Моделирование макроэкономических процессов и систем

В настоящее время математическое моделирование все настойчивее вторгается в область социально-экономических наук. И дело здесь совсем не в том, что математизация является идеалом строгости для всякой науки.

Возможность использования математического моделирования связана с существованием устойчивых тенденций, которые характеризуют многие социально-экономические процессы. В наибольшей степени сказанное относится к экономике, где математические методы активно применяются с прошлого века.

Значение моделирования как метода исследований определяется тем, что модель представляет собой концептуальный инструмент, ориентированный на анализ изучаемых процессов и их прогнозирование. Именно поэтому, например, в современных курсах по экономической теории наряду с содержательным анализом широко применяется метод математического моделирования.

Следует, однако, иметь в виду, что возможности метода математического моделирования при анализе конкретных социально-экономических процессов достаточно ограничены.

В данной курсовой работе будут рассмотрены основные математические модели макроэкономических процессов, такие как мультипликативная производственная функция, кривая Лоренца, различные модели банковских операций, модели межотраслевого баланса Леонтьева, динамическая экономико-математическая модель Кейнса.

Задание 1

Национальная экономика страны может быть описана мультипликативной производственной функцией вида:

,

где (P)=у.д.е. – объём ВВП страны, (K)=у.д.е – объём национальных производственных фондов (капитал), (L)=чел. – численность населения страны, занятого в производственной сфере (труд). В развитие национальной экономики инвестируется S у.д.е. Считается, что все средства идут на развитие производства, решить задачу об оптимальном распределении инвестиций по привлечению дополнительных единиц труда и капитала с целью максимального прироста ВВП. Задачу решить методом Лагранжа и графоаналитическим методом, считая, что стоимость одной дополнительной единицы капитала составляет S₁, единицы труда – S₂, а связь между ними носит линейный характер и может быть описана уравнением S=S₁·K+S₂·L.

Исходные данные:

α₁ = 0.4; α₂ = 0.6; S = 50000; S₁ = 5; S₂ = 15.

Решение:

P = α₀ · K^0.4 · L^0.6

5 · K + 15 · L = 50000

Наиболее рациональным способом решения такой задачи является способ множителей Лагранжа.

P (K, L, λ):

Т.к. K ≠ 0 и L ≠ 0, следовательно:

Графическая иллюстрация решения задачи:

Если в экономику страны, развитие которой описывается функцией P = α₀K^0.4 ·L^0.6 инвестировать S = 50000 у.д.е, то для получения максимального прироста ВВП эти средства нужно распределить так чтобы создать дополнительных L = 2000 рабочих мест и привлечь дополнительно K = 4000 у.д.е. производственных фондов, при условии что известны стоимости единицы труда S₂ = 15 и единицы капитала S₁ = 5.

Задание 2

Распределение доходов населения страны может быть описано функцией распределения доходов:

где C – минимально возможный уровень дохода; F(x) – доля населения страны с уровнем дохода, меньшим, чем Х (распределение Парето).

Учитывая, что средний относительный доход тех, чей уровень дохода меньше Х, может быть задан функцией:

Построить кривую Лоренца в системе координат, показывающей неравномерность в распределении доходов населения страны.

Значениями x принять равными:

а) при с<х≤3с с шагом Δх=0,2С

б) при 3с<х≤6с с шагом Δх=0,5С

Исходные данные:

α = 1.6; c = 3500.

Решение:

а) 3500

б) 10500

Задание 3

Первоначальный банковский вклад S₀ размещен на n лет под р₁% годовых с начислением процента m₁ раз в год. Сравнить конечную сумму вклада, если условия договора изменятся на р₂% и m₂ раз, и рассчитать для обоих вариантов эффективную ставку процента, а также величину дисконта и дисконт-фактора.

Найти величину разового платежа для погашения долгосрочного кредита на сумму S_n, данного банком под р% на n лет.

Исходные данные:

S₀ = 3500; n = 6; p₁ = 16; m₁ = 3; p₂ = 14; m₂ = 2; p = 25; Sn = 200000.

Решение:

Конечная сумма вклада

Эффективная ставка процента

Дисконт

Дисконт-фактор

а) =8917,70

= 0.1687

= 0.1379 %

= 0.8621

б)= 7882,67

= 0.1449

= 0.1228 %

= 0.8772

Сравнив полученные результаты, видим, что при увеличении учетной ставке процента и количества начислений в год – конечная сумма вклада увеличивается.

в)

= 127156,58

Задание 4

В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период (в у.д.е.).

Решить задачу межотраслевого баланса, если конечное потребление первой отрасли не изменилось, второй отрасли увеличилось в 1,5 раза, третьей уменьшилось на 25%.

С учетом изменений строим новый вектор конечного потребления: