Вычисление характеристических многочленов, собственных значений и собственных векторов

МЕТОД ДАНИЛЕВСКОГО

УКАЗАНИЯ ПО ПРИМЕНЕНИЮ ПРОГРАММЫ

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

АНАЛИЗ ПРОГРАММЫ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Введение

Большое количество задач с механики, физики и техники требует нахождение собственных значений и собственных векторов матриц, т.е. таких значений λ, для которых существует нетривиальное решение однородной системы линейных алгебраических уравнений . Тут А-действительная квадратичная матрица порядка n с элементами a_jk, а --вектор с компонентами x₁, x₂,…, x_n Каждому собственному значению λ_i соответствует хотя бы одно нетривиальное решение. Если даже матрица А действительная, ей собственные числа (все или некоторые) и собственные векторы могут быть недействительными. Собственные числа являются корнями уравнения , где Е - единичная матрица порядка n

или

Данное уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А. Собственным векторам , которым соответствует собственному значению λ_i, называют ненулевое решение однородной системы уравнений . Таким образом, задача нахождения собственных чисел и собственных векторов сводится к нахождению коэффициентов характеристического уравнения, нахождению его корней и нахождению нетривиального решения системы.

Метод Данилевского

Простой и изысканный метод нахождения характеристического многочлена предложил А.М.Данилевский. Рассмотрим идею метода. Рассмотрим матрицу A

Для которой находится характеристический многочлен, при помощи подобных преобразований преобразуется к матрице

которая имеет нормальную форму Фробениуса, то есть матрица имеет в явном виде в последнем столбце искомые коэффициенты характеристического уравнения. Т. к. подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, а

, то и .

Поэтому для обоснования метода достаточно показать, каким образом из матрицы A строится матрица P.

Подобные преобразования матрицы A к матрице P происходят последовательно. На первом шаге матрица А преобразовывается к подобной до неё матрице А⁽¹⁾, в которой предпоследний столбец имеет необходимый вид. На втором шаге матрица А⁽¹⁾ преобразовывается на подобную к ней матрицу А⁽²⁾, в которой уже два предпоследних столбца имеют необходимый вид, и т.д.

На первом шаге матрица А умножается справа на матрицу

и слева на матрицу ей обратную

Первый шаг даёт

где

На втором шаге матрица А⁽¹⁾ умножается справа на матрицу

и слева на обратную к ней матрицу

Очевидно, что элементы матрицы

Это означает, что два предпоследних столбца матрицы А⁽²⁾ имеют необходимый вид. Продолжая этот процесс, после n-1 шагов придем к матрице

которая имеет форму Фробениуса и подобная к входной матрице А. При этом на каждом шаге элементы матрицы А⁽^j⁾ находятся по элементам матрицы А⁽^j^-1⁾ также, как мы находили элементы матрицы А⁽²⁾ по элементам А⁽¹⁾. При этом предпологается, что все элементы отличные от нуля. Если на j-ом шаге окажется, что , то продолжать процесс в таком виде не будет возможно. При этом могут возникнуть два случая:

1. Среди элементов есть хотя бы один, отличный от нуля, например . Для продолжения процесса поменяем в А⁽^j⁾ местами первый и -й строчки и одновременно 1-й и -й столбцы. Такое преобразование матрицы А⁽^j⁾ будет подобным. После того, как получим матрицу , процесс можно продолжать, т.к. столбцы матрицы А⁽^j⁾,приведённые к необходимому виду не будут испорчены.

2. Все элементы равны нулю. Тогда матрица А⁽^j⁾ имеет вид , где F- квадратичная матрица порядка j, которая имеет нормальный вид Фробениуса; В—квадратная матрица порядка n-j, но , то есть характеристический многочлен матрицы F является делителем характеристического многочлена матрицы А. Для нахождения характеристического многочлена матрицы А необходимо еще найти характеристический многочлен матрицы В, для которой используем этот же метод.

Подсчитано, что количество операций умножения и деления, необходимых для получения характеристического многочлена матрицы порядка n составляет n(n-1)(2n+3)/2.

