Теория и методика обучения математике
Краткий курс лекций
Теория и методика обучения математике
Лекция 1. Предмет методики преподавания математики: Теоретические основы обучения математике
Методика в переводе с греческого «путь». При изучении данной дисциплины необходимы рассмотрения ответов на самые важные вопросы:
Зачем изучать математику?
Кого обучать математики? (учет возрастных, интеллектуальных особенностей обучаемых).
Как обучать математики? (различные методы и способы обучения математики).
Какого содержание изучаемого вопроса? (сама по себе наука обширная, отбор необходимого материала из научной математики для обучения школьных программ)
Сам предмет методика преподавания математики состоит из 2-х частей: общая и частная методика.
В общей методике рассматриваются конкретные факты с учетом специфики математики как учебного предмета. Называемое общее дано не так как она основывается на психолого-педагогических аспектах.
Частная методика представляет собой применение общей методики к изучению конкретных тем школьного курса математики.
МПМ - это наука о математики как о научном предмете и закономерностях обучения математике учащихся различных возрастных групп, в своих исследованиях данная наука опирается на различные психолого-педагогические, математические основы и обобщения практического опыта работы учителей математиков.
Д/з «История возникновения МПМ» (конспект)
-Учебники нового поколения - в переходный период
-Учебники нового поколения- при 12 летнем обучении
Связь с другими науками.
С физикой, химией, педагогикой, психологией, философией и другими науками.
Цели обучения математики в вузах.
Выпускники вузов по завершению курса МПМ должны усвоить следующие аспекты:
развитие логического мышления и умения решать задачи различных видов (общая культурная роль МПМ)
развитие прикладного математического мышления учащихся (представление о роли математики в науке и практике, иметь элементарное представление и навыки применения математики).
Содержание школьного курса математики.
Школьные программы и учебники постоянно изменяются. Первые изменения в школьных программах произошли в 1965 году. ( Калмагулов, Акумевич – комиссия).
В основу программы были заложены 4 ступени образования ( 1-3 классы, 4-5 классы, 6-8 классы, 9-10 классы).
В этот период были введены новые термины множества и его элементы, высказывания и предложения с переменными, подмножества, объединение и пересечение множеств. (с 1-5 класс) Элемент арифметического понятия и начальные сведения из геометрии, понятие отрицательного числа, понятие числа в буквенной символике и решение уравнений (6-8 класс) курс алгебры, 9-10 класс курс алгебры и начала анализа.
Особенностью данного проекта было усиления внимания к обобщенным идеям ( число, геометрические преобразования)
После обработки данная программа была облегчена и переработана в 1985 году ( трех ступенчатая 1-4 класс, 5-9 класс, 10-11 класс).
Дидактические функции.
В основе технологии обучения лежит методологическая система значения включает следующих 5 компонентов:
1) содержание обучения
2) цели обучения.
3) средства
4) форма
5) методы
Дидактические принципы подразделяются на общие и основные.
При рассмотрении дидактических принципов основные положения определяют содержания организационных форм и методов учебной работы школы. В соответствии с целями воспитания и закономерностей процесса обучения.
Дидактические принципы выражают то общее, что присуще любому учебному предмету и являются ориентиром планирования организации и анализа практического задания.
В методической литературе нет единого подхода выделении систем принципа:
А.Столяр выделяет следующие принципы:
1) научность
2) содержательность
3) наглядность
4) активность
5) прочность
6) индивидуальный подход
Ю.К. Бабанский выделяет 5 групп принципов:
1) направлена на отбор содержания обучения
2) на отбор задачи обучения
3) на отбор формы обучения
4) выбор методов обучения
5) анализ результатов
В основу развития современного образования заложен принцип непрерывного обучения.
Принципы обучения не являются раз и навсегда установленные, они углубляются и изменяются.
Принцип научности, как дидактический принцип, сформулирован Н.Н. Скаткиным в 1950 году. Особенностью принципа:
отображает, но не воспроизводит точности системы науки, сохраняя по возможности общие черты присущую им логику, этапность и систему знаний.
Опора к последующим знаниям на предыдущие.
Системная закономерность расположения материала по годам обучения в соответствии с возрастными особенностями и возрастом обучаемых, а также дальнейшие развитии обучающих.
Раскрытие внутренних связей между понятиями закономерностями и связи с другими науками.
В переработанных программах были особо выделены принципы наглядности.
