т.д.

Піраміда називається правильною, коли в її основі лежить правильний багатокутник і вісь проходить через центр основи.

Бічні грані правильної піраміди – рівнобедрені трикутники.

Найкоротша відстань від вершини до основи називається висотою піраміди.

Якщо піраміду розсікти площиною, паралельною її основі, то та частина піраміди, яка знаходиться між основою і січною площиною, називається зрізаною пірамідою. Сторони верхньої і нижньої основ зрізаної піраміди паралельні між собою. Зрізана піраміда називається правильною, коли в її основах лежать правильні багатокутники.

Побудова проекцій трикутної піраміди розпочинається з побудови основи, горизонтальна проекція якої є дійсним виглядом трикутника.

Фронтальна проекція основи зображується горизонтальним відрізком прямої.

З горизонтальної проекції S₁ вершини піраміди проводять вертикальну лінію зв’язку, на якій від осі х відкладають висоту піраміди і одержують фронтальну проекцію S₂ вершини. З’єднуючи точку S₂з точками 1₂,2₂ і 3₂ одержують фронтальні проекції ребер піраміди.

Горизонтальні проекції ребер одержують, з’єднуючи горизонтальну проекцію S₁ вершини піраміди з горизонтальними проекціями 1₁,2₁ і 3₁ вершин основи.

Нехай, наприклад, задана фронтальна проекція А₂ точки А, розташована на грані 1₂S₂2₂ піраміди, і необхідно знайти другу проекцію точки А.

Для розв’язування даної задачі проведемо через А₂допоміжну пряму і продовжимо її до перетину з фронтальними проекціями ребер 1₂S₂ і 2₂S₂ в точках N₂ і М₂. Потім з точок N₂і М₂проведемо лінії зв’язку до перетину з горизонтальними проекціями 1₁S₁ і 2₁S₁ цих ребер в точках N₁ і М₁. З’єднавши N₁ з М₁, одержимо горизонтальну проекцію допоміжної прямої, на якій за допомогою лінії зв’язку знайдемо шукану горизонтальну проекцію А₁точки А. Профільну проекцію цієї точки знайдемо звичайним способом, використовуючи лінії зв’язку.

Проекції циліндрів. Бічна поверхня прямого кругового циліндра утворюється рухом відрізка АВ навколо вертикальної осі по напрямному колу. На рис. 6, а дано наочне зображення циліндра.

Побудова горизонтальної і фронтальної проекцій циліндра показана на рис. 6, б і в.

Побудову розпочинають, зображаючи основу циліндра, тобто двох проекцій кола. Оскільки коло розташоване на площині π₁,то воно проекціюється на цю площину без спотворення. Фронтальна проекція являє собою відрізок горизонтальної прямої лінії, який дорівнює діаметру кола основи.

Після побудови основи на фронтальній проекції проводять дві крайні твірні і на них відкладають висоту циліндра. Проводять відрізок горизонтальної прямої, який є фронтальною проекцією верхньої основи циліндра.

Визначення двох відсутніх проекцій точок А і В,розташованих на поверхні циліндра, за однією заданою, наприклад, фронтальною проекцією в даному випадку труднощів не викликає, оскільки вся горизонтальна проекція бічної поверхні циліндра являє собою коло.

Таким чином, горизонтальні проекції точок А і В можна знайти, провівши з даних точок А₁і В₂ вертикальні лінії зв’язку до їх перетину з колом в шуканих точках А₁і В_1.

Профільні проекції точок А і В будують також за допомогою вертикальних і горизонтальних ліній зв’язку.

Проекції конусів. Бічна поверхня конуса утворена обертанням твірної ВSнавколо осі по напрямному колу основи.

Послідовність побудови двох проекцій конуса. Попередньо будують дві проекції основи. Горизонтальна проекція основи – коло. Якщо припустити, що основа конуса лежить на площині p₁, то фронтальною проекцією буде відрізок прямої, що дорівнює діаметру цього кола. На фронтальній проекції з середини основи ставлять перпендикуляр і на ньому відкладають висоту конуса. Одержану фронтальну проекцію вершини конуса з’єднують прямими з кінцями фронтальної проекції основи і одержують фронтальну проекцію конуса.

Якщо на поверхні конуса задана одна проекція точки А, то дві інші проекції цієї точки визначають за допомогою допоміжних ліній – твірної, розташованої на поверхні конуса і проведеної через точку А₂або кола, розташованого в площині, паралельній основі конуса.

