Некоторые понятия высшей матаматики
Высшая математика
Слушатель – Никифоров Михаил Николаевич
Курс 1. АПМ-03. Семестр осенний. 2003 год.
Матрица – совокупность чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы.
Минором для элемента аig называется определитель матрицы, полученный из исходной, вычеркиванием i-ой строки и g-ого столбца.
Матрицы с нулевым определителем называются вырожденными или особенными. Особенная матрица обратной не имеет. .
.
Bpq согласовано с Amn, если число строк В равно числу столбцов А, т.е. p=n. Одно согласование.
1) Если один столбец или одна строка все нули, то | |=0.
2) Если в матрице имеется 2 равных столбца или 2 равных строки, то | |=0.
3) Треугольная матрица. Все элементы выше или ниже главной диагонали =0. Тогда определитель матрицы равен произведению диагональных элементов.
4) При перемене местами 2 строк или 2 столбцов определитель меняет знак.
5) Определитель матрицы, содержащей 2 пропорциональные строки или столбца равен нулю.
6) Определитель матрицы равен сумме произведений некоторой строки на соответствующие алгебраические дополнения.
Системы уравнений с матрицами
Система 1 совместная, если имеет хотя бы одно решение.
Система 1 определенная, если есть только 1 решение и неопределенная, если более 1 решения.
Ранг матрицы.
Ранг нулевой матрицы равен 0.
Ранг единичной матрицыnm равен n.
Ранг трипсидальной матрицы равен числу ненулевых строк.
При элементарных преобразованиях матрицы ранг её остается неизменным.
При добавлении к матрице строки или столбца ранг её может только увеличиться или остаться неизменным.
Лекция 5.
.
Замечание: 1) Нет решения
2) . n-число неизвестных
а) r=n – одно решение
б) r Векторная алгебра Проекция вектора на ось: Проекцией точки на прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проекция АВ на х это число |A’B’| взятое со знаком +, если угол острый и со знаком – если угол тупой. Скалярное произведение векторов Признак перпендикулярности Векторное произведение векторов Объем пирамиды Смешанное произведение векторов Если Условие коллинеарности ab=0 – перпендикулярность abc=0 – компланарность Плоскость в пространстве Нормаль и точка привязки однозначно определяют положение плоскости в пространстве. каноническое уравнение (1) Общее уравнение плоскости где А, В, С – координаты нормали, D – свободный член, x,y,z – текущий координаты. Уравнение плоскости, проходящий через точку Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки записывают в виде Уравнение плоскости в отрезках Нормальное уравнение плоскости Нормирующий множитель Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности Уравнение пучка плоскостей: Прямые линии в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки Угол между 2 прямыми Взаимное расположение 2 прямых. 1. 2. 3. Взаимное расположение прямой и плоскости 1. 2. 3. Угол между прямой и плоскостью 4. Аналитическая геометрия на плоскости. Прямоугольная декартова система координат на плоскости Расстояние между 2 точками Если заданы точки А и В и точка С делит отрезок АВ в отношении Ax+By+C=0; Уравнение прямой в отрезках Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки Уравнение прямой, проходящей через точку, под заданным углом Расстояние от точки до прямой 1. 2. 3. Окружность Уравнение окружности с центром в M(a;b) радиусом R Уравнение окружности с центром в начале координат Эллипс Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов эллипса) есть величина постоянная, Обозначим M(x;y) – произвольная точка эллипса, 2с – расстояние между фокусами F1 и F2; 2а – сумма расстояний от точки М до F1 и F2 (a – большая полуось эллипса). Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид Число Гипербола Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами. Если M (x;y) – точка гиперболы; F1, F2 – фокусы, 2с – расстояние между фокусами, 2а – разность расстояний от точки М (х;y) до фокусов Каноническое уравнение гиперболы Гипербола пересекает ось Ох в точках Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых Эксцентриситет гиперболы Парабола Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки F – фокуса и заданной прямой – директрисы параболы. Если ось абсцисс совпадает с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису, а начало координат делит этот перпендикуляр пополам, то каноническое уравнение имеет вид Эксцентриситет параболы Общее уравнение второго порядка Параллельный перенос: Поворот осей: Если Если Если Выбираем угол так, чтобы B’=0, тогда (1) 1. (1) (2) а) A`C`>0 (одного знака) Если F``>0, то пустое множество Если F``=0, то одна точка (x``=0, y``=0) Если F``<0, то получим эллипс в виде б) A`= Если F0=0, то Если F0>0, то Если F0<0, то в) а) D`=E`=0, пусть б) ** в (5) Теория пределов Число а называется пределом последовательности xn для любого ( Предел последовательности Под числовой последовательностью Число a называется пределом последовательности xn(x=1,2,…): 1) 2) xn+1=xn+d – рекуррентная формула. 3) Числа Фибоначчи. (1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…), где x1, x2 =1 и 1. 2. Основные теоремы пределах 1. О единственном пределе. Последовательность имеет не более 1 предела. 2. Предельный переход в неравенстве. 3. О трех последовательностях. О сжатой последовательности.,
.
.
.
;
;
;
- углы, которые составляет вектор а с координатными осями, то
, откуда следует
- коллинеарность
Аналитическая геометрия
-
, где
,
перпендикулярно вектору N=(A;B;C), имеет вид
, где p – расстояние от начала координат.
;
-уравнение прямой
- параметрическое уравнение прямой.
- каноническое уравнение прямой.
(могут лежать и на одной прямой)
(могут скрещиваться)
. Если (3)
, то скрещиваются.
.
, т.е.
, то
.
Уравнение прямой на плоскости
.
.
к оси Ох (
):
, чем расстояние между фокусами.
- малая полуось эллипса.
.
.
называется эксцентриситетом эллипса и характеризует сплюснутость эллипса относительно осей
. Если
, то получается окружность. a=b.
, где а – действительная полуось гиперболы.
- мнимая полуось гиперболы.
.
и
, с осью Оу пересечений нет.
.
.
.
- отношение расстояния от точки параболы до директрисы к расстоянию от этой точки до фокуса.
- общее уравнение кривой второго порядка
.
- инварианты.
- дискриминант
>0, то уравнение эллиптического вида
<0, то уравнение гиперболического типа
=0, то уравнение параболического типа
(B=0)
. Осуществляем параллельный перенос для уничтожения членов
.(**) ** подставляем в
+
(3)
>0 – эллиптический вид
, где
<0 (гиперболический вид) A’C’<0 (разные знаки). Пусть A’>0
,
,
, тогда
.
, получаем пару пересекающихся прямых.
(гипербола)
(гипербола, где оси поменялись местами)
(параболический тип) A`C`=0
(5)
, где 2р=
, если p>0, то парабола
.
) сколь угодно малого положительного числа
найдется номер, зависящий от
, начиная с которого все члены последовательности отличаются от а меньше, чем на
.
понимают функцию
, заданную на множестве натуральных чисел
т.е. функцию натурального аргумента.
=а, если для любого сколь угодно малого
>0, существует такое число N=N(
), что для всех натуральных n>N выполняется неравенство
.
,
- натуральное число. Если xn=a, то (a, a, a, a) – стационарная последовательность.
, где a, d – const, тогда (a, a+d, a+2d,…a+(n-1)d)
.
(*);
- эпсилон – окрестность числа а.
.