Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

БЛАГОВЕЩЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДПГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

РАЗВИТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ

ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ (НА ПЛОСКОСТИ)

Дипломная работа

Выполнила: Гулевич Екатерина

Владимировна

студентка 5 курса ОЗО

Научный руководитель:

Щуренкова И.К.

Старший преподаватель кафедры

алгебры и геометрии

Работа защищена

« ____» __________________ 2007г.

Оценка

________________________________

Председатель ГАК

________________________________

(подпись)

Благовещенск 2007

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 4

1. ЛОГИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ И ЕГО РАЗВИТИЕ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ 7

1.1. Мышление: его закономерности и условия развития. 7

1.2. Математическое мышление. 15

1.2.1. Общая характеристика развивающегося математического. 15

мышления школьников. 15

1.2.2. Основные компоненты математического мышления и дидактические пути их развития у учащихся. 28

1.3. Развитие мышления при обучении математике. 42

1.3.1. Средства и условия развития мышления. 42

1.4. Развитие логического мышления при обучении математике. 47

1.4.1. Актуальность проблемы развития логического мышления учащихся. 47

1.4.2. История проблемы развития логического мышления учащихся. 51

1.4.3. Содержание проблемы развития логического мышления при обучении математике в школе. 53

1.4.4. Пути решения проблемы развития логического мышления учащихся. 55

1.5. Развитие логического мышления в геометрии. 58

1.5.1. Задачи преподавания геометрии в школе. 58

1.5.2. Чертеж учит думать. 60

2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ, С ЦЕЛЬЮ РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ 64

2.1. Роль задач в обучение, роль задач в развитие логического мышления. 64

2.1.1. Общее понятие задачи. 64

2.1.2. Роль задач в обучении математике. 65

2.1.3. Роль математических задач в развитии мышления. 69

2.1.4. Значение геометрических задач. 72

2.1.5. Классификация геометрических задач. 73

2.2. Характеристика задач на построение. 76

2.2.1. Определение задачи на построение. 77

2.2.2. Некоторые вопросы теории геометрических построений. 79

2.2.3. Выполнение геометрических построений. 83

2.2.4. О некоторых вопросах методики обучения решению задач на построение. 85

2.2.5. Введение задач на построение. 86

2.2.6. Этапы решения задачи на построение. 89

2.2.7. Методы решения задач на построение. 103

2.3. Влияние задач на построение на развитие логического мышления. 119

3. ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ. 121

3.1. Замысел эксперимента. Программа эксперимента. 121

3.2. Описание проведения эксперимента и его результаты. 124

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 136

БИБЛИОГРАФИЯ.. 137

ПРИЛОЖЕНИЯ.. 141

В программе по математике для средней общеобразовательной школы, разработанной в соответствие с основными направлениями реформы общеобразовательной школы, подчеркивается, что развитие логического мышления учащихся является одной из основных целей курса геометрии.

Можно ли считать, что «знающий» и мыслящий» человек – одно и то же?

Каждый год первого сентября с первым звонком миллионы детей садятся за парты, чтобы овладеть знаниями. В течение сложных лет они усваивают сложную систему научных сведений, учатся их анализировать, сравнивать, обобщать, применять к решению учебных, практических задач.

«Век живи – век учись» – гласит народная мудрость. Но школа должна не только формировать у учащихся прочную основу знаний, умений и навыков, но и максимально развивать им умственную активность: учить мыслить, самостоятельно обновлять и пополнять знания, сознательно использовать их при решение теоретических и практических задач.

Развитие умственной активности происходит в процессе усвоения знаний, однако не всякое усвоение обеспечивает эту активность. Необходима его особая организация, при которой учащиеся развивают свое мышление, интересы, склонности.

Развитие умственной активности при усвоение знаний – важный источник формирования личности ученика.

Тема дипломной работы: Развитие логического мышления учащихся при решение задач на построение (на плоскости).

