Математическая модель в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления

СОДЕРЖАНИЕ

1. Анализ объекта управления

1.1 Анализ линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией

1.2 Получение математической модели в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией

1.2.1 Матрица Фробениуса

1.2.2 Метод параллельной декомпозиции

2. Решение задачи быстродействия симплекс-методом

3. Оптимальная l – проблема моментов

3.1 Оптимальная l – проблема моментов в пространстве «вход-выход»

3.2 Оптимальная l – проблема моментов в пространстве состояний

4. Нахождение оптимального управления с использованием грамиана управляемости (критерий – минимизация энергии)

5. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (акор)

5.1 Стабилизации объекта управления на полубесконечном интервале времени

5.1.1 Решение алгебраического уравнения Риккати методом диагонализации

5.1.2 Решение алгебраического уравнения Риккати интегрированием в обратном времени до установившегося состояния

5.2 Стабилизации объекта управления на конечном интервале времени

5.3 Задача акор – стабилизации для компенсации известного возмущающего воздействия.

5.4 Задача акор для отслеживания известного задающего воздействия. i подход

5.5 Задача акор для отслеживания известного задающего воздействия. ii подход (линейный сервомеханизм)

5.6 Задача акор – слежения со скользящими интервалами.

6. Синтез наблюдателя полного порядка

Литература

Приложение

PlotTimeFrHaract.m

ProstranstvoSostoyanii.m

SimplexMetod2.m

Optimal_L_problem_moments.m

Gramian_Uprav.m

AKOR_stabilizaciya_na_polybeskon_interval.m

AKOR_stabilizaciya_na_konech_interval.m

Sravnenie_stabilizacii.m

AKOR_stabilizaciya_pri_vozmusheniyah.m

AKOR_slegenie_na_konech_interval_I_podxod.m

AKOR_slegenie_na_konech_interval_II_podxod.m

AKOR_slegenie_so_skolz_intervalami_Modern.m

Sintez_nablyud_polnogo_poryadka.m

Solve_Riccati_Method_Diag.m

Solve_Riccati_Method_Revers_Integr.m

Vozmyshyayushee_Vozdeistvie_Discrete_Revers.m

Zadayushee_Vozdeistvie_Discrete_Revers_Modern.m

1. Анализ объекта управления

1.1 Анализ линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией

Передаточная функция данного объекта имеет вид:

где:

, ;

, , , , , .

или

Нули передаточной функции:

Полюса передаточной функции (полученные стандартными функциями среды Matlab 7.4):

Рис.1. График расположения нулей и полюсов передаточной функции объекта на комплексной плоскости.

Найдем временные характеристики объекта управления.

К временным характеристикам относятся и.

– переходная характеристика;

– импульсная переходная функция;

Для нахождения и воспользуемся пакетом Matlab 7.4.

Аналитическое выражение для :

В этом случае имеет вид

Рис.2. График переходной характеристики .

Рис.3. График переходной характеристики на интервале (увеличенное).

Аналитическое выражение для :

В этом случае имеет вид

Рис.4. График импульсной переходной характеристики .

Рис.5. График импульсной переходной характеристики на интервале (увеличенное).

Найдем частотные характеристики объекта управления.

К частотным характеристикам относятся:

амплитудно – частотная характеристика (АЧХ),

фазо – частотная характеристика (ФЧХ),

амплитудно – фазовая частотная характеристика (АФЧХ),

Аналитическое выражение для АЧХ:

В этом случае АЧХимеет вид

Рис.6. График АЧХ

Рис.7. График АЧХ на интервале (увеличенное). Аналитическое выражение для ФЧХ:

В этом случае ФЧХимеет вид

Рис.8. График ФЧХ .

Рис.9. График ФЧХ на интервале (увеличенное).

Рис.10. График АФЧХ.

Рис.11. График АФЧХ (увеличенное).

Аналитическое выражение для ЛАЧХ:

В этом случае ЛАЧХ имеет вид

Рис.12. График ЛАЧХ.

Аналитическое выражение для ЛФЧХ:

В этом случае ЛФЧХ имеет вид

Рис.13. График ЛФЧХ.

1.2 Получение математической модели в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией

Передаточная функция данного объекта имеет вид:

где:

, ;

, , , , , .

или

Описание системы в пространстве состояний имеет следующий вид:

Переходя в область изображений описание системы в пространстве состояний будет иметь следующий вид:

1.2.1 Матрица Фробениуса

Получим выражения, которые определяют вектор состояний и выход заданного объекта в общем виде:

Тогда получим:

(1)

(2)

Числитель передаточной функции имеет вид: .

