Исследование спектров немодулированных и модулированных колебаний и сигналов

РЕФЕРАТ

Исследование спектров немодулированных и модулированных колебаний и сигналов

Понятие сигнал в общем случае обозначает условный знак для передачи на расстояние каких-нибудь сведений и сообщений. В радиоэлектронике под сигналом понимается изменяющаяся физическая величина, однозначно отображающая сообщение. Сигнал, несущий информацию о физической величине, состояний исследуемого объекта или процесса, называется информационным. Таким образом, под сигналом понимается распространяющийся в пространстве носитель с информацией, содержащейся в значениях его физических параметров.

Если использовать в качестве базисных функций 1, cos(nWt), sin(nWt), где n=1, 2, 3, …, то получим ряд Фурье. Ряд Фурье используется для анализа спектров периодических сигналов, если сигнал представлен на ограниченном временном отрезке от 0 до Т, либо сигнал является периодическим с периодом Т. При этом функция S(t) должна удовлетворять условиям Дирихле.

Исходная математическая форма ряда Фурье:

,

где - частота основной (первой) гармоники, а коэффициенты и равны:

Т. о. сложный сигнал на отрезке времени Т содержит постоянную составляющую и сумму бесконечного числа гармоник с частотами, кратными частоте основной гармоники.

Учитывая, что , где , а , получим радиотехническую форму ряда Фурье:

.

При расчетах наиболее удобна комплексная форма ряда Фурье:

, где - комплексная амплитуда n-ой гармоники.

Использую формулу Эйлера: , получим следующие выражения взаимосвязи комплексной и других форм ряда Фурье:

, ,

Отрицательным n в комплексной форме ряда Фурье соответствуют отрицательные частоты комплексного гармонического сигнала . Вектор, изображающий комплексный гармонический сигнал на комплексной плоскости, вращается при по часовой стрелке, а при - против часовой стрелки. Спектр сигнала становится двухсторонним: для каждой гармоники с положительной частотой имеется гармоника – «дублер» с отрицательной частотой. Исключением является постоянная составляющая – для нее «дублера» нет.

Если в периодической последовательности прямоугольных импульсов амплитуда S_m, длительность t, период Т, то тогда

т.е амплитуды гармоник вещественны.

Спектр простого гармонического сигнала S(t)=U_m*sin(wt+j₀) (1)

Большинство аналоговых сигналов имеют более сложную форму. Периодические сигналы произвольной формы могут быть представлены в соответствии с рядом Фурье в виде суммы гармонических колебаний:

(2)

Таким образом, ряд Фурье представляет собой математическую модель периодического сигнала.

Совокупность гармонических составляющих сигнала образуют его спектр.

Амплитуда каждой спектральной составляющей характеризует энергию соответствующей гармоники основной части сигнала. Чем выше скорость изменения амплитуды сигнала, тем больше в его спектре высокочастотных гармоник. Разность между минимальной и максимальными частотами спектра сигнала, между которыми содержится основная часть (95%) энергии, называется шириной спектра ∆F. (рис1).

Рис1. Спектр периодического аналогового сигнала.

Для одиночного прямоугольного импульса (непериодический сигнал) имеют место два соотношения:

(3)

(4)

Формулы 3 и 4 носят фундаментальный характер в теории сигналов и называются прямыми и обратными преобразованиями Фурье. Они связывают между собой вещественную функцию времени u(t) и комплексную функцию частоты S(w).

Таким образом, интеграл Фурье (3) содержит непрерывную (сплошную) последовательность спектральных составляющих сигналов с бесконечно малыми амплитудами. Функцию S(w) называют спектральной плотностью. Она характеризует интенсивность сплошного распределения амплитуд гармоник непериодического сигнала вдоль оси частот (рис 2). В этом основное отличие спектральной плотности непериодического сигнала от дискретного спектра периодического сигнала, в котором каждая гармоническая составляющая имеет вполне определенное значение частоты и отстоит от соседней на величину w₁(рис3).