В першому випадку проводять фронтальну проекцію S₂А₂F₂допоміжної твірної. Скориставшись вертикальною лінією зв’язку, проведеною з точки F₂, розташованої на фронтальній проекції кола основи, знаходять горизонтальну проекцію S₁А₁F₁ цієї твірної, на якій за допомогою лінії зв’язку, проведеної через А₂,знаходять шукану точку А₁.

У другому випадку допоміжною лінією, проведеною через точку А₁, буде коло, розташоване на конічній поверхні і паралельне площині p₁. Фронтальна проекція цього кола зображується у вигляді відрізка горизонтальної прямої. Шукана горизонтальна проекція А₁ точки А знаходиться на перетині лінії зв’язку, опущеної з точки А₂,з горизонтальною проекцією допоміжного кола.

Якщо задана фронтальна проекція В₂точки В розташована на контурній твірній S₂К₂, то горизонтальна проекція точки знаходиться без допоміжних ліній.

Проекції кулі. Проекції півкулі наведено на рис. 10, б. Горизонтальна проекція – коло радіуса, що дорівнює радіусу сфери, а фронтальна – півколо того ж радіуса.

Якщо точка А розташована на сферичній поверхні, то допоміжна лінія, проведена через цю точку, має бути колом, розташованим в площині, паралельній будь-якій площині проекції. На горизонтальній проекції допоміжного кола, де воно зображується в дійсному вигляді, знаходять, використовуючи лінію зв’язку, шукану горизонтальну проекцію А₁ точки А.

Величина діаметра допоміжного кола дорівнює фронтальнім проекції В₂С₂.

Висновки по другому питанню:

1. Щоб накреслити складну технічну деталь, потрібно, насамперед, уявити собі її форму. Для цього зручно уявно розчленити деталь на окремі геометричні тіла.

2. Геометричні тіла, обмежені плоскими фігурами – багатокутниками, називаються багатогранниками. Їх плоскі фігури називаються гранями, а лінії перетину граней – ребрами. Точки перетину ребер, або точки, в яких сходяться грані, називаються вершинами багатогранника.

3. Перетин поверхонь геометричних тіл прямою та площиною

Перетин багатогранників площиною та прямою лінією

Ми визначили що багатогранник – це геометричне тіло, обмежене плоскими гранями. Грані, перетинаючись, утворюють сітку багатогранника, складену з ребер і вершин. Зображення багатогранника на кресленні зводиться до побудови проекцій його сітки.

Площина перетинає багатогранник по багатокутнику, вершини якого є точками перетину січної площини з ребрами, а сторони – лініями перетину січної площини з гранями. Таким чином, побудова багатокутника перерізу зводиться до розв’язування відомих позиційних задач: побудова точки перетину прямої з площиною або лінії перетину двох площин. Відповідно розрізняють два способи побудови: спосіб ребер і спосіб граней.

Використовуючи спосіб ребер, визначають вершини багатокутника перерізу як точки перетину ребер багатогранника з січною площиною. Так, точка А є точкою перетину ребра піраміди 1S з площиною Г, В-ребра 2S і С – ребра 3S. Трикутник АВС – шуканий переріз піраміди.

Якщо користуються способом граней, то будують сторони фігури перерізу як лінії перетину площин граней із січною площиною. Так, відрізок прямої АВ являє собою лінію перетину грані 12S з площиною Г, ВС – грані 23S і АС – грані 13S.

Вибираючи той чи інший спосіб розв’язування, необхідно керуватися міркуваннями про найпростіше розв’язування задачі. Слід також мати на увазі, що якщо січна площина є проекціюючою, то одна з проекцій фігури перерізу збігається із слідом цієї площини, і задача зводиться до побудови другої її проекції за однією відомою.

Розглянемо кілька прикладів на застосування обох способів.

Перетин площини з багатогранником

Приклад 1.Побудувати натуральний вигляд перерізу прямої призми фронтально – проекціюючою площиною Σ.

Фігура перерізу – трикутник. Фронтальна її проекція збігається зі слідом січної площини Σ, а горизонтальна – з однойменною проекцією призми. Натуральний вигляд перерізу А₄В₄С₄побудований на новій горизонтальній площині проекцій p₄,паралельній площині перерізу.

Приклад 2.Побудувати проекції перерізу трикутної піраміди фронтально – проекціюючою площиною Σ.

Площина Σ перетинає піраміду по трикутнику АВС. Його фронтальна проекція А₂В₂С₂ збігається з однойменним слідом Σ₂ січної площини. Горизонтальні проекції вершин А і С побудовані за допомогою ліній проекційного зв’язку, а вершини В, яка лежить на профільному ребрі 2S, – за допомогою горизонталі hграні 23S.