Знаменатель передаточной функции:

Тогда согласно равенству (1) и (2) имеем

Перейдем из области изображений в область оригиналов

и затем перейдем к нормальной форме Коши

Запишем матрицы состояний

, ,

Численное значение матриц состояний:

, ,

1.2.2 Метод параллельной декомпозиции

Запишем передаточную функцию объекта в другом виде, а именно:

или

Согласно формуле получим

Рассмотрим каждое из слагаемых в отдельности согласно принципу параллельной декомпозиции.

a. ,

b. ,

c. ,

d. ,

Получим выход системы:

Запишем матрицы состояний

, ,

Вычисление коэффициентов разложения дробной рациональной функции на сумму элементарных дробей и проверка правильности получения матриц состояния сделано с помощью пакета Matlab 7.4 (скрипт ProstranstvoSostoyanii.m)

Получены следующие результаты:Матрица СЛАУ:

, ,

Численное значение матриц состояний:

, ,

2. Решение задачи быстродействия симплекс-методом

Дана система:

(3)

1. Проверим управляемость данной системы.

Запишем систему ДУ в матричном виде:

где .

Данная система является стационарной, её порядок , поэтому матрица управляемости имеет вид:

Найдем матрицу управляемости:

Ранг матрицы управляемости равен порядку системы, следовательно, данная система является управляемой.

следовательно .

Собственные числа матрицы найдем из уравнения :

Действительные части собственных значений матрицы являются неположительными, следовательно, все условия управляемости выполнены.

2. Ссылаясь на решение задачи быстродействия из ДЗ№2 по СУЛА «Решение задачи быстродействия» имеем:

Запишем зависимости , , полученные при решении систем дифференциальных уравнений:

Перейдем к дискретной модели заданной системы. Имеем

(4)

где шаг дискретизации и соответствующие матрицы

(5)

Пусть управление ограничено интервальным ограничением

(6)

Тогда на шаге имеем

(7)

Известны начальная и конечная точки

где – оптимальное число шагов в задаче быстродействия.

Решается задача быстродействия

а) Формирование задачи быстродействия как задачи линейного программирования

Конечная точка в дискретной модели представлена в виде

(8)

Получаем – равенств

(9)

Для приведения ограничений (9) к канонической форме сделаем необходимое преобразование в правой и левой частях, чтобы правые части были неотрицательными (если правая часть меньше нуля, то домножаем на (-1) левую и правую части). Отметим проведенные измененияточкой в правом верхнем углу соответствующих векторов

. (10)

Для того чтобы получить необходимый допустимый базис для задачи линейного программирования, добавим формально остаточные искусственные переменные (). Таким образом, уравнения (10) представляются в виде

(11)

Так как текущее управление – управление имеет любой знак, то сделаем необходимую замену

Тогда уравнения (11) примут вид

(12)

Введем остаточные переменные в ограничения на управление

(13)

При объединении выражений (12) и (13) получаем ограничений.

Начальный допустимый базис состоит из остаточных и остаточных искусственных переменных

Формируем целевую функцию (по второму методу выбора начального допустимого базиса)

(14)

б) Решение задачи быстродействия

Предположим, что , где – оптимальное число шагов. Так как значение нам неизвестно (но известно точно), выбираем некоторое начальное и решаем задачу линейного программирования (12)-(14).

При этом

Общее число столбцов в симплекс-таблице:

Число базисных переменных:

Сформируем строку. Имеем

Выразим из уравнения (12) начальные базисные переменные

и подставим в целевую функцию. Получим – строку

(15)

Решаем задачу (12) – (14) симплекс-методом.

В случае,

если, – малое число

иначе

1) если увеличить и целое,рвернуться к первому шагу формирования задачи линейного программирования;

2) если (не все управления будут равны предельным, могут быть, в том числе нулевые)), , уменьшить, вернуться к первому шагу формирования задачи линейного программирования.

Решения данной задачи получено с помощью пакета Matlab 7.4 (скрипт SimplexMetod2.m):

Рис. 14. График фазовой координаты .

Рис. 15. График фазовой координаты .

Рис. 16. График .

Рис. 17. График оптимального управления .

Выводы: Сравнивая полученные результаты с результатами полученными в ДЗ№2 по СУЛА, можно сделать вывод, что решения совпадают, с точностью до .

3. Оптимальная L – проблема моментов

3.1 Оптимальная L – проблема моментов в пространстве «вход-выход»

Укороченная система данного объекта имеет вид:

где:

;

Полюса укороченной передаточной функции:

;

Заданы начальные и конечные условия:

, , .

