Изгибаемые многогранники. Октаэдр Брикара. Флексор Штеффена

Исторически и генетически геометрическая деятельность является первичной интеллектуальной деятельностью человечества в целом и каждого человека в отдельности. Геометрия – это не только раздел математики, школьный предмет, это, прежде всего феномен общечеловеческой культуры, являющийся носителем собственного метода познания мира. Изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т.д.) и можем использовать эти свойства в практической деятельности.

Тема «Многогранники», выбранная для исследования автором работы актуальна, так как это одна из важнейших тем курса стереометрии. Наряду с изучением свойств различных пространственных объектов, проводится обобщение и систематизация геометрических знаний, полученных в основной школе, четко прослеживается единство планиметрии и стереометрии – основных разделов школьного курса геометрии.

Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому, как многоугольники – простейшие фигуры на плоскости. Многогранные формы мы видим ежедневно: спичечный коробок, книга, комната – прямоугольные параллелепипеды; молочные пакеты – тетраэдры; граненый карандаш, гайка дают представления о призмах.

Многие архитектурные сооружения или их детали представляют собой пирамиды или усеченные пирамиды – такие формы имеют знаменитые египетские пирамиды или башни Кремля. Многие многогранные формы не имеют специальных названий. С чисто геометрической точки зрения многогранник – это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками – гранями. Стороны и вершины граней называют ребрами и вершинами самого многогранника. Грани образуют так называемую многогранную поверхность.

Многогранники, равно как и ограничивающие их многогранные поверхности, традиционно занимают почетное место в школьном курсе стереометрии. Цель работы – изучить материал, касающийся изгибаемых многогранных поверхностей. В последние 20 лет теория таких поверхностей привлекает пристальное внимание профессиональных геометров.

1 ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Первый значительный результат в теории изгибаний многогранников получил Огюстен Коши, чья теорема, доказанная в 1813 году, утверждает, что любой выпуклый многогранник неизгибаем.

Приведем доказательство этой теоремы. Для начала рассмотрим теорему Коши о единственности.

Теорема. Два выпуклых многогранника с соответственно равными гранями, составленными в одном и том же порядке, равны.

рис. 1. Выпуклый и невыпуклый многогранники

Обратимся к многогранникам, показанным на рисунке 1. Башня с четырёхскатной крышей на кубическом основании и башня с продавленной крышей составлены из соответственно равных граней, примыкающих друг к другу в одном и том же порядке. Но они не равны друг другу. Один из них невыпуклый, а, как доказал Коши, в классе выпуклых многогранников подобная ситуация невозможна.

Эта теорема объясняет, почему модель выпуклого многогранника не деформируется, или, как ещё говорят, не изгибается.

Теорема. Выпуклый многогранник неизгибаем.

Действительно, допустим, что выпуклый многогранник M изгибаем. Тогда существует другой, не равный ему многогранник M', двугранные углы которого мало отличаются от соответствующих углов многогранника M. Если отличие углов достаточно маленькое, то многогранник M' также выпуклый. А так как соответственные грани этих многогранников равны, то, по теореме Коши, и сами многогранники конгруэнтны.

Однако вопрос, однозначно ли задаётся форма многогранной поверхности своими гранями или она может меняться за счёт изменения двугранных углов, интересовал математиков задолго до Коши.

В XI книге знаменитых "Начал" Евклида многогранники определяются как равные, если они составлены из соответственно равных граней, взятых в одинаковом порядке. Впоследствии многие высказывали мнение, что это, собственно, не определение, а утверждение, нуждающееся в доказательстве. При этом все верили в его справедливость, а в 1776 году великий математик Леонард Эйлер высказал гипотезу: "Замкнутая пространственная фигура не допускает изменений, пока не рвётся". Под "замкнутой пространственной фигурой" понималось то, что сейчас принято называть замкнутой поверхностью, т. е. поверхностью без края. Таким образом, предположение Эйлера относилось не только к многогранным, но и к произвольным поверхностям. Теорема Коши подтвердила гипотезу Эйлера в случае выпуклых многогранников, а также то, что равенство выпуклых многогранников можно определять по Евклиду.

На протяжении двух веков геометры верили, что не только любой выпуклый, но и любой невыпуклый многогранник тоже неизгибаем.

рис. 2. Октаэдр Брикара

Первые сомнения в этом зародились в 1897 году, после того как французский математик Р. Брикар доказал, что существуют изгибаемые октаэдры.

Легко заметить, что октаэдр Брикара имеет самопересечения (рис. 2). И хотя после Брикара исследования изгибаемых октаэдров разными другими методами продолжались, но главного результата — примера изгибаемого и не имеющего самопересечений многогранника все не было и не было. Более того, в 1974 г. американский математик Г.Глак доказал, что в некотором смысле почти все многогранники неизгибаемы, и поэтому поиск изгибаемого многогранника без самопересечений считался почти безнадежным. Тем не менее в 1977 г. американский математик Р.Коннелли сумел построить такой многогранник — весьма сложную конструкцию с 18 вершинами. Коннэлли назвал такие многогранники флексорами(1).

Вскоре после Коннелли немецкий математик Клаус Штеффен предложил еще один многогранник, всего с 9 вершинами, который до сих пор остается самым простым примером вложенного изгибаемого многогранника. Отметим, что примеру Штефена уже более 20 лет, но вопрос о существовании изгибаемого многогранника без самопересечений с меньшим (чем девять) числом вершин пока остается открытым.

Почти сразу же после построения изгибаемых многогранников обнаружилось, что все они обладают удивительным свойством: в ходе изгибания их объем остается неизменным. Неизвестно, кто заметил это свойство первым. В августе 1978 г. на Международном математическом конгрессе в Хельсинки Коннелли высказал гипотезу о том, что оно является общим для всех изгибаемых многогранников. Не было никакой уверенности в справедливости гипотезы. По-видимому, многие склонялись к мысли, что она неверна, и искали контрпримеры. При этом были и курьезные случаи. Рассказывают, что на Западе на одной из научных выставок как опровержение этой гипотезы демонстрировали модель "изгибаемого" многогранника, из которой при ее деформации со свистом выходил воздух, так что на ней можно было играть, как на волынке. Но позже выяснилось, что в математическом смысле модель неизгибаема, а ее "изгибания" — следствие растяжения материала.

2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Многогранной поверхностью в пространстве называется поверхность, составленная из конечного числа многоугольников. Эти многоугольники являются гранями многогранной поверхности, а стороны граней — ее ребрами.

Две фигуры (в частности два многогранника) называют конгруэнтными, если они эквивалентны друг другу, то есть совпадают при наложении.

Если у многогранника есть ребро, принадлежащее всего одной грани, то это – многогранник с краем. Если же каждое ребро принадлежит двум граням, многогранник называют замкнутый. У замкнутого многогранника края нет.

Многогранные поверхности с самопересечениями - это такие поверхности, у которых грани могут иметь общие точки, не являющиеся вершинами данной многогранной поверхности и не принадлежащие ее ребрам.

Многогранную поверхность называют выпуклой, если плоскость, проходящую через любую ее грань, оставляет остальные ее грани по одну сторону.

Многогранная поверхность называется изгибаемой, если непрерывным изменением двугранных углов при ее ребрах можно изменить пространственную форму поверхности. Поэтому незамкнутая многогранная поверхность, составленная из двух треугольников, соединенных вдоль одного ребра, является изгибаемой.

Изгибанием многогранника называется такая непрерывная его деформация, при которой изменяется хотя бы один из двугранных углов при ребрах, но грани остаются конгруэнтными (равными) исходным. Иначе говоря, в теории изгибаний грани многогранника рассматриваются как абсолютно твердые пластинки, способные вращаться вокруг ребер и вершин. На "инженерном" языке это означает, что вдоль ребер грани имеют шарнирные связи, а вершины многогранника считаются сферическими шарнирами. Если многогранник допускает деформацию такого вида, он называется изгибаемым, в противном случае — неизгибаемым. Движения многогранника в пространстве как твёрдого тела не являются его изгибаниями, так как при таком движении ни один двугранный угол не изменяется. Поэтому такие движения иногда называют тривиальными изгибаниями, а те деформации, о которых шла речь в определении изгибаний, называют нетривиальными изгибаниями. Очевидно, требование изменения в ходе нетривиального изгибания хотя бы одного двугранного угла можно заменить требованием изменения хотя бы одной диагонали многогранника.

Возможность простого перемещения многогранника в пространстве как твёрдого тела, т. е. без изменения его двугранных углов, используется для фиксации положения каких-либо «элементов» многогранника в ходе его изгибания. Делается это так: к деформации нетривиального изгибания многогранника добавляют движение, подобранное так, чтобы рассматриваемый элемент вернулся в исходное положение. Пусть, например, требуется, чтобы данная треугольная грань ABC была неподвижна. Если после деформации изгибания грань «ушла» из своего исходного положения, то сначала параллельным переносом вернём, скажем, точку A из нового в старое её положение, затем вращением вокруг точки A приведём в совпадение с прежними положениями вершины B и C.

Простейший пример изгибания многогранника — открытие или закрытие книги с твердой обложкой (многогранник может иметь край). Примеры посложнее: трёхгранный угол неизгибаем, а n-гранный угол при п>3 изгибаем. Если многогранник ещё сложнее, а особенно если он замкнутый, т. е. не имеет края, исследование его изгибаемости — сложная задача, так как изгибания всех многогранных углов должны быть согласованы между собой.

Октаэдр – правильный многогранник, который представляет собой четырехугольную бипирамиду. Октаэдр имеет 12 ребер, 6 вершин и 8 граней.

Октаэдр Брикара – это изгибаемый октаэдр, имеющий самопересечения

Флексором называется изгибаемая многогранная поверхность. Наименьшее число вершин среди всех замкнутых изгибаемых многогранных поверхностей без самопересечений имеет многогранная поверхность Штеффена. Другими словами, если замкнутая многогранная поверхность без самопересечений имеет менее девяти вершин, то она не является изгибаемой.

3. ИЗГИБАЕМЫЕМНОГОГРАННИКИКОННЕЛЛИ