Принцип наглядности обеспечивает переход от живого созерцания пр- венному мышлению. Наглядность делает более доступным, конкретным и интересным, развивает наблюдательность и мышление, обеспечивает связь между конкретным и абстрактным, способствует развитию абстрактного мышления.
Чрезмерное употребление наглядности может привести к нежелательным результатам.
Виды наглядности:
натуральный (модели, раздаточный материал)
изобразительная наглядность (рисунки, фото и т.д)
символическая наглядность (схемы, таблицы, чертежи, диаграммы)
Принципы:
принцип сознательности обучения предлагает глубокое знание изучаемого усвоения материалом и умения применять на практике. Данный принцип достигается при оптимальном сочетании руководящей ролью учения и активной деятельности ученика (восприятие, сознательное усвоение). В поле сознание выполняет только тот материал, который хорошо понят, проверкой 123 является система продуманных упражнений.
2) Формальность. Критерий формальности:
1.отрыв формы от содержания
2. неумение применять теоретическую математику на практике
3. преобладание памяти над пониманием
3) Прочность. Данный принцип, чтобы у учащихся на долго сохранялись приобретенные ЗУН- этого не возможно достигнуть без глубокого понимания материала т.е здесь превалирует связь между принципом сознательности и научности, однако для прочного усвоения также необходимо учитывать особенности обучаемых, закономерности, находящиеся в промежутке в зависимости от сохранения и применения. Также можно отметить, что память имеет избирательный характер.
4) Принцип системности и последовательности.
Системность в обучении математики предполагает соблюдение определенного порядка в рассмотрении и изучении фактов и постепенное овладение основными понятиями и положениями школьного курса математики.
Последовательность в обучении математике идет:
а) от простого к сложному
б) от представлений к понятиям
в) от известного к неизвестному
г) от знания к умению, а от него – к навыку.
5) принцип доступности. В данном принципе вытекает из требования учета возрастных особенностей (чтобы 123 и содержание учебного материала были по силам обучающим и составляющими умственному развитию и запасу знания).
Применение: необходимо учитывать следующие условия
от простого к сложному , от легкого к тяжелому (от неизвестного к известному)
6)индивидуальный для успешного обучения необходимо учитывать особенности мышления любого ученика, свойства его памяти, слуха, зрения, его характер и волю.
Методы обучения математики.
Методы подразделяются на общие дидактические и специальные.
Данилов: «Метод- это логический способ передачи учителем ЗУН учащимся» (в данном определении отсутствует о познавательной деятельности)
Ильина: «Метод- это способ с помощью которого учитель руководит познавательной деятельностью учителя» (отсутствует ученик как объект деятельности или учебного процесса)
Метод обучения- это способ передачи знаний и организации познавательной практической деятельности учащихся при котором обучаемые овладевают ЗУН, при этом развивают их способность и формируя их научное мировоззрение.
Существует около 150 определений и 80 классификаций методов обучения.
Методы обучения подразделяются на методы преподавания и методы учения.
Бабанский рассматривает три группы:
методы организации учебной познавательной деятельностью
методы мотивации и стимулирования учебной познавательной деятельностью
методы контроля и самоконтроля за эффективностью учебной познавательной деятельностью
Определение: Общие дидактические методы рассматривают наиболее общие теоретические аспекты организации учебной познавательной деятельности обучаемых.
Объяснительно-индустративную
репродуктивный метод
частично поисковую
проблемную
исследовательский
иногда называют информационно - интуитивно. Для данного метода характерно используется, тем, что учитель посредством слова, наглядности, учебника, показа различной демонстрации передает ученикам готовую информацию, ученики же в силу своей подготовленности усваивают этот материал. Без данного метода затруднительно первоначальное усвоение материала в особенности сложного, при использовании этого метода важно умелое сочетание слов и наглядности.
При данном методе раскрывается формула:
Усвоение = понимание + запоминание
репродуктивный метод, при этом методе формируются ЗУН на основе практического опыта (в форме алгоритмов, решения простейших задач) самого обучаемого.
Овладение = усвоению + применение на практике.
Частично поисковый учитель при изложении материала организует работу учащихся по средствам специально подобранных задач ( вопросы, доказательство теорем т.д. ).
Проблемный метод обучения занимались Махмутов М.И., Матюшкин А.Н., И.Я. Левнер, А.А. Столяр, В.И. Крутич.
