Статистические методы изучения экономических явлений

Введение.

Статистические дисциплины играют важную роль в системе экономического образования. Для общеэкономических специальностей, статистика является основой для разработки и совершенствования методов экономического анализа. Сама же статистика - самостоятельная общественная наука, имеющая свой предмет и метод исследования. Понятие "статистика" происходит от латинского слова "status", которое в переводе, означает - положение, состояние, порядок явлений. Эта наука, изучающая положение дел в государстве. Главная её задача - это сбор цифровых данных, их обобщение и переработка. В зависимости от объекта изучения статистика как наука подразделяется на социальную, демографическую, экономическую, промышленную, торговую, банковскую, финансовую, медицинскую и т.д. Общие свойства статистических данных, независимо от их природы и методы их анализа рассматриваются математической статистикой и общей теорией статистики.

Под предметом статистики понимается количественная сторона массовых общественных явлений в постоянной связи с их содержанием или количественной стороной, а также количественное выражение закономерностей общественного развития в конкретных условиях места и времени. Одной из характерных особенностей статистики является то, что при изучении количественной стороны общественных явлений и процессов она всегда отображает качественные особенности исследуемых явлений, т.е. изучает количество в неразрывной связи, единстве с качеством (качество - это свойства, присущие предмету или явлению, которые отличают данный предмет или явление от других).

Предмет статистики исследуется при помощи определённых понятий, таких как: статистическая совокупность, единица совокупности, признак, статистический показатель, система статистических показателей.

Глава 1. Средние величины и показатели вариации

1.1.Средние величины

Средняя величина – это обобщающая количественная характеристика совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку.

Она отражает объективный уровень, достигнутый в процессе развития явления к определенному моменту или периоду.

Важнейшая особенность средней величины – в том, что она относится к единице изучаемой совокупности и через характеристику единицы характеризует всю совокупность в целом.

Основные свойства средней величины:

Она обладает устойчивостью, что позволяет выявлять закономерности развития явлений. Средняя облегчает сравнение двух совокупностей, обладающих различной численностью.

Она помогает характеризовать развитие уровня явления во времени.

Она помогает выявить и охарактеризовать связь между явлениями.

Средние позволяют исключить влияние индивидуальных значений признака, т.е. они являются абстрактными величинами. Поэтому средние должны употребляться на основе сгруппированных данных.

К расчету средней предъявляются два основных требования:

Среднюю нужно рассчитывать так, чтобы она погашала то, что мешает выявлению характерных черт и закономерностей в развитии явления, а не затушевывала развитие.

Средняя может быть вычислена только для однородной совокупности. Средняя, вычисленная для неоднородной совокупности, называется огульной.

Говоря о методологии исчисления средних, не надо забывать, что средняя всегда дает обобщенную характеристику лишь по одному признаку.

1.2. Виды средних величин.

Средние величины делятся на степенные и структурные.

А) К степенным относятся:

"Средняя арифметическая простая – применяется в случаях, когда известно значение всех показателей по единицам совокупности, при этом данные не сгруппированы. И рассчитывается она по формуле:

==,

где n – число единиц

"В случае, когда данные сгруппированы, имеется информация об индивидуальном значении признака и количестве единиц в каждой группе, используют формулу средней арифметической взвешенной

,

где - частота повторов,

n – индивидуальное значение признаков.

"Средняя гармоническая взвешенная– применяется в случаях, когда известны индивидуальное значение признака и общий объем явления, а частота повторов индивидуальных значений не задана.

,

где W – общий объём значения;

Х – индивидуальное значение признака.

"Средняя гармоническая простая – используют в ситуациях, когда общий размер явления одинаков для всех индивидуальных значений признака.

"Средняя хронологическая – применяется в случаях, когда индивидуальное значение признака приводятся на несколько равноценных дат, а рассматривать надо среднюю за период.

,

где n – число дат;

(n-1) – число периодов

"Средняя геометрическая – применяется в случаях, когда индивидуальное значение признака заданы темпами роста (индексами)

В) Структурные средние

К структурным средним относятся:

мода

медиана

квартиль

дециль

перцентиль

Основные из них – это мода и медиана

Мода

Это значение признака, которое встречается в ряду распределения чаще, чем другие его значения.