На данном этапе работы мы получили характеристический полином, корнями которого будут собственные числа матрицы А. Процедура нахождения корней полинома n-ой степени не проста. Поэтому воспользуемся пакетом MathCAD Professional для реализации данной задачи. Для поиска корней обычного полинома р(х) степени n в Mathcad включена очень удобная функция polyroots(V). Она возвращает вектор всех корней многочлена степени n, коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющим длину равную n+1. Заметим, что корни полинома могут быть как вещественными, так и комплексными числами. Таким образом мы имеем собственные числа, при помощи которых мы найдём собственные векторы нашей матрицы А. Для нахождения собственных векторов воспользуемся функцией eigenvec(A,v_i), где А-исходная матрица, v_i-собственное число, для которого мы ищем собственный вектор. Данная функция возвращает собственный вектор дня v_i.

Указания по применению программы

Данная курсовая работа выполнена на языке программирования Pascal. В курсовую работу входит файл danil.exe. Danil.exe предназначен для нахождения характеристического полинома методом Данилевского. Входными параметрами является размерность матрицы и сама матрица, а выходным — характеристический полином.

Программная реализация

Программный код программы danil.exe

uses wincrt;

label 1;

type mas=array(1..10,1..10)of real;

var A,M,M1,S:mas;

z,max:real;

f,jj,tt,ww,v,h,b,y,i,j,w,k,e,l,q,x,u:byte;

p,o:array(1..10)of real;

t:array (1..10)of boolean;

procedure Umnogenie(b,c:mas; n:byte; var v:mas);

var i,j,k:byte;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

v(i,j):=0;

for k:=1 to n do

v(i,j):=b(i,k)*c(k,j)+v(i,j);

end;

procedure dan(n:byte; var a:mas);

label 1,2;

var y:byte;

begin

For y:=1 to n-1 do

begin

if a(1,n)=0 then

begin

if y>1 then begin

max:=abs(a(1,n));

w:=1;

for i:=1 to n-y do

if abs(a(i,n))>max then begin max:=abs(a(i,j)); w:=i; end;

if max=0 then

begin

for l:=n downto n-y+1 do

begin

p(f):=a(l,n);

t(f):=false;

f:=f-1;

end;

t(f+1):=true;

x:=x+1;

u:=n-y;

if y=n-1 then begin o(q):=a(1,1); q:=q+1; end else dan(u,a);

goto 2;

end;

for j:=1 to n do

begin

z:=a(1,j);

a(1,j):=a(w,j);

a(w,j):=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a(k,1);

a(k,1):=a(k,w);

a(k,w):=z;

end;

goto 1;

end

else

begin

max:=abs(a(1,2));

w:=1;e:=2;

for i:=1 to n-1 do

if abs(a(i,n))>max then begin max:=abs(a(i,j)); w:=i; e:=n; end;

for j:=2 to n do

if abs(a(1,j))>max then begin max:=abs(a(i,j)); w:=1; e:=j; end;

if abs(a(n,1))>max then begin max:=abs(a(n,1)); w:=n; e:=1; end;

if max=0 then

begin

o(q):=a(n,n);

q:=q+1;

u:=n-1;

if n=2 then begin o(q):=a(1,1); q:=q+1; o(q):=a(n,n); q:=q+1; end else dan(u,a);

goto 2;

end;

if (w>1) and (e=n) then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a(1,j);

a(1,j):=a(w,j);

a(w,j):=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a(k,1);

a(k,1):=a(k,w);

a(k,w):=z;

end;

goto 1;

end;

if (w=n) and (e=1) then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a(1,j);

a(1,j):=a(n,j);

a(n,j):=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a(k,1);

a(k,1):=a(k,n);

a(k,n):=z;

end;

goto 1;

end;

if w=1 then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a(n,j);

a(n,j):=a(e,j);

a(e,j):=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a(k,n);

a(k,n):=a(k,e);

a(k,e):=z;

end;

goto 1;

end;

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if i<>(j+1) then M(i,j):=0

else M(i,j):=1;

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if (i+1)<>j then M1(i,j):=0

else M1(i,j):=1;

for i:=1 to n do

if i<>n then begin M(i,n):=a(i,n); M1(i,1):=-a(i+1,n)/a(1,n); end

else begin M(i,n):=a(i,n); M1(i,1):=1/a(1,n); end;

Umnogenie(M1,A,n,S);

Umnogenie(S,M,n,A);

if y=n-1 then

begin

for l:=n downto 1 do

begin

p(f):=a(l,n);

t(f):=false;

f:=f-1;

end;

t(f+1):=true;

x:=x+1;

end;

begin

writeln('Vvedite razmernost` matrici A');

readln(ww);

f:=ww;

for i:=1 to ww do

begin

for j:=1 to ww do

begin

write('a(',i,j,')=');

