Теория распространения волн
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.Формулировка задачи исследования. 2
2. Исходные положения и допущения. 2
3. Исходная система основных уравнений. 2
4. Преобразование исходной системы уравнений к расчётной форме. 3
4.1 Зависимость длины волны от скорости распространения. Механизмы возникновения волн на свободной поверхности жидкости. 3
4.2 Зависимость между групповой скоростью волн и скоростью их распространения. 8
4.3 Распространение волн на неглубокой воде. 11
5. Численный пример расчёта с использованием полученных расчётных уравнений. 13
6. Анализ полученных теоретических результатов. 14
7. Список литературы. 14
Формулировка задачи исследования.
Для любых механических волн одними из важнейших характеристик являются длина волны и скорость её распространения.
Задача данного исследования – проследить зависимости этих величин друг от друга на примере волн, возникающих на свободной поверхности жидкостей, рассмотреть процесс интерференции волн разной длины, описать механизм их появления и распространения.
2. Исходные положения и допущения.
Рассматриваемая жидкость (вода) принимается несжимаемой, невязкой и идеальной.
В исследовании волновых процессов на свободной поверхности жидкости в качестве жидкости будет рассматриваться вода. Для расчётов потребуются следующие характеристики для воды при обычных условиях:
ρ = 1 г/см3;
С = 72,5 мН/м;
Эти значения будут использованы для количественной оценки выведенных соотношений, но, тем не менее, все формулы будут представлены в общем виде для произвольной жидкости.
Свободная поверхность жидкости соприкасается с воздухом. Волны, образующиеся на свободной поверхности воды, приводят в движение соприкасающийся с ними воздух. Допустим, что массой этого воздуха можно пренебречь по сравнению с массой жидкости. Тогда давление на свободной поверхности воды будет равно атмосферному.
Также принимается, что частицы свободной поверхности воды описывают траектории, совпадающие с окружностью. Здесь имеется в виду траектория частиц в системе отсчёта, движущейся вместе с волнами с их фазовой скоростью с . Такое движение имеет место при отсутствии трения.
3. Исходная система основных уравнений.
Уже введённое допущение о несжимаемости жидкости в математической форме принимает вид:
ρ = const; (3.1)
Закон изменения импульса выражается из уравнения движения в форме Эйлера
; 5(3.2)
Уравнение сохранения энергии в общем виде:
В этом уравнении 5 слагаемых. Они имеют следующий смысл (слева направо):
1) изменение кинетической энергии;
2) работа объёмных сил;
3) работа сил давлений;
4) работа сил трения;
5) внешняя механическая работа.
Учитывая допущения параграфа 2, четвёртый член обнуляется (отсутствие трения). Уравнение принимает вид:
(3.3)
Уравнение неразрывности запишется в виде:
,
, (3.4)
где δσ – элемент поперечного сечение трубки тока в каком-либо месте, Vn - средняя скорость в
этом сечении, ρ=const - плотность жидкости (жидкость несжимаема – смотри §2).
Уравнения 3.1-3.4 являются исходными для проведения исследования. На них опираются все дальнейшие доказательства и выводы.
4. Преобразование исходной системы уравнений к расчётной форме.
4.1 Зависимость длины волны от скорости распространения. Механизмы возникновения волн на свободной поверхности жидкости.
Как было принято в пункте 2, движение частиц свободной поверхности в системе отсчёта, двигающейся с фазовой скоростью волны (с абсолютной скоростью движения гребней волн), происходит по траекториям, близким к окружностям. В указанной системе отсчёта движение является установившимся (см. рис. 4.1).
|