В дискретном ряду распределения значения моды определяются визуально. Если же ряд распределения задан как интервальный, то значение моды рассчитывается по следующей формуле:

,

Хо – начальная граница модального интервала,

i – величина модального интервала,

- частота модального интервала,

- частота интервала, предшествующего модальному,

- частота интервала, следующего за модальным.

Медиана

Это центральное значение признака, им обладает центральный член ранжированного ряда. Определение медианы в дискретном ряду производится следующим образом:

Если ряд содержит нечётное число вариантов: медиана – это центральное значение

Если ряд содержит чётное число вариантов: медиана определяется как среднее из двух центральных мест.

Для интервального ряда медиана рассчитывается по следующей формуле:

Хо – начальная граница медианного интервала,

i – величина медианного интервала,

- накопленные частоты ряда,

- накопленные частоты интервала, предшествующего медианному

1.2. Показатели вариации

Показатели вариации используются для характеристики и упорядочения статистических совокупностей.

Абсолютные показатели вариации

Для измерения размера вариации используются следующие абсолютные показатели: размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Размах – показывает, на сколько велико различие между максимальным и минимальным уровнем показателя в изучаемом ряду. Чем сильнее колеблемость, тем больше абсолютные размеры отклонений от средней.

R=Хmax –Xmin

Дисперсия- это средний квадрат отклонений фактических данных от среднего уровня по ряду

- для средней простой

- для средней взвешенной

Среднее линейное отклонение – отражает на сколько в среднем каждый показатель изучаемой совокупности варьирует по отношению к среднему уровню по ряду.

а) для средней простой

, где

- отдельные показатели,

- среднее по ряду

n – число показателей по ряду

б) Для средней взвешенной

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение – характеризует то же, что и линейное отклонение, но в практике встречается чаще.

а) для средней простой :

б) для средней взвешенной

Коэффициент вариации – отражает средний размер колебания признака в изучаемой совокупности. Измеряется в %.

Если V меньше 33,3, то средняя исчисленная по ряду – типична, и может быть использована для характеристики совокупности.

Коэффициент осцилляции.

Задание 1.

Выработка одноименных деталей за смену рабочими трёх цехов завода характеризуется следующими данными:

Вычислите среднюю выработку деталей на одного рабочего по трём цехам завода: а) январь; б) февраль. Полученные показатели сравнить.

Решение.

1.1Определяем средний товарооборот на один магазин по торговой фирме 1. Ориентируясь на характер исходных данных, применяем формулу средней арифметической взвешенной.

,

млн. руб.

1.2.Определяем средний товарооборот на один магазин по торговой фирме 2. Ориентируясь на характер исходных данных, применяем формулу средней гармонической взвешенной.

,

млн. руб.

1.3 Найдем относительную величину двух данных показателей.

ОВ = ,

ОВ = 35,25/36,91 *100=95%

Следовательно, средняя выработка деталей за январь составляет 95% по отношению к февралю. В феврале рентабельней производить детали, чем в январе на 5 %

Задание 2.

Определите средний процент выполнения заданного объема работ по погрузке на №-ском отделении железной дороги, показатели его вариации, моду и медиану

Решение.

Табл. 1. Исходные и расчетные данные для анализа продолжительности ремонта одного вагона.

2.1. Используя формулу средней гармонической взвешенной определяем среднюю объем погрузки.

,

ч

X*f *f

102*57,84=5900 /102-101,88/=0,12 0,12*57,84=6,94

105*68,57=7200 /105-101,88/=3,12 3,12*68,57=213,93

107*112,14=12000 /107-101,88/=5,12 5,12*112,14=574,15

98*51,02=5000 /98-101,88/=3,88 3,88*51,02=197,95

90*50=4500 /90-101,88/=11,88 11,8*50=594

*f

0,122=0,0144 0,0144*57,84=0,83

3,122=9,7344 9,7344*68,57=667,48

5,122=26,2144 26,2144*112,14=2939,68

3,882=15,0544 15,0544*51,02=768,07

11,882=141,1344 141,1344*50=7056,72

2.2. Находим среднее линейное отклонение. Для средней взвешенной расчёт строится по формуле:

,

2.3. Найдем размах вариации по формуле:

R=Хmax –Xmin,

R=107-90=17

2.4. Определим дисперсию для средней взвешенной по формуле:

,

,

2.5. Находим среднее квадратическое отклонение по формуле:

=

2.6. Определяем коэффициент вариации по формуле:

,

V=,

Глава 2. Ряды динамики.