Актуальность дипломной работы заключается в том, что проблема развития логического мышления должна иметь свое отражение в школьном курсе геометрии в силу недостаточности подготовки учащихся в этой части, в силу большого числа логических ошибок, допускаемых учащимися в усеваемом содержании геометрического материала.

Объектом исследования является учебно-воспитательный процесс.

Предмет исследования – геометрические задачи на построение.

Гипотеза дипломного исследования состоит в том, что развитию логического мышления способствует решение геометрических задач, и в частности задач на построение.

Проблема исследования заключается в особой организации процесса обучения решению геометрических задач на построение, при которой через решение этих задач учащиеся будут активно развивать логическое мышление.

Цель исследования: определение оптимальных условий и конкретных методов развития логического мышления при решение задач на построение.

Выделяя этапы достижения цели исследования, мы поставили следующие задачи:

Дать характеристику мышления как психологического процесса и рассмотреть его виды;

Выделить пути развития мышления при обучение учащихся в средней школе;

Выяснить какую роль играют учебные задачи в обучение математики, в частности, в геометрии.

Дать характеристику задач на построение и выяснить, как они влияют на развитие логического мышления;

Разработать систему уроков с рекомендациями по развитию логического мышления через решение задач на построение.

Методами исследования являются:

Исследование психологической и методической литературы;

Опыт работы в 7-х классах (геометрия) общеобразовательной школы;

Наблюдение за учебной деятельностью учащихся в 7 – 9 классах общеобразовательной школы.

Практическая значимость работы заключается в использовании разработанных уроков с рекомендациями при изучение учащимися темы «Геометрическое построение» на уроках геометрии в средней школе.

Структура диплома определена логикой и последовательностью поставленных задач. Дипломная работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения.

В первой главе раскрывается необходимость воспитания в учащихся творческой личности, с целью развития логического мышления. В ней раскрываются понятия: мышление, математическое мышление, логическое мышление и его развитие.

Вторая глава посвящена развитию мышления учащихся на уроках геометрии через решение геометрических задач, в частности задач на построение.

В третьей главе описывается педагогический эксперимент – его замысел, программа, проведение и получение результата.

1.1. Мышление: его закономерности и условия развития.

Ребенок пришел в школу учиться – приобретать знания. Конечно, он выучит необходимые правила и законы, сумеет пересказать то, о чем узнает. Но ребенок должен научиться также, применять свои знания в новых, неожиданных ситуациях, находить свои, нестандартные ответы на возникающие вопросы, обнаруживать про­тиворечия и самому ставить вопросы. Его успехи в школе будут зависеть от желания узнавать новое, от веры в свои силы и от умения работать – думать.

Умственная работа – это прежде всего активное осмысление материала, любой информации, будь то объяснение учителя практическое действие, книга или граф наблюдение за животными или телевизион­ная передача. Активное осмысление, а не пассивное восприятие и заучивание, мы связываем с процессом мышления. Мышле­ние включает в себя такие действия, как установление отношений между новой информацией и известной, связи теорети­ческих положений и понятий с личным опытом человека, критический анализ вы­сказываемой идеи и оценивание получен­ных результатов. Эти действия опираются на умение мысленно представить себе ситуацию, проследить возможные ее изме­нения или изменения отдельных объектов под влиянием тех или иных воздействий, на способность предвосхищать результаты и соответственно планировать свои дейст­вия, выдвигать гипотезы и проверять их, объяснять наблюдаемые явления и факты, обосновывать свои решения. Всем этим ребенок должен овладеть во время обучения.

Когда дети приходят в школу, они уже многое умеют. Уже в дошкольном возрасте на основе манипулирования с предметами у детей вместо хаотических проб и ошибок появ­ляется система пробующих действий, которые выступают как последовательные шаги в достижении цели. Поясним это на примере. На столе лежит игрушка, которую ребенок хочет достать, но не может дотянуться. Ее можно достать с помощью прикрепленного к столу рычага – изогнутой палки с ручкой на конце. Но когда ребенок тянет ручку рычага на себя, игрушка отодвигается. Надо совершить обратное движение – от себя, тогда игрушка придвинется. Решение этой задачи осуществляется в практическом плане и служит примером наглядно-дейст­венного, практического мышления, которое охватывает все случаи непосредственных действий с предметами.