Readln(A(i,j));

end;

q:=1;

x:=0;

dan(ww,a);

for i:=1 to q-1 do

writeln('Koren` har-ogo ur-iya=',o(i):2:2);

writeln;

i:=ww+1;

if (x=1)or(x>1) then

begin

for v:=1 to x do

begin

tt:=0;

repeat

tt:=tt+1;

i:=i-1;

until t(i)<>false;

write('l^',tt,' + ');

for jj:=ww downto i do

begin

tt:=tt-1;

write(-p(jj):2:2,'*l^',tt,' + ');

end;

ww:=i-1;

writeln;

end;

end.

Получение формы Жордано: form.exe

uses wincrt;

label 1;

type mas=array(1..10,1..10)of real;

var A,M,M1,S,R,R1,A1:mas;

z,max:real;

f,jj,tt,ww,v,h,b,y,i,j,w,k,e,l,q,x,u,n1:byte;

p,o:array(1..10)of real;

t:array (1..10)of boolean;

procedure Umnogenie(b,c:mas; n:byte; var v:mas);

var i,j,k:byte;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

v(i,j):=0;

for k:=1 to n do

v(i,j):=b(i,k)*c(k,j)+v(i,j);

end;

procedure dan(n:byte; var a:mas);

label 1,2;

var y:byte;

begin

For y:=1 to n-1 do

begin

if a(1,n)=0 then

begin

if y>1 then begin

max:=abs(a(1,n));

w:=1;

for i:=1 to n-y do

if abs(a(i,n))>max then begin max:=abs(a(i,j)); w:=i; end;

if max=0 then

begin

for l:=n downto n-y+1 do

begin

p(f):=a(l,n);

t(f):=false;

f:=f-1;

end;

t(f+1):=true;

x:=x+1;

u:=n-y;

if y=n-1 then begin o(q):=a(1,1); q:=q+1; end else dan(u,a);

goto 2;

end;

for j:=1 to n do

begin

z:=a(1,j);

a(1,j):=a(w,j);

a(w,j):=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a(k,1);

a(k,1):=a(k,w);

a(k,w):=z;

end;

goto 1;

end

else

begin

max:=abs(a(1,2));

w:=1;e:=2;

for i:=1 to n-1 do

if abs(a(i,n))>max then begin max:=abs(a(i,j)); w:=i; e:=n; end;

for j:=2 to n do

if abs(a(1,j))>max then begin max:=abs(a(i,j)); w:=1; e:=j; end;

if abs(a(n,1))>max then begin max:=abs(a(n,1)); w:=n; e:=1; end;

if max=0 then

begin

o(q):=a(n,n);

q:=q+1;

u:=n-1;

if n=2 then begin o(q):=a(1,1); q:=q+1; o(q):=a(n,n); q:=q+1; end else dan(u,a);

goto 2;

end;

if (w>1) and (e=n) then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a(1,j);

a(1,j):=a(w,j);

a(w,j):=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a(k,1);

a(k,1):=a(k,w);

a(k,w):=z;

end;

goto 1;

end;

if (w=n) and (e=1) then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a(1,j);

a(1,j):=a(n,j);

a(n,j):=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a(k,1);

a(k,1):=a(k,n);

a(k,n):=z;

end;

goto 1;

end;

if w=1 then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a(n,j);

a(n,j):=a(e,j);

a(e,j):=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a(k,n);

a(k,n):=a(k,e);

a(k,e):=z;

end;

goto 1;

end;

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if i<>(j+1) then M(i,j):=0

else M(i,j):=1;

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if (i+1)<>j then M1(i,j):=0

else M1(i,j):=1;

for i:=1 to n do

if i<>n then begin M(i,n):=a(i,n); M1(i,1):=-a(i+1,n)/a(1,n); end

else begin M(i,n):=a(i,n); M1(i,1):=1/a(1,n); end;

Umnogenie(M1,A,n,S);