Задачи статистики в области рядов динамики

определить объем и интенсивность развития явления при помощи измерения уравнения ряда и средних характеристик;

выявить тренд;

определить величину колеблемости уровней ряда вокруг тренда;

выявить и измерить сезонные колебания;

сравнить во времени развитие отдельных экономических показателей;

измерить связь между явлениями и процессами.

Понятие и виды рядов динамики

Ряд динамики – это ряд последовательно расположенных статистических показателей (в хронологическом порядке), изменение которых показывает ход развития изучаемого явления.

Ряд динамики состоит из двух элементов: момента (периода) времени и соответствующего ему статистического показателя, который называется уровнем ряда. Уровень ряда характеризует размер явления по состоянию на указанный в нем момент (период) времени. В связи со сказанным различают моментные и интервальные ряды динамики.

В зависимости от способов выражения уровней различают ряды динамики, заданные:

а) рядом абсолютных величин;

б) рядом относительных величин;

в) рядом средних величин.

Несопоставимость уровней рядов динамики

Уровни рядов динамики должны быть сопоставимы между собой. Для несопоставимых величин нельзя вести расчеты показателей рядов динамики.

Несопоставимость может быть:

по территории,

по кругу охватываемых объектов,

из-за разных единиц измерения,

из-за изменения уровня явления на различные даты,

из-за различного понимания единицы объекта,

по структуре.

Показатели изменения уровней ряда

Характеристика показателей изменения уровней ряда достигается путем сравнения уровней ряда между собой.

Здесь различаются базисный и текущий периоды и т.п.

Большой проблемой является выбор базы сравнения. Этот выбор должен быть обусловлен теоретически. База сравнения – это наиболее характерный период в развитии изучаемого социально-экономического явления.

1. Абсолютный прирост

Характеризует размер увеличения (уменьшения) уровней ряда за отдельный промежуток времени. Абсолютные приросты могут быть цепными или базисными.

Цепной: Ац = Уп-Уп-1 Базисный: Аб = Ул - Уо

2. Темп роста

Показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше или меньше базисного уровня. Представляет собой соотношение двух сравниваемых уровней. Цепной: Тр.цеп Базисный: Тр.баз =

Темпы роста выражаются либо в виде процентов, либо в виде коэффициентов. Если темп роста больше единицы (100%), то уровень ряда возрастает, если меньше – то убывает.

3. Темп прироста

Показывает, на какую долю (процент) уровень данного периода или момента времени больше или меньше базового уровня. Темп прироста может быть измерен и как отношение абсолютного прироста к базовому уровню.

Цепной: Пц = Трц – 100% Базисный: Пб=Трб-100%

4. Абсолютное значение одного процента прироста

Сравнение абсолютного прироста и темпа прироста за одни и те же промежутки времени показывает, что замедление прироста часто не сопровождается уменьшением абсолютных приростов. При замедлении темпов роста абсолютный прирост может увеличиваться, и наоборот.

Р =

Средние характеристики ряда динамики

Записанные характеристики ряда динамики относятся к каждому члену динамического ряда. Только базисные характеристики относятся ко всему периоду. Средние же характеристики полностью охватывают изменения за весь период, к которому относится динамический ряд.

1. Средний уровень ряда.

Показывает, какова средняя величина уровня, характерного для всего периода. Имеет смысл рассчитывать, когда величина изменения ряда более или менее стабильна.

Средний уровень ряда исчисляется по средней хронологической. Ее расчет для интервального и моментного ряда имеет свои особенности. Для интервального ряда, уровни которого можно суммировать, можно исчислять по средней арифметической простой.

Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями:

Для моментного ряда с неравноотстоящими интервалами:

2. Средний абсолютный прирост

Показывает скорость развития явления в изучаемом динамическом ряду. Он получается из абсолютных приростов как их средняя арифметическая. Может быть получен также как отношение абсолютного прироста за весь период к числу уровней без одного.