Формирование умений оперировать об­разами предметов или их частей связывают с развитием наглядно-образного мышления. Наглядно-образное мышление харак­теризуется тем, что решение определенных задач может быть осуществлено в плане мысленных представлений, без участия практических действий. Иными словами, ситуация преобразуется лишь в плане образа. Как показали психологические ис­следования, способность действовать «в уме» начинает формироваться у детей без специального обучения к шести годам. Ее становление и развитие, вплоть до мыслен­ного моделирования сложных ситуаций и планирования последовательности дейст­вий (как, например, в случае мысленного проигрывания возможных ходов и ответов на них партнера при игре в шахматы), приходится на школьный возраст.

Следующий вид мышления, на который падает наибольшая нагрузка,– словесно понятийное мышление, использующее по­нятия и оперирующее языковыми средст­вами для обозначения действительности. С его помощью осуществляются общение людей, описание и объяснение материала, осознание достигнутого и многое другое. Его развитие начинается с овладения языком и умением говорить и понимать чужую речь, а продолжается в школь­ные годы, вместе с развитием системы научных понятий. Следует различать рече­вой и понятийный аспекты, особенно у детей. Отражение в речи – это уже не образное отражение, но оно может быть еще и не понятийным. Ребенок пользуется теми же словами, что и взрослый, но за этими словами у него стоит другое содержание. Это справедливо и по отноше­нию к взрослому, когда речь идет о какой-либо области действительности, ко­торую человек плохо знает и соответст­вующие понятия у него не сложились.

Наглядно-действенное, наглядно-образ­ное и словесно-понятийное мышление развиваются во взаимосвязи друг с другом. Преобразования объектов, совершаемые в процессе внешней, практической деятель­ности, воспроизводятся затем в плане представлений. Наглядно-образное мышле­ние позволяет отобразить взаимодействие нескольких предметов, воспроизводя многообразие сторон объекта в их факти­ческих связях (примером может служить любая схема или картина). Когда резуль­таты практической и познавательной дея­тельности получают свое словесное выра­жение, это дает возможность их осознать сделать достоянием других людей, обеспечивает преемственность знаний. (Хотя некоторые свойства предметов, а также действия бывает трудно описать словесно. Попробуйте, к примеру, описать, как вы копаете землю.) В образе реаль­ность представлена шире, чем то, что мы непосредственно наблюдаем. А в понятии, наоборот, какая-то часть наблюдаемых при­знаков опущена и выделены существенные связи и отношения.

Все три вида мышления сосуществуют и у взрослого человека, обеспечивая решение различных задач. Практические действия с предметами и наглядные представления о действительности состав­ляют основу словесно-понятийного мышле­ния.

Разные виды мышления имеют общие черты. В каком бы плане ни протекало мышление, оно всегда связано с открытием человеком нового для него знания, с рас­крытием внутренних свойств предметов и их отношений. В процессе мышления всегда происходит выделение основных, сущест­венных свойств предметов и явлений и отвлечение от несущественных и случай­ных, что определяет его обобщенный характер. В зависимости от уровня обобще­ний различают эмпирическое и теорети­ческое мышление. В первом случае мышле­ние связано с житейскими, ситуативными обобщениями, во втором с научными понятиями, имеющими определенную со­держательную структуру.

Мыслит человек, с его эмоциями, установками, стремлениями и желаниями, его особенностями мышления (предпочитающий работать в практическом или образном плане, оперировать теорети­ческими конструкциями или конкретными фактами и т. п.).

Как же осуществляется процесс мышле­ния!

Мышление начинается с возникновением проблемы, вопроса, задачи.