Основными компонентами являются проблемная ситуация, учебная проблема, учебная задача.
Щукина: проблемная ситуация- это не соответствие между имеющимися знаниями, опытом и недостаточностью прежних действий, знаний и теми способами, которые необходимы для решения задач.
Под проблемностью понимается система проблемных ситуаций создаваемых учителем с помощью определенных приемов и их средств.
Исследовательский метод- предназначен для развития творческих способностей у учащихся. Учитель ставит перед учащимися определенную учебную проблему, учащийся пытается ее решить. Данный метод используется на факультативных и кружковых занятиях, в частности для математиков. Необходимо заранее предложить определенный набор задач различной степени сложности, для того чтобы учащиеся соответственно своим возможностям выбрать одну из задач и в установленные сроки предоставить решение этих задач.
Специальные методы.
Наблюдение, опыт, сравнение, аналогия, индукция, дедукция, обобщение, анализ, синтез.
Наблюдение- называется метод изучения ,фиксирование свойств и отношений отдельных объектов и явлений окружающего мира, рассматриваемых в их естественных условиях, и в той естественной связи признаков объекта, в какой они существуют в самом объекте.
Опыт- называют метод изучения объектов и явлений, посредством которого мы вмешиваемся в их естественное состояние и развитие, создавая для них искусственные условия, искусственно их расчленяя на части и соединяя с другими объектами и явлениями.
Сравнение - мысленное установление сходства или различия объектов изучения.
Обобщение - выступает как переход от данного множества предметов к рассмотрению более и емкого множества, содержащего данное.
Анализ и синтез- практически неотделимы друг от друга, они сопутствуют друг другу, дополняя друг друга составляя единый аналитико- синтетический метод.
Анализ рассматривался как путь ( метод мышления ) от целого к частям этого целого, а синтез- как путь ( метод мышления) от частей к целому.
Абстрагированию противоположен процесс конкретизации. Конкретизация- это мыслительная деятельность, при которой односторонне фиксируется та или иная сторона объекта изучения, вне связи с другими его сторонами.
Абстрагирование- это мысленное отвлечение от некоторых несуществующих свойств изучаемого объекта и выявления, существенных для данного исследования свойств.
История возникновения МПМ.
Из обширного запаса методико-педагогических знаний и опыта выделен учебный предмет МПМ в педагогическом институте, который можно условно разделить на три раздела.
Общая МПМ ( изучение методов преподавания )
Специальная МПМ ( изучение, учение о функции в школьном курсе математики )
Конкретная МПМ, которая состоит из
а) частных вопросов общей методики (планирование уроков математики в 4 классе)
б) частных вопросов специальной методики (методика преподавали темы «Четырехугольники»).
Различают также методики преподавания пропедевтического (подготовительного) и систематического (основного) курса математики.
Методика формирования методических понятий.
Представление- это наглядный образ предмета или явления возникаемого путем его воспитания в памяти и воображении.
Для представления характерно переход к его высшей ступени познания то есть к образованию понятий. С точки зрения формальной логики мышление характеризуется следующими основными формами:
понятие
умозаключение
суждение.
Для понятия характерным является выделение свойств, при этом общее свойство некоторого объекта могут быть как отличиями так и неотличительными свойствами.
Общее свойства могут быть отличительными для данного объекта если оно отражает его так называемые существенные свойства, которые могут быть его признаками.
Признак является основным для некоторого объекта, если данный признак принадлежит всем объектам рассматриваемого класса.
Признак называется противоречивым, если он не принадлежит не одному объекту рассматриваемого класса.
Признак называется отдельным, если он принадлежит лишь некоторым объектам рассматриваемого класса.
Отношение независимости. Свойства а и б называются независимыми, если объектом некоторого множества принадлежат оба свойства одновременно и отдельно друг от друга.
Отношение необходимости и достаточности. Каждое из двух свойств является необходимым и достаточным условием по отношению друг к другу, если объекту этого множества принадлежат одновременно только эти свойства, при этом одно свойство называется необходимым если существуют объекты имеющие одно из этих свойств, в противном случае рассматривается достаточность.
Отношение несовместимости. Свойства называются несовместимыми, если объект некоторого множества может содержать только свойства одного класса.
Основными характеристиками понятия является:
содержание понятия
объем
связь и отношения данного понятия с другими
Под содержанием понятия понимают совокупность основных признаков существующих характеристик (классов) объекта (явления), возникающих со знанием человека с помощью данного понятия. (для треугольника, прямоугольника, окружности и т.д)
Объем понятия - это количество объектов охватываемых в данном понятии (квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб)
Логические операции используемые при работе с понятиями:
ограничение- переход от понятия большего… к понятию меньшего… (от параллелограмма к ромбу)
обобщение- переход от меньшего к большему …, при этом общие понятия называются родовым понятием, менее общее видовым (призма родовое понятие, прямая призма- видовое)
Что значит определить понятие?
Определение понятие- это логическая операция при помощи которой рассказывается содержание вводимого понятия через перечисление существенных признаков.
Существенные признаки понятия- это признаки которые необходимы для характеристики данного объекта при этом возможно, что лишь 1 признак является необходимым, а все ….. , чтобы отличить объекты данного рода от других. Выбор существенного признака для определения объекта может оказаться многозначным.
Различают реальные и номинальные определения.
Реальные определения: отображают существенные признаки предмета и имеют цели отличить определяемые предметы от всех других предметов путем указания его отличительных признаков. Номинальные определения объясняют значение слова и термины обозначают данный объект
Конъюнктивные и дедуктивные. Конъюнкция, когда одно истинно.
Дизъюнкция, либо ложь, либо истина.
Конструктивное определение, определение в котором указывается способ образования объекта (конус, шар, цилиндр).
Рекурсивное определение- это определение в котором указывается некоторые базисные объекты, некоторого класса и правила позволяющие получить новые объекты этого же класса.
Остенсивное - это определение значение слов путем непосредственного показа, демонстрации предметов, которое обозначается этими словами.
Определение через отрицание- это когда отрицаются известные определения, чтобы получить новое определение (натуральное, отрицательное, рациональное, иррациональное)
Определение через абстракцию- это, когда определение того или иного объекта через другой вид невозможно либо трудно осуществимо (множество, число, величина, точка).
Аксиоматический- это когда определение понятие дается через аксиому (прямая, точка, плоскость)
Требования к определениям
Определение должно быть соразмерным, то есть ……… определяемого и определяющегося понятия должны быть равные.
Н-р: квадратом наз-ся прямоугольный четырехугольник.
2. Определение не должно включать в себя порочного круга ( тавтология ) то есть в качестве определяющего понятия, не должно браться понятие, которое само определяется с помощью определяемого понятия.
Н-р: прямой угол наз-ся угол равный 90 градусов.
3. Определение не должно бать отицающим, Определение должно указывать признаки принадлежащие понятию, а не признаки которые оно не должно иметь.
Н-р: параллелограмм- это не трапеция.
4. Определение должно быть ясным, т.е Определение не должно быть двухсмысловым или содержать метафологические выражения.
Н-р: подобные фигуры должны иметь одинаковую форму.
Нарушение этих требований к следующим ошибкам:
Ошибки связанные с неполным указанием родового понятия. Н-р: квадрат равносторонний прямоугольник.
В определении указывается род понятия, который для определяемого понятия не является не родом, не видом. Н-р: хорда это прямая соединения 1 точек окружности.
Тавтология в определении понятий, т.е предмет определяется через самого себя.
Ошибки связанные с неправильным указанием родового отличия:
а) Указываются не все требуемые видовые отличия. (угол образованный хордами)
б) избыток видовых отличий (параллелограмм- это прямоугольник, у которого противоположные стороны равны или параллельны)
5. Ошибки, связанные с пропуском слов (прямые лежащие в одной плоскости и не имеющие одной общей точки называются параллельными – 2 пропущено)
Понятие в школьном курсе математики представляется по группам:
понятие аналогии, которое является житейским представлением и включает донаучные понятия.
Понятие дается без определения.
Понятие дается через определения.
Понятие дается более расплывчатым, а затем более конкретизируется
Д/З. «Лабораторная работа» Лященко
Математические суждения.
виды математических суждений
логическая структура, теоремы. Виды теорем.
свойства и признак.
Суждением называется такая форма мышления, которая устанавливает связи между понятиями между объектами, охватываемые этими понятиями.
Суждения, правильно отображающие эти объективно существующие зависимости между вещами называется истинными, в противном случае ложные. Суждения имеют свою языковую оболочку в предложениях. Однако не всякое предложение является суждением, характерные признакам суждения является обязательное наличие истинности или ложности, выражающем его предложение.