Umnogenie(S,M,n,A);

if y=n-1 then

begin

for l:=n downto 1 do

begin

p(f):=a(l,n);

t(f):=false;

f:=f-1;

end;

t(f+1):=true;

x:=x+1;

end;

procedure ObrMatr(A:mas;Var AO:mas; n:byte);

const e=0.00001;

var i,j:integer;

a0:mas;

procedure MultString(var A,AO:mas;i1:integer;r:real);

var j:integer;

begin

for j:=1 to n do

begin

A(i1,j):=A(i1,j)*r;

AO(i1,j):=AO(i1,j)*r;

end;

procedure AddStrings(var A,AO:mas;i1,i2:integer;r:real);

{Процедура прибавляет к i1 строке матрицы a i2-ю умноженную на r}

var j:integer;

begin

for j:=1 to n do

begin

A(i1,j):=A(i1,j)+r*A(i2,j);

AO(i1,j):=AO(i1,j)+r*AO(i2,j);

end;

function Sign(r:real):shortint;

begin

if (r>=0) then sign:=1

else sign:=-1;

end;

begin {начало основной процедуры}

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

a0(i,j):=A(i,j);

for i:=1 to n do

begin {К i-той строке прибавляем (или вычитаем)

j-тую строку взятую со знаком i-того

элемента j-той строки. Таким образом,

на месте элемента a(i,i) возникает сумма

модулей элементов i-того столбца (ниже i-той строки)

взятая со знаком бывшего элемента a(i,i),

равенство нулю которой говорит о несуществовании

обратной матрицы }

for j:=i+1 to n do

AddStrings(A,AO,i,j,sign(A(i,i))*sign(A(j,i))); { Прямой ход }

if (abs(A(i,i))>e) then

begin

MultString(a,AO,i,1/A(i,i));

for j:=i+1 to n do

AddStrings(a,AO,j,i,-A(j,i));

end

else begin writeln('Обратной матрицы не существует.');

halt;

end

end;{Обратный ход:}

if (A(n,n)>e) then begin

for i:=n downto 1 do

for j:=1 to i-1 do

begin

AddStrings(A,AO,j,i,-A(j,i));

end; end

else writeln('Обратной матрицы не существует.');

end;

procedure EdMatr(Var E:mas; n:byte);

var i,j:byte;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if i<>j then E(i,j):=0 else E(i,i):=1;

end;

{procedure UmnogMatr(A,F:mas; Var R:mas; n:byte);

Var s:real;

l,i,j:byte;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

s:=0;

for l:=1 to n do

s:=s+A(i,l)*F(l,j);

R(i,j):=s;

end;

end; }

begin

writeln('Vvedite razmernost` matrici A');

readln(ww);

f:=ww;

n1:=ww;

for i:=1 to ww do

begin

for j:=1 to ww do

begin

write('a(',i,j,')=');

Readln(A(i,j));

A1(i,j):=A(i,j);

end;

q:=1;

x:=0;

dan(ww,a);

for i:=1 to q-1 do

writeln('Koren` har-ogo ur-iya=',o(i):2:2);

writeln;

i:=ww+1;

if (x=1)or(x>1) then

begin

for v:=1 to x do

begin

tt:=0;

repeat

tt:=tt+1;

i:=i-1;

until t(i)<>false;

write('l^',tt,' + ');

for jj:=ww downto i do

begin

tt:=tt-1;

write(-p(jj):2:2,'*l^',tt,' + ');

end;

ww:=i-1;

writeln;

end;

for i:=1 to n1 do

begin

for j:=1 to n1 do

read(R(i,j));

readln;

end;

EdMatr(R1,n1);

ObrMatr(R,R1,n1);

Umnogenie(R1,A1,n1,A);

Umnogenie(A,R,n1,M1);

for i:=1 to n1 do

begin

for j:=1 to n1 do

write(' ',M1(i,j):2:3,' ');

writeln;

end;

end.

Анализ программы

Протестируем работу программы на примере. Пусть имеем матрицу А

Характеристический полином имеет вид:

Собственные числа 20.713, 4.545, 2.556, -5.814

Собственные векторы , ,,

Список используемой литературы

Я.М.Григоренко, Н.Д.Панкратова «Обчислювальні методи» 1995р.

В.Д.Гетмнцев «Лінійна алгебра і лінійне програмування» 2001р.

Д.Мак-Кракен, У.Дорн «Программирование на ФОРТРАНЕ» 1997г.

http://alglib.manual.ru/eigen/danilevsky.php

http://doors.infor.ru/allsrs/alg/index.html