Задача, выступающая как предмет мыслительной деятельности, появляется, когда человек сталкивается с каким-либо затруднением, препятствием, непонима­нием, и охватывает, как правило, не отдельный предмет, а целую ситуацию. Она может касаться социальных вопросов, взаимоотношений между людьми или проблем самого человека, его поведения или любой области его деятельности, включая учебные и игровые задачи. Психо­логически задача имеет существенную особенность – она должна быть принята человеком, т. е. должна восприниматься им как проблема, в решении которой он заинтересован. В основе этого лежит позна­вательная потребность. Объективно су­ществующее противоречие или предъявля­емое человеку требование может не вызвать у него потребности в мыслитель­ной деятельности. Он будет прикладывать все усилия, чтобы ее избежать, найдет отговорки или попросту не увидит для себя в ситуации никакой задачи. Поэтому не любая задача и не любой вопрос, заданный учителем, ведет к процессу мышления. Когда ученик сам ощутит необходимость в новых знаниях, увидит, что не может с помощью известных ему средств достичь желаемого результата (ранее применявшиеся им методы «не работают»), тогда и возникает мыслитель­ная задача, называемая психологами проблемной ситуацией.

Условием возникновения проблемной си­туации является познавательная потреб­ность в неизвестном человеку знании или способе действия. Если имеющихся у него знаний достаточно, чтобы выполнить зада­ние, или он может применить уже извест­ный ему способ, проблемная ситуация не возникает, как не возникает она и в тех случаях, когда имеющихся знаний недостаточно для обнаружения проблемы, для понимания того, что появилась проб­лема. Поэтому процесс мышления всегда личностно окрашен: он начинается с появ­ления препятствия, затруднения, значимого для человека и вызывающего желание или понимание необходимости его преодолеть.

Решение мыслительной задачи, или проб­лемной ситуации, протекает как поиск существенного с точки зрения задачи отношения объектов, которое служит клю­чом к ее решению. Для этого производят анализ условий задачи, того, что дано и что известно, и ее требований, т. е. желаемого результата. Неизвестное в проблемной ситуации становится целью дейст­вия и раскрывается как искомое задачи. Психологические исследования процесса мышления показали, что определение искомого связано с неоднократным обсле­дованием элементов проблемной ситуации для выявления их связей с искомым. При этом происходит последовательное обобщение свойств рассматриваемых объ­ектов, позволяющее планировать пути решения задачи, предвосхищая будущий результат. Это дает возможность уточнить первоначальный замысел решения: неиз­вестное, которое вначале выступает как нечеткое образование, путем непрерыв­ного его сопоставления с известным и обобщения предшествующего опыта и тре­бований, задаваемых проблемной ситуа­цией, приобретает определенность.

В случае сложных проблем на пути к достижению результата выделяется си­стема целей: кроме общей цели, т. е. искомого, определяемого всей проблем­ной ситуацией в целом, выделяются проме­жуточные цели, связанные с предваритель­ными этапами работы, ближайшие, более легко достижимые и более отдаленные. Целевое планирование любой деятельности на основе предвосхищения будущего ре­зультата составляет центральное звено мыслительного процесса. Оно непосредст­венно связано с развитием образного мышления.

Завершающим этапом процесса мышле­ния являются осмысление того, что полу­чено, его оценка и обоснование. Осмысле­ние позволяет соотнести решение задачи с системой понятий: подвести его под определенную категорию или конкретизи­ровать ранее известное положение, рас­крыть механизм взаимодействия объектов, явлений. Тем самым мышление продви­гается на более высокий уровень обобще­ния. Оценка полученного результата поз­воляет определить, насколько он отвечает поставленной задаче, полностью или ча­стично ее решает. В ходе обоснования решения выделяются его сильные и слабые стороны, допущенные ошибки. Проверка, критика, контроль характеризуют мышле­ние как сознательный процесс. Критичность мышления проявляется также в чувстви­тельности к проблемам, умении их рас­познавать.

Таким образом, мышление – это всегда активный процесс преобразования ситуа­ции, имеющей личностную значимость для человека, процесс, включающий в себя эле­менты творчества, связанные с новизной решаемой задачи, мысленное оперирова­ние образами, осознание и оценку итогов работы. Умение думать означает развитие всех этих компонентов мышления.