Обычно математические суждение формулируется в виде математических предложений.
К математическим предложениям относятся: теоремы и аксиомы. Некоторые определения тоже относят к математическим предложениям.
К математическим предложениям относят уравнение неравенство, тождество и др.
Для выражения тех или иных научных суждений и для выражения логической структуры операции над ними используется язык математической логики, где используется термин высказывания близкий к термину суждений. Над высказываниями используются логические операции конъюнкция, дизъюнкция, и т. д..
Основными видами математических суждений являются: аксиомы, постулаты, теоремы.
Аксиома (от греческого то, что приемлема) - предложение, принимаемое без доказательства его истинность допускается.
В аксиомах высказываются утверждения о свойствах основных неопределяемых понятиях некоторые теории к системе аксиом предлагаются требования независимости, непротиворечивости, полноты.
Постулат (от лат. требование) – это предложение в котором выражаются некоторое требование (условие) к которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторого отношения между понятиями.
Теорема (от греч. рассматриваю, зрелище) – математическое предположение, истинность которого устанавливается по средствам доказательства (рассуждения).
2.В любой теореме можно выделить разъяснительную часть (Р), условие (А), заключение (В).
Пример: В теореме «если две прямые // 3-й, то они // между собой».
Р: три прямые
А: 2 // 3-й
В: 3 прямые // между собой
Любую теорему на языке логики можно записать так Р/А 
В или АВ.
Теорема имеющая одно условие называется простой.
Если имеется несколько условий, то называется теорема сложной.
П-р: сложной теоремой
1) если 2 // прямые пересечены третьей, то накрест лежащие углы равны и сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов (АВ1 
В2)
2) если диагональ четырехугольника точкой пересечения делится пополам, то эта фигура ромб (А1А2В).
Каждая сложная теорема может быть предложена в виде нескольких простых.
Для словесной формулировки теорем используется условное (со словами или … то) и категорическое (без этих слов)
Условная формы формулировки теорем отражает ее структуру и импликация высказываний из АВ.
Условная формы формулировки теорем удобна для изучения в ней после слов если, дается условие теоремы то, ее заключение.
П-р: 1) Средняя линия треугольника // основанию (категорическая форма)
2) Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником ( условная форма)
3) Вертикальные углы равны (категорическая форма)
4) Если два угла вертикальные, то они равны (условная форма).
С любой теоремой связаны еще 3 теоремы.
1. АВ- прямая
2. ВА- обратная
3. 
- противоположная к первой
4. 
- контропозитивная.
1 2 пары эквивалентных
3 4 теорем.
П-р: 1) Если четырехугольник параллелограмм, то его диагонали пересекаясь делятся пополам (АВ- истина)
2) Если в четырехугольнике диагонали пересекаясь делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм (ВА- истина).
3) Если четырехугольник не параллелограмм, то его диагонали пересекаясь не делятся пополам (истина)
4) Если в четырехугольнике диагонали пересекаясь не делятся пополам, то этот четырехугольник не является параллелограммом (истина).
Отметим важные случаи простых и сложных теорем.
Следствие- это теорема, легко доказываемая с помощью одной теоремы.
Лемма- вспомогательная теорема представляющая интерес, только как ступень к доказательству другой теоремы.
Необходимое и достаточное условие.
Это теорема объединяющая в одной формулировке с использованием слов необходимо и достаточно прямую и обратную теорему.
А
В
-Теорема существования- это теорема, в которой отсутствуют условие и заключение, но утверждается существование какого-либо объекта, обладающего определенными свойствами ( Н-р: теорема существования параллельных прямых).
- Теорема единственности- эта теорема в которой нет условия и заключения, но утрачивается единственность какого-либо объекта, обладающего какими-то свойствами (Н-р: теорема единственности перпендикуляра к прямой проходящего через данную точку).
- Теорема тождества, теорема формула- это теоремы, выраженные языком математических символов.
Некоторые теоремы отражают свойства объекта (эти понятия), а некоторые его признаки.
Свойства понятия- это то что можем сказать о данном понятие всесторонне рассматривая его.
Признак понятия- это те показатели, по которым можно узнать данное понятие.
Отличить теорему выражающая свойство понятия от теоремы, выражающей его признаки помогает условная формы теоремы, если об объекте идет речь в условии, то это свойство понятия, а если в заключении, то признак, причем объект в формулировке встречается один раз.