Перетин прямої лінії з багатогранником

Загальним способом побудови точок перетину прямої з поверхнею багатогранника здійснюють в такій послідовності:

– через пряму проводять допоміжну площину;

– будують багатокутник, по якому допоміжна площина перетинає багатогранник;

– фіксують точки перетину прямої з фігурою перерізу, які і є шуканими точками.

Приклад 1.Побудувати точки перетину прямої l з поверхнею трикутної піраміди.

Через пряму провели фронтально – проекціюючу площину Σ, яка перетинає піраміду по трикутнику АВС. Шукані точки перетину М та N.

Перетин кривих поверхонь площиною та прямою лінією

В загальному випадку лінію перетину кривої поверхні з площиною будують способом допоміжних січних площин.

Січна площина Г перетинає задану поверхню Ф по деякій лінії l. Точки цієї лінії будують за допомогою допоміжних площин. Так, площина Σ перетинає задану поверхню по кривій лінії и, а січну площину Г – по прямій а. Ці лінії перетинаються в точках М іN, які належать шуканій лінії перетину l. Повторюючи указаний спосіб декілька разів, можна знайти достатню кількість точок для побудови фігури перерізу. При цьому допоміжні площини слід вибирати так, щоб одержувались прості перерізи поверхні.

Якщо поверхня лінійчата, то фігуру перерізу можна будувати способом твірних, визначаючи точки перетину прямолінійних твірних з січною площиною. Таким чином, побудова ліній перетину зводиться до багаторазового розв’язування відомої задачі про визначення точки перетину прямої з площиною.

Перетин циліндра площиною

Площина може перетинати циліндр по прямолінійних твірних, по колу і по еліпсу.

Приклад 1. Побудувати проекції і натуральний вигляд перерізу прямого кругового циліндра фронтально – проекціюючою площиною Σ.

Фігура перерізу – еліпс. Фронтальна проекція його збігається із Σ₂,а горизонтальна – з колом, в яке проектується на площину p₁циліндр.

Велика вісь еліпса визначається відрізком АВ, а мала СDдорівнює діаметру циліндра d. Натуральний вигляд перерізу знайдено двома способами – способом плоскопаралельного переміщення і способом заміни площин проекцій.

Перетин конуса площиною

Можливі такі перерізи конуса:

1. Еліпс, якщо січна площина перетинає всі твірні конуса.

2. Парабола, якщо січна площина паралельна одній твірній конуса.

3. Гіпербола, якщо січна площина паралельна двом твірним конуса.

4. Трикутник, якщо січна площина проходить через вершину конуса.

На рис. 17, а дана фронтальна проекція прямого кругового конуса і показані сліди січних площин, які дають відповідні перерізи, а на рис. 17, б, в, г, д, е – наведені їх наочні зображення.

Перетин кривих поверхонь прямою лінією

Загальним способом побудови точок перетину прямої лінії з поверхнею виконують в такій послідовності:

– через пряму проводять допоміжну площину;

– будують лінію перетину поверхні допоміжною площиною;

– визначають точки перетину прямої з поверхнею.

Висновки по третьому питанню:

1. Побудова багатокутника перерізу зводиться до розв’язування відомих позиційних задач: побудова точки перетину прямої з площиною або лінії перетину двох площин.

2. Відповідно розрізняють два способи побудови: спосіб ребер і спосіб граней. Використовуючи спосіб ребер, визначають вершини багатокутника перерізу як точки перетину ребер багатогранника з січною площиною. Якщо користуються способом граней, то будують сторони фігури перерізу як лінії перетину площин граней із січною площиною.

4. Взаємний перетин поверхонь тіл. Побудова лінії перетину поверхонь. Спосіб допоміжних січних поверхонь

Більшість найскладніших і відповідальних оригінальних деталей приладів і машин утворені комбінацією різних елементарних тіл, розташованих у просторі так, що поверхні їх перетинаються між собою. Тому важливим етапом конструювання таких деталей є визначення меж елементарних початкових поверхонь, якими і є лінії їхнього взаємного перетину.

Спільна лінія двох поверхонь називається лінією їх перетину.

Для побудови лінії перетину поверхонь використовують два способи та їх комбінації.

1. Будують точки перетину ребер одного багатогранника з грянями другого і ребер другого з гранями першого. Через побудовані точки в певній послідовності проводять ламану лінію перетину даних багатогранників. При цьому відрізки прямих проводять лише через ті побудовані точки, які лежать у одній і тій же грані.

2. Будують відрізки прямих, по яких грані однієї поверхні перетинають грані другої. Ці відрізки є ланками ламаної лінії перетину багатогранних поверхонь між собою.

3. Таким чином, побудова перетину двох багатогранників зводиться аж до побудови лінії перетину двох площин між собою, або до побудови точки перетину прямої з площиною. На практиці, як правило, використовують обидва способи в комбінації, виходячи з умови простоти і зручності побудови.

Загальний спосіб побудови лінії перетину двох поверхонь називається способом допоміжних січних поверхонь або способом посередників. Суть цього способу полягає у наступному.

Дві криволінійні поверхні перетинаються третьою допоміжною січною площиною. Знаходять лінії перетину KL та MN допоміжні поверхні з кожною із заданих. Точка перетину побудованих ліній перетину KL та MN належить шуканій лінії заданих поверхонь.

Повторюючи такі побудови багаторазово за допомогою інших допоміжних поверхонь, знаходять необхідну кількість спільних точок двох поверхонь для проведення лінії їх перетину. Одержані точки з’єднують плавною кривою лінією.

Лінію перетину поверхонь називають також і лінією переходу даних поверхонь.

Загальне правило побудови лінії перетину поверхонь можна сформулювати так:

– вибрати тип допоміжних поверхонь;

– побудувати лінії перетину допоміжних поверхонь із заданими поверхнями;

– знайти точки перетину побудованих ліній і з’єднати їх між собою.

За допоміжні січні поверхні вибирають такі, лінії перетину яких із заданими поверхнями проекціюються на креслення в графічно прості лінії – прямі, кола. Такими посередниками є площини частинного положення, які паралельні площинам p₁ і p₂, або сфери. Щоб розв’язати задачу, треба провести не одну, а кілька допоміжних площин або сфер.

На прикладі бачимо:

– задані поверхні, наприклад a і β, перетинають допоміжною поверхнею γ;

– будують лінії перетину a і поверхонь допоміжною поверхнею γ;

– точки перетину K та M лінії a з лінією належать як a, так і β;

– повторюють попередні операції декілька разів, переміщуючи січну поверхню;

– будують лінію перетину поверхонь a і β, з’єднуючи отримані точки між собою.

На лінії перетину поверхонь розрізняють точки опорні і випадкові або проміжні.

Розпочинати побудову лінії перетину слід з визначення опорних точок: найвищих і найнижчих, крайніх правих і лівих, точок видимості тощо. Опорні точки дають можливість побачити, в яких межах розміщені проекції лінії перетину і де слід визначати проміжні точки.

Два тіла можуть перетинатися по одній або по двох замкнених лініях. У першому випадку перетин буде неповним і на тілах утворяться заглибини у вигляді врубок. Цей випадок називається врізанням. При двох замкнених лініях перетину одне тіло цілком проникає в інше. Такий випадок називається проникненням.

Характер лінії перетину залежить від того які геометричні тіла або поверхні перетинаються.

Після того як за допомогою посередників визначені точки, які належать лінії перетину даних поверхонь, необхідно встановити послідовність з’єднання одержаних точок і визначити видимість окремих частин ліній перетину.

При визначенні послідовності з’єднання точок користуються такими положеннями:

– з’єднувати між собою можна лише такі точки, які лежать на одній і тій же грані кожної з двох поверхонь;

– з’єднувати між собою можна лише точки, які лежать на сусідніх твірних.

Але реалізація цих положень на практиці в ряді випадків викликає значні труднощі, вимагає великої затрати часу і добре розвинутої просторової уяви.

Визначивши точки лінії перетину, їх з’єднують в певній послідовності з врахуванням видимості окремих частин лінії перетину.

При цьому керуються такими положеннями:

1) якщо відрізок лінії перетину двох багатогранників лежить на перетині видимих граней даних проекцій фігур, то він також видимий на цій проекції;

2) якщо обидві грані або одна з них невидимі, то і відрізок лінії перетину даних граней невидимий;

3) для кривих поверхонь видимими є лише точки, одержані в перетині двох видимих твірних. Якщо одна з двох твірних невидима, то й точка перетину їх невидима;

4) точки переходу видимої частини лінії перетину в невидиму завжди лежать на обрисних твірних тієї чи іншої поверхні;

5) видимість визначається окремо для кожної з проекцій фігур, які перетинаються.

Література

1. Інженерна та комп’ютерна графіка: Методичні рекомендації для виконання графічних робіт при курсовому та дипломному проектуванні /Укл. Є.В. Перегуда. – Житомир: ВФРЕ при ЖІТІ, 1998. – 84 с.

2. Годік Є.І. Технічне креслення. – М.: Машинобудування, 1974. – 320 с.

3. Хаскін А.М. Креслення. – К.: Вища школа, 1972.

4. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М., 1988. – 272 с.