Степень сложности решаемой задачи определяет уровень активности мышления.

Мыслительные задачи различаются по своей трудности в зависимости от раз­личных факторов. Привычность или непривычность ситуации определяет, можно ли применить уже известный способ действий или необходим поиск новых знаний. В пер­вом случае роль мышления невелика, во втором мышление становится творческим.

Чем более стандартным и типичным для данного объекта является его качество, нужное для решения проблемной ситуации, чем больше оно соответствует его обыч­ному применению, тем легче решается мыслительная задача. Так, мы не задумыва­емся, когда пользуемся гирей как мерой веса. Это ее прямое и привычное назначе­ние. Чтобы использовать гирю как средство для забивания гвоздя, надо прежде увидеть в ней тяжелый предмет, т. е. выделить ее внутреннее свойство. Это поворачивание предмета все новыми сторонами, вычерпы­вание из него новой информации, при котором предмет включается в разные си­стемы связей и отношений с другими пред­метами, характеризует активную, творче­скую сторону мышления. Наиболее твор­ческими являются задачи, решение которых связано с открытием нового, ранее не­известного человеку знания: способа реше­ния задачи, обнаружения закономерности или некоторой зависимости между явле­ниями и пр.

Важную роль играет также и то, в каком виде сформулирована задача: дана она в наглядном практическом плане, допуска­ющем действия с предметами, наглядном, но символическом (рисунок, чертеж и т. п.) или словесном. Сравните решение шахмат­ной задачи с помощью доски и стоящих на ней фигур, на бумаге с условным обозна­чением доски и фигур, путем одного только ее словесного описания. Сложность процесса мышления значительно выше в третьем случае, когда весь процесс поиска решения протекает целиком в умственном плане.

В школьном возрасте под влиянием обучения мышление проходит сложный путь развития от эмпирического мышле­ния, которое оперирует конкретными пред­ставлениями единичных предметов и часто опирается на случайные признаки предме­тов, к теоретическому мышлению, исполь­зующему научные понятия и отношения между ними. Овладевая знаниями, ребенок учится расчленять слитые в восприятии признаки предметов и явлений, выделять среди них однородные, характеризу­ющиеся определенной общностью. Растет количество суждений, в которых наглядные моменты сводятся к минимуму. Происходит овладение обобщенным понятийным со­держанием научного знания, формируется умение рассуждать гипотетически, крити­чески рассматривав свои суждения как нуждающиеся в проверке и обосновании. Анализ задач начинается с предвари­тельного мысленного их решения.

Какие бывают недостатки в развитии мышления!

На всех этапах развития мышления, независимо от вида мышления, т. е. от того, на каком уровне обобщения знаний про­текает процесс, встречаются одни и те же недостатки, приводящие к ошибочным ре­шениям. Первый - осуществление слишком широких обобщений, приводящее к обеднению знаний и их формальному усвоению. Второй - осознание только части ситуации, когда внимание обращается лишь на отдельные элементы ситуации, как правило, более знакомые, на основе которых строится объяснение материала и делаются выводы. Третий - направлен­ность процесса мышления на обоснование суждения о ситуации, возникшего на основе стандартного, привычного подхода без анализа специфики рассматриваемой ситуации, сходство которой с известными может быть только кажущимся. Четвертый источник ошибок связан с необходимостью обращаться к более широкому представле­нию, частью которого служит рассматри­ваемая ситуация, включать ее в достаточно широкий контекст, чтобы выявить истинные связи между предметами, их причинную обусловленность. Все эти недостатки воз­никают из-за неумения управлять процес­сом мышления. Научиться думать – это значит овладеть теми умениями – элемен­тами мыслительного процесса, которые обеспечивают обнаружение проблемы, поиск ее решения, осознание достигнутого. Это также означает научиться контроли­ровать процесс мышления.