П-р: Теорема: «Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.»- это свойство прямоугольника.
Теорема в условной форме выражается так «если параллелограмм является прямоугольником, то вокруг него можно окружность». Здесь идет речь в условии теоремы.
Теорема: «Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником»- это признак прямоугольника
Теорема в условной форме: «если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником».
Лекция 2. Индукция. Дедукция. Аналогия
Доказательство любой теоремы состоит из цепочки умозаключения.
Умозаключение- это рассуждение, в ходе которого из одного или нескольких суждений называемых посылками умозаключения выводятся новые суждения называемые заключением или следствием, логически вытекающих из посылок.
Умозаключение делится на непосредственные и опосредованные.
Непосредственным умозаключением называется умозаключение, если вывод делается на основании только одной посылки. (Н-р: параллелограмм- это четырехугольник.- нет не может)
Опосредованным умозаключением называется, если вывод делается на основании нескольких посылок. Умозаключение бывает достоверным, если вывод истинное утверждение и вероятностным, если истинность вывода не определена.
В зависимости от общности посылок и вывода выделяют следующие виды умозаключений:
Дедуктивное
Индуктивное
Традуктивное
Дедуктивное умозаключение или дедукция (от лат. выведение)- умозаключение от общего к частному, частичному или от более общего к менее общему.
Индуктивное умозаключение или индукция (от лат. наведение)- от частного к общему или от менее общего к более общему.
Традуктивное или традукция (от лат. перемещение)- умозаключение, в котором посылки и вывод имеют одинаковую степень общности.
Дедуктивное умозаключение - может быть непосредственным и опосредованным.
Самым распространенным видом опосредованного умозаключения является силлогизм.
В силлогизме содержатся три понятия, и состоит из посылок и вывода, его структуру можно представить в следующем виде:
Пример силлогизма
П - р силлогизма: Все ромбы (М) есть параллелограммы (Р).
Доказательство любой теоремы состоит из нескольких силлогизмов, на которые при доказательстве теорем делают ссылки только в устной форме, особо не выделяя силлогизмы (этапы доказательства).
П-р: Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков обоих хорд равны произведению отрезку другой хорды.
Дано:
АВ и СД - хорды
Е- их точка пересечения
Доказать: АЕ*ВЕ=СЕ*ДЕ
Доказательство:
1 Силлогизм
БП Вписанные углы опирающие на одну и ту же равны.
МП угол 
1 и 2 вписанные и опираются на дугу АД.
В: Угол 1=2
2 Силлогизм.
БП: Вертикальные углы равны.
МП: Угол 3 4 вертикальные углы.
В: угол 3=4 .
3 Силлогизм
БП: 
АСЕ и ВЕД подобны.
МП: 1=2, 3=4 т.к они подобны.
В: 1=2, 3=4
4 Силлогизм БП
МП АЕ
ЕД; СЕЕВ; АСВД
В АСЕВЕД
Задание: Доказать любую теорему из учебника в форме выделения силлогизмов.
Полная и неполная дедукция.
В том случае когда дедукцией вывод делается после рассматривания не всех частных случаев индукция называется неполной.
Примеры неполной индукции: рассмотрим умножение 2-х чисел
26*24=624
47*43=2021
62*68=4216
сумма единиц-10
первые цифры – одинаковые.
Рассмотрев произведение этих чисел делают вывод. Для любых чисел 
и 
, где сумма
b+c=10, тогда произведение может быть найдено по следующему правилу:
*=a(a+1)*100+bc
этот вывод сделан на основе неполной индукции от частного к общему и нуждается в доказательстве, т.к может оказаться ложным.
Примеры на сокращение дробей:
Из рассматриваемых примеров можно сделать вывод, что в числитель и знаменатель можно вычеркнуть b, а иногда нельзя .
Из приведенных примеров видно что неполная индукция вероятностно умозаключению. Она не может использоваться для доказательства утверждения, но она поможет выделить гипотезы на основании подмеченных закономерностях.
Н-р: Найти ГМТ на плоскости равноудаленных концов отрезка АВ.
Полная индукция противоположность неполной индукции, служит методом строгого логического доказательства.
Может быть использована при доказательстве утверждений относящиеся как к конечному так и бесконечному множеству объекта.
П-р: Значение выражения 
является целым числом при любом х равных 0, -5, 1.
