Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших квадратов
Контрольная работа (вариант 8)
1. Найти неопределенные интегралы:
2. Интегрирование по частям
Вычислить определенные интегралы:
3.
=8-6,92=1,08
Интегрирование по частям
4.
5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями
. Построить чертеж.
Решение.
В декартовой системе координат построим линии и найдем точки их пересечения.
Объем тела вращения по формуле
Точки пересечения линий
(второй вариант не подходит, т.к. отрицателен)
Отсюда 
Границы фигуры:
Фигура симметрична относительно оси ОУ, поэтому
Объем тела
6. Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу вида y=ax+b для функции, заданной следующей таблицей:
| X | 3.3 | 3.5 | 3.7 | 3.9 | 4.1 |
| Y | 13 | 13.5 | 11.4 | 11.2 | 9.7 |
Изобразить графически таблично заданную и соответствующую линейную функции. По эмпирической формуле вычислить значение переменной при х=4,0
Решение
Заполним таблицу
|
|
|
|
|
| 1 | 3,3 | 13 | 10,89 | 42,9 |
| 2 | 3,5 | 13,5 | 12,25 | 47,25 |
| 3 | 3,7 | 11,4 | 13,69 | 42,18 |
| 4 | 3,9 | 11,2 | 15,21 | 43,68 |
| 5 | 4,1 | 9,7 | 16,81 | 39,77 |
| 18,5 | 58,8 | 68,85 | 215,78 |
Составим для определения коэффициентов систему уравнений вида:
Получим
Решая систему методом исключения определяем:
Искомая эмпирическая формула y=28.23-4.45x
Значение переменной при x=4.0
y=28.23-4.45*4=10.43
7. Исследовать сходимость ряда.
Исследуем ряд сначала на абсолютную сходимость. Общий член ряда
В свою очередь ряд 
расходится как гармонический. Значит абсолютной сходимости у исходного ряда нет. Исследуем на условную сходимость по признаку Лейбница.
1) 
при 
2)
действительно для 
По признаку Лейбница, исходный ряд сходится условно.