Развитие мышления как умения думать связано с вовлечением детей в активную деятельность, позволяющую приобрести необходимые навыки исследования проб­лемной ситуации и определения неизвест­ного, навыки выдвижения и проверки гипотез, анализа получаемых результатов.

Вовлечению детей в активную умствен­ную деятельность способствует проблемно-диалогический метод обучения. При этом методе процесс усвоения знаний протека­ет не в форме изложения материала учителем и постановки им вопросов, на которые дети должны отвечать, а в форме обсуждения проблемы - диалога уча­щихся с учителем. В ходе такого диалога под руководством учителя дети самостоя­тельно исследуют ситуацию, определяют те знания, которые им необходимы для уяснения связей и отношений между эле­ментами ситуации. Роль учителя состоит в поддержании активности детей, акцентиро­вании их внимания на существенных вопросах рассматриваемого материала. При этом следует обращать особое вни­мание на те перечисленные выше мо­менты, которые служат источниками оши­бок, и стремиться обеспечить полный учет той информации, которой располагают учащиеся, включая их знания, установление как можно более широких связей с известным, точность обобщения. Очень важно, чтобы дети учились доводить процесс решения до конца: не только на­ходили какое-либо решение, но и умели его объяснить на доступном им уровне, выде­лить его достоинства и недостатки.

Проблемно-диалогический метод обуче­ния, предоставляя детям, возможность в начале изучения каждой темы свободно задавать и обсуждать любые вопросы по изучаемому материалу, позволяет им выде­лить и четко сформулировать основные проблемы рассматриваемой темы. Сопри­частность детей к постановке проблем де­лает их личностно значимыми, стимулирует познавательную активность, связанную с решением намеченных проблем, при­общает ребят к исследовательской дея­тельности.

Наряду с этим полезны и специальные задания, позволяющие детям отдельно тре­нировать те умения, о которых шла речь: искать неизвестное, задавать вопросы, строить догадки и предположения, пред­сказывать последствия, устанавливать сход­ство и различие предметов и явлений и т. д.

Существенным моментом в развитии мышления детей является атмосфера, поощряющая их познавательную актив­ность, одобрение разных ее проявлений. В такой атмосфере дети начинают верить в возможности своего ума, способность решать проблемы.

1.2. Математическое мышление.

1.2.1. Общая характеристика развивающегося математического

мышления школьников.

Роль математического мышления в процессе обучения

Эффективность и качество обучения математике определяются не только глубиной и прочностью овладения школьниками системой математических знаний, умений и навыков, предусмотренных программой, но и уровнем их математического развития, степенью подготовки к самостоятельному овладению знаниями, сформированостью умений выявлять, усваивать и запоминать основное из того большого объема информации, который содержит школьный курс математики.

Таким образом, у школьников должны быть сфор­мированы определенные качества мышления, твердые навыки рационального учебного труда, развит познавательный интерес. Поэтому естественно, что среди многих проблем совершенствования обучения математике в средней школе большое значение имеет проблема формирования у учащихся математического мышления.

Специфика математики такова, что изучение этого учебного предмета, пожалуй, наиболее сильно влияет на развитие мышления школьников. В самом деле, развитие мышления школьников тесно связано с формированием приемов мышления в процессе их учеб­ной деятельности. Эти приемы мышления (анализ, синтез, обоб­щение, абстрагирование и т. д.) выступают также как специфиче­ские методы научного исследования, особенно ярко проявляющие­ся при обучении математике (и в частности, при решении задач).

«Решение задач – вовсе не привилегия математики. Все чело­веческое познание есть не что иное, как непрекращающийся про­цесс постановки и разрешения все новых и новых задач, вопросов, проблем. И лишь тогда человек усвоит научные формулы и поло­жения, когда увидит в них не просто фразы, которые надлежит за­помнить, а прежде всего с трудом найденные ответы на живые вопросы, на вопросы, естественно вырастающие из жизни. Ясно, что человек, увидевший в теоретической формуле ясный ответ на заинтересовавший его вопрос, проблему, трудность, эту теоретическую формулу не забудет. Ему не нужно будет ее зазубривать, он ее за­помнит легко и естественно. А и забудет – не беда, всегда выведет снова, когда ему встретится ситуация – задача с тем же составом условий. Это и есть ум».