Для определения начальных и конечных условий для воспользуемся следующей формулой:

Где матрица имеет следующий вид

где , .

ИПФ укороченной системы:

Составим фундаментальную систему решений:

ФСР: .

Составим матрицу .

, где – матрица Вронского

Тогда

Составим моментные уравнения (связь между входом и выходом):

Моментные функции определяются по следующей формуле

Составим моментные функции:

Найдем моменты по следующей формуле:

Числовое значение найденных моментов:

Составим функционал качества, который имеет следующий вид:

при условии, что :, т.е.

Выразим из данного условия , тогда получим следующее равенство:

Подставляя полученное равенство в функционал и заменяя их правыми частями получаем

Найдем частные производные и приравняем их к нулю. Решая полученную систему уравнений, определяем оптимальные значения коэффициентов , а вычислим по формуле

Т.о. имеем:

Минимальная энергия:

Найдем управление по следующей формуле:

Тогда оптимальное управление

3.2 Оптимальная L – проблема моментов в пространстве состояний

Система задана в виде:

Решение ДУ имеет вид:

, при имеем:

Составим моментные уравнения:

Подставляя необходимые данные в выше приведенные формулы, получим следующие моменты и моментные функции:

Числовое значение найденных моментов:

Моментные функции:

Заметим, что моменты и моментные функции совпадают с моментами и моментными функциями, найденными в пункте (а).

Из этого следует, что функционал, значения , управление и минимальная энергия будут иметь точно такие же числовые значения и аналитические выражения, как и в пункте (3.1).

Оптимальное управление имеет вид:

Проверим правильность полученного решения.

Эталонные значения координат в начальный и конечный момент времени:

Найденные значения координат в начальный и конечный момент времени:

Вычислим погрешность полученных результатов:

Ниже представлены графики полученного решения с помощью скрипта Optimal_L_problem_moments.m.

Рис. 18. Графики фазовых координат системы при переходе из в .

Рис. 19. Графики выходных координат системы при переходе из в .

Рис.20. График оптимального управления .

Выводы:Задача перевода системы из начальной точки в конечную с помощью L-проблемы моментов в пространстве состояний и в пространстве вход-выход была решена с точностью до 12-го знака после запятой. Результаты, полученные при переводе системы из начальной точки в конечную, полностью совпадают.

Система имеет вид:

с начальными условиями:

Составим матрицу управляемости и проверим управляемость системы:

Составим грамиан управляемости для данной системы:

Найдем грамиан по формуле:

Тогда управление имеет вид:

или

Ниже представлен график оптимального управления полученного с помощью скрипта Gramian_Uprav.m.:

Рис.21. График оптимального управления .

Графики фазовых координат аналогичны, как и в оптимальной L – проблеме моментов.

Сравним управление, полученное в начальной и конечной точках в пунктах 3 и 4 соответственно:

Выводы:Как видно, значения граничных управлений совпадают. А это значит, что задача перевода объекта из начального состояния в конечное решена с высокой степенью точности и с минимальной энергией.

Графическое сравнение оптимальных управлений из пунктов 3 и 4:

Рис.21. Сравнение графиков оптимального управления .

5. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР)

5.1 Стабилизации объекта управления на полубесконечном интервале времени

Рассмотрим линейный объект управления, описываемый системой дифференциальных уравнений в нормальной форме

Необходимо получить закон управления

минимизирующий функционал вида

Начальные условия для заданной системы

Моменты времени фиксированы. Матрицы — симметричные неотрицательно определенные:

матрица — положительно определенная:

Матричное дифференциальное уравнение Риккати имеет вид:

Если линейная стационарная система является полностью управляемой и наблюдаемой, то решение уравнения Риккати при стремится к установившемуся решению не зависящему от и определяется следующим алгебраическим уравнением:

В рассматриваемом случае весовые матрицы и в функционале не зависят от времени.

Оптимальное значение функционала равно

и является квадратичной функцией от начальных значений отклонения вектора состояния.

Таким образом, получаем, что при оптимальное управление приобретает форму стационарной обратной связи по состоянию

где — решение алгебраического матричного уравнения Риккати.

5.1.1. Решение алгебраического уравнения Риккати методом диагонализации

Для решения данной задачи найдем весовые матрицы и :

Выберем произвольно , тогда

Взяв значения из решения задачи L – проблемы моментов получим:

Матрицы системы имеют вид:

, .

Введем расширенный вектор состояния .

Тогда матрица Zбудет иметь следующий вид: ,

или в численном виде

Собственные значения матрицы : .