В случае доказательства некоторым утверждениям для бесконечного множества объектов методом полной индукции это множество разделяется на конечное число не пересекающихся подмножеств, которые при объединении должны составлять данное множество.
В школьном курсе полная индукция применяется при доказательстве о величине вписанного угла, теорема косинусов.
Литература:
1. Н.Я. Виленкин «Индукция. Комбинаторика» Москва, 1976
2. Головина Л.И. , Яглан И.М. «Индукция в геометрии» 1956г, Москва.
Аналогия.
Аналогия- является видом традуктивного умозаключения. Она также , как и полная индукция относится к вероятностному умозаключению.
Аналогия- это утверждение, при котором значение об одном объекте переносится на другой объект, сходимый с первым, иногда его называют умозаключение по сходству.
Различают умозаключение простую и распространенную аналогию.
В распространенной аналогии от сходства явлений делают вывод о сходстве причины.
Простая аналогия- это аналогия, в которой от сходства двух объектов в одних признаках, отношениях заключают о сходстве их других признаков и отношениях.
Н-р: Предмет А имеет признаки 1, 2, 3. Предмет В 11, 21, 31- признаки.
В: вероятно объект имеет признак 3 сходный с 31.
Н-р: 1) у прямоугольника все углы прямые (А)
все диагонали равны (В)
точкой пересечения делятся пополам (С).
у прямоугольного параллелепипеда все линейные углы трех равных углов прямые (А)
диагонали равны (В1)
В: (вероятно диагонали параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам С1)
Можно заметить сходство треугольника и тетраэдра.
Треугольник выпуклая фигура на плоскости образована наименьшим числом пересечения плоскостей.
Тетраэдр выпуклая фигура в пространстве образуется пересечений плоскостей в пространстве.
Вероятно, свойства у них сходны.
Литература:
1. Ердниев П.А., Ердниев Б.П. «Аналогия в задачах» 1989
2. Ердниев П.М. «Аналогия в математике» Москва
Лекция 3. Методы доказательств
Доказательство- это цепь логических рассуждений, связывающие условие и заключение теоремы опирающихся на известные теории (теоремы, определения, аксиомы) и обосновывающих истинность заключения. К доказательству теорем учащихся необходимо готовить с первого по 6 классы, научить их наблюдательности, подмечать закономерности и т.д.
Необходимо научить учащихся приводить контрпримеры, они являются доказательством.
Н-р: 1) четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны являются ромбом
2) В четырехугольнике противоположные углы по 90 градусов n-угольник.
При изучении геометрии особенно на начальном этапе большое значение имеет вид чертежа, его расположение.
Методы доказательства теорем делятся на два вида: прямое и косвенное доказательства.
Если доказательство соединяет условие и заключение теоремы, то его называют прямым доказательством.
Если оно связывает условие и заключение другой теоремы (суждение), но в силу логических законов обосновывает истинность доказываемой теоремы, то это косвенное доказательство.
Метод доказательства- это способ связи заключений доказательства.
В широком смысле анализ и синтез являются операциями мышления и следовательно могут рассматриваться как методы познания действительности.
Слово анализ от греч., разложение, расчленение.
Анализом обычно наз. такую операцию мышления с помощью, которой переходят от целого к его частям, от сложного к простому, от следствия к причине, от искомого к данным.
Слово синтез от греч., соединение, сочетание, составление.
Синтез представляет собой операцию мышления с помощью которой переходят от части к целому, от простого к сложному, от причины к следствию, от данных к искомому.
Кроме того над анализом понимают коллективное изучение свойств объекта, а под синтезом их качественное изучение.
Поскольку анализ и синтез связывают причину (условие теоремы, задачи) со следствием (заключением теоремы , требованием задачи) их рассматривают как метод доказательства.
Синтетический метод доказательства определяется тем, что рассуждения ведутся от условия к заключению теоремы это метод прямого доказательства.
А
С
(А
Т)В1В2В3…ВхС, где Т известные математические предложения в рассмотрении теории.
В1,В2,В3,…,Вх- следствие из условия.
Вывод об истинности С делается по закону логики.
Синтетический метод- метод строгого доказательства.
П-р: Теорема: Если противоположные стороны некоторого четырехугольника попарно равны, то это параллелограмм.
Дано
АВ=СД, ВС=АД (условие А)
Доказать: АВСД- параллелогра