Поэтому, в отличие от традиционного обучения, современное обучение характеризуется стремлением сделать развитие мышления школьников управляемым процессом, а основные приемы мышле­ния – специальным предметом усвоения.

В процессе эволюции математики-науки и методики математики естественно изменилось то содержание, которое вкладывалось в понятие «математическое мышление», существенно возросла роль проблемы развития мышления в процессе обучения математике.

Несомненно, между системой обучения и ходом умственного раз­вития учащихся существует тесная взаимосвязь, подчиняющаяся определенным закономерностям, поиски которых являются в на­стоящее время одной из центральных проблем педагогической пси­хологии.

Практика школьного обучения настойчиво требует от учителя проводить конкретную работу по развитию у учащихся математического мышления.

Математическое образование представляет собой сложный процесс, основными целевыми компонентами которого являются: а) усвоение школьниками системы математических знаний; б) овладение школьниками определенными математическими умениями и навыками; в) развитие мышления учащихся.

Еще не так давно считалось, что успешная реализация первой и второй из этих целей математического образования автоматически повлечет за собой успешную реализацию и третьей цели, т.е. считалось, что развитие математического мышления происходит в процессе обучения математике стихийно (спонтанно). В какой-то мере это верно, но только в какой-то мере!

Математическое мышление является не только одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности учащихся, но и таким компонентом, без целенаправленного развития которого невозможно достичь эффективных результатов в овладение школьниками системой математических знаний, умений и навыков.

Что такое математическое мышление?

К сожалению, в настоящее время в психологии мышления не выявилось единого подхода к трактовке мышления, к объясне­нию тех «механизмов», которые им управляют. В педагогической психологии отсутствует общепринятая концепция, на основе ко­торой обучение и развитие школьников (в частности, математиче­ские обучение и развитие) могло быть организовано заведомо эф­фективно.

В современной психологии мышление понимается как «соци­ально обусловленный, неразрывно связанный с речью психологический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза. Мышление возникает на основе практи­ческой деятельности из чувственного познания и далеко выходит за его пределы».

Известно, что всякая познавательная деятельность начинается с ощущений и восприятий, переходя затем в мышление (сначала на 1 уровне представлений, а затем на уровне понятий). Понятия, вы­ступая одновременно и как формы отражения реальных объектов, и как средства мысленного, идеализированного их воспроизведе­ния, конструирования (т. е. как особое мыслительное действие), образуют микроэлементы научного знания. Человек продолжает познавать окружающий мир опосредованно, выявляя такие свой­ства изучаемого реального объекта и такие его связи с другими объ­ектами, которые им непосредственно не воспринимаются, не ощущаются и не наблюдаются. Так возникают элементы научного знания.

«Науки в их современном виде... не имеют своим пред­метом сами вещи и их непосредственные проявления. Их познание требует построения специальных теоретических абст­ракций, выделения какой-либо определенной связи вещей и превращения ее в особый предмет изучения».

Тем самым расширяется круг познания человеком различных явлений реальной действительности, что в свою очередь ведет к рас­ширению его восприятий и представлений.

Под математическим мышлением будем пони­жать, во-первых, ту форму, в которой проявляется диалектиче­ское мышление в процессе познания человеком конкретной науки математики или в процессе применения математики в других науках, технике, народном хозяйстве и т. д.; во-вторых, ту специфику, которая обусловлена самой природой мате­матической науки, применяемых ею методов познания явлений реальной действительности, а также теми общими приемами мыш­ления, которые при этом используются.