Зная собственные значения и собственные вектора матрицы Z, построим матрицу

По определению все решения должны быть устойчивы при любых начальных условиях , т.е. при . Чтобы не оперировать комплексными числами, осуществим следующий переход. Пусть:

Тогда матрица формируется следующим образом:

Можно показать, что матрицу можно получить из прямой матрицы собственных векторов:

Установившееся решение уравнения Риккати, полученное с помощью скрипта Solve_Riccati_Method_Diag.m. имеет вид:

5.1.2 Решение алгебраического уравнения Риккати интегрированием в обратном времени до установившегося состояния

Весовые матрицы и такие же как и в пункте (5.1.1).

Матрицы тоже аналогичны.

Запишем уравнение Риккати

Зная, что , решаем уравнение методом обратного интегрирования на достаточно большом интервале (примерно 10 с.), получим установившееся решение с помощью скрипта

Solve_Riccati_Method_Revers_Integr.m.:

Рис.22. Графики решения уравнения Риккати.

Найдем разницу между решениями уравнения Риккати в пунктах 5.1.1 и 5.1.2:

Выводы:сравнивая решения полученные в пунктах 5.1.1 и 5.1.2 можно сказать, что решения уравнения Риккати первым и вторым методами совпадают с заданной точностью. Погрешность расхождения решений невелика.

Используя скрипт AKOR_stabilizaciya_na_polybeskon_interval.m получим коэффициенты регулятора, фазовые координаты системы и управление.

Рис.23. Графики коэффициентов регулятора обратной связи.

Рис.24. Графики фазовых координат.

Рис.25. График управления.

Выводы:т.к. решения уравнения Риккати методом диагонализации и интегрирования в обратном времени дают практически одинаковый результат, то можно считать, что задача АКОР – стабилизации на полубесконечном интервале решена с заданной точностью.

5.2 Стабилизации объекта управления на конечном интервале времени

Рассмотрим линейный объект управления, описываемый системой дифференциальных уравнений в нормальной форме

Начальные условия для заданной системы

Время стабилизации .

Необходимо получить закон управления

минимизирующий функционал вида

Закон оптимального управления в данной задаче имеет вид

Матричное дифференциальное уравнение Риккати будет иметь следующий вид:

Если обозначить то можно записать

Уравнение замкнутой скорректированной системы примет вид

Матрицы заданы в пункте 5.1.1.

Весовые матрицы и имеют следующий вид:

, .

Используя скрипт AKOR_stabilizaciya_na_konech_interval.m получили следующие результаты:

Рис.26. Графики решения уравнения Риккати.

Рис.27. Графики коэффициентов регулятора обратной связи.

Рис.28. Графики фазовых координат.

Рис.29. График управления.

Сравним, как стабилизируется система управления с постоянными и переменными коэффициентами регулятора обратной связи на начальном этапе:

Рис.30. Графики фазовых координат.

Выводы:из графиков видно, что система, у которой коэффициенты регулятора меняются со временем, стабилизируется не хуже, чем, система, у которой коэффициенты регулятора не изменяются.

5.3 Задача АКОР – стабилизации для компенсации
известного возмущающего воздействия

Рассмотрим систему вида

где – возмущающее воздействие.

Матрицы заданы в пункте 5.1.1.

Весовые матрицы и имеют следующий вид:

, .

Начальные условия для заданной системы .

Время стабилизации .

Задаем возмущающее воздействие только на первую координату, так как только она имеет значение

и .

Решение задачи стабилизации сводится к решению уравнения Риккати

с начальными условиями:

Введём вспомогательную вектор-функцию , ДУ которой имеет вид:

с начальными условиями: .

Управление определяется по формуле:

Используя скрипт AKOR_stabilizaciya_pri_vozmusheniyah.m, получили следующие результаты:

Рис.31. Графики решения уравнения Риккати.

Рис.32. Графики коэффициентов регулятора обратной и прямой связи.

Рис.33. График возмущающего воздействия.

Рис.34. График вспомогательной вектор – функции.

Рис.35. Графики фазовых координат.

Рис.36. График управления.

Рис.37. График возмущающего воздействия.

Рис.38. График вспомогательной вектор – функции.

Рис.39. Графики фазовых координат.

Рис.40. График управления.

Выводы: По графикам фазовых координат при различных воздействиях видно, что влияние возмущающего воздействия не существенно и фазовые координаты устанавливаются в ноль. При этом видно, что графики первой фазовой координаты при различных воздействиях мало отличаются друг от друга, т.е. система отрабатывает любое возмущение.