Очевидно, что математическое мышление полностью отвечает той характеристике, которая присуща мышлению вообще. Вместе с тем «учить специфически человеческому мышлению – значит учить диалектике...». Последнее характеризуется осознанием изменчивости, двойственности, противоречивости, един­ства, взаимосвязи и взаимозависимости понятии и соотношений. Мыслить диалектически, кроме того, означает проявлять способ­ность к нешаблонному разностороннему подходу при изучении объектов и явлений, при решении возникающих при этом проб­лем; для диалектического мышления характерны также понимание различий между умозаключениями достоверными и вероятными (правдоподобными) и осознание единства и противоположности в проявлении конечного и бесконечного.

Одной из разновидностей диалектического мышления является мышление научно-теоретическое (или мышление абстрактное). От­мечая, что «все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее».

В.В. Давыдов, исследовавший вопросы формирования научно-теоретического мышления у школьников, показал, что «лишь такое математическое, физическое и прочее теоретическое мышление мо­жет истинно отразить свой объект, которое выступает как логи­ческое мышление, перерабатывающее свой опытный материал в категориях логики... Так, лишь задавая человеку содержатель­ное обобщение, можно полагать, что он будет ориентиро­ваться именно на существенные свойства вещи и вычленять их из массы несущественных свойств, т. е. будет обладать «чутьем про­цесса». Критерий же такого обобщения (как и всех других катего­рий) формулирует диалектическая логика, высту­пающая тем самым и главным «критерием» теоретиче­ского мышления...»

Таким образом, полноценное математическое мышление есть, прежде всего, мышление диалектическое.

Математическое мышление, являясь мышлением диалектиче­ским, есть вместе с тем мышление естественнонаучное и потому обладает многими свойствами, присущими последнему.

Естественнонаучное мышление может быть охарактеризовано со стороны соответствующих ему умений осуществлять поэтапное решение научных проблем. Совокупность таких умений определяет так называемый естественно научный метод познания, который состоит из следующих элементов: понимание проблемы; точное определение ее и отграничение от других проблем; изучение всех ситуаций, связанных с данной проблемой; планирование поиска решения проблемы; выбор наиболее вероятной гипотезы; планирование и проведение эксперимента по проверке гипотезы; проведение контрольного эксперимента; выводы и их обоснование, выбор оптимального способа решения; распростра­нение выводов на новые ситуации, в которых действуют те же фак­торы.

Многие конкретные методы обучения естественным наукам разрабатываются в соответствии с ее указанным методом познания; ха­рактеристика его основных этапов, специфика соответствующих этим этапам умений могут и должны учитываться и в обучении ма­тематике, в частности при постановке учебных математических задач с прикладной направленностью.

О качествах научного (математического) мышления

Математическое мышление имеет свои специфические черты и особенности, которые обусловлены спецификой изучаемых при этом объектов, а также спецификой методов их изучения.

Прежде всего, отметим, что математическое мышление часто характеризуют проявлением так называемых математических спо­собностей. В психолого-дидактической и методической литературе в структуру математических способностей включаются многие ка­чества мыслительной деятельности, именуемые либо как собствен­но математические способности (В. А. Крутецкий), либо как особенности мышления ма­тематика (А. Н. Колмогоров), ибо как качества ума (К. К. Платонов), либо как компонен­ты обучаемости (3. И. Калмыкова) и т.д.

Существует общее мнение об активной работе в процессе мате­матического мышления определенных качеств мышления (напри­мер, гибкость, пространственное воображение, умение выделять существенное и т. д.), которые в равной степени могут быть соот­несены как к математическому мышлению, так и к мышлению фи­зическому, техническому и т. д., т. е. к научному мышлению вообще.

Эти особенности мышления мы будем называть качества­ми научного мышления. Они представляют особую дидактическую значимость: формирование их у школьников способ­ствует не только успешному обучению математике, но и успешному обучению другим предметам естественно-математического цикла.

Последняя мысль подтверждается результатами исследований советского педагога Ю. К. Бабанского, показавшего, что успеш­ность учения школьников тесно связана с сформированностыо y них таких качеств мышления, как самостоятельность мышления (коэффициент корреляции 0,89), умение