или

3. Средний темп роста

Изменение (рост) социально-экономических явлений происходит по правилу сложных процентов. Средняя геометрическая из годовых темпов роста равна:

или

4. Средний темп прироста

Отражает, на сколько % в среднем прирастают показатели по периодам

5. Среднее абсолютное значение 1% прироста

Выявление основной тенденции развития динамических рядов

Существует два подхода: механическое и аналитическое выравнивание.

Механическое выравнивание:

Выявление основной тенденции может быть осуществлено графически.

Способ укрупнения интервалов.

Метод скользящей средней.

Рассмотрим подробнее последний метод. Итак, смысл аналитического выравнивания методом скользящей средней состоит в том, что он позволяет сглаживать случайные колебания в уровнях развития явления во времени. Поэтому период охватываемой средней постоянно меняется.

Период осреднения как правило выбирается равным временному периоду, в течение которого начинается и заканчивается цикл развития какого-либо явления.

У этого метода есть ряд недостатков:

в зависимости от периода осреднения мы теряем 1, 2, 3 и более уровней ряда;

подсчитанные нами показатели не относятся ни к какому конкретному периоду времени.

Из-за этого не представляется возможным осуществлять прогнозирование развития изучаемых явлений.

Скользящая средняя может быть рассчитана и как взвешенная.

Методы аналитического выравнивания

Это наиболее эффективные методы выравнивания. Имеют конечный вид функции времени (уравнения времени). Возможно выравнивание по прямой, по гиперболе, по параболе 2-го или 3-го порядка.

Задача состоит в том, чтобы подобрать для конкретного ряда динамики такую логарифмическую кривую, которая бы наиболее точно отображала черты фактической динамики. Решение этой задачи часто связано с методом наименьших квадратов, т.к. наилучшим считается такое приближение выровненных данных к эмпирическим, при которых сумма квадратов их отклонений является минимальной. Система уравнений упрощается, если перенести начало отсчета в середину рассматриваемого периода.

Прогнозирование и интерполяция

Прогнозирование (экстраполяция) – это определение будущих размеров экономического явления.

Интерполяция – это определение недостающих показателей уровней ряда.

Наиболее простым методом прогнозирования является расчет средних характеристик роста (средний абсолютный прирост, средний темп роста и т.д.) и перенесение их на будущие даты. Прогнозирование на основе аналитического выравнивания является наиболее распространенным методом.

Задание 3.

По данным таблицы 2.1. вычислите:

Основные аналитические показатели ряда динамики (по цепной и базисной схемам):

Абсолютный прирост;

Темпы роста;

Темпы прироста;

Абсолютное значение 1 % прироста;

Средние показатели ряда динамики:

Средний уровень ряда динамики;

Среднегодовой темп роста;

Среднегодовой темп прироста.

По данным таблицы 2.2. вычислите индекс сезонности и изобразите графически сезонную волну.

Результата расчета аналитических показателей ряда динамики представить в таблице, форма которой приводится ниже (табл. 2.3)

Табл. 2.1. Основные показатели

Таблица 2.2. Товарооборот магазина, тыс. руб

Решение.

а) Табл. 2.3. Основные аналитические показатели ряда динамики.

Найдем абсолютный прирост:

Цепной: Ац = Уп-Уп-1 Базисный: Аб = Ул - Уо

Ац1 = 950,0-790,2=159,8 Аб1 = 950,0-790,2=159,8

Ац 2= 1051-950,0=101 Аб2 = 1051-790,2=260,8

Ац3 = 1582,0-1051,0=531 Аб3 = 1582,0-790,2=791,8

Ац4 = 2025,0-1582,0=443 Аб4 = 2025,0-790,2=1234,8

Ац5 = 2367,0-2025,0=342 Аб5 = 2367,0-790,2=1576,8

Найдем темпы роста:

Цепной: Тр.цеп Базисный: Тр.баз =

Тр.цеп1 = 120,2% Тр.баз1= = 120,2%

Тр.цеп2 = 110,6% Тр.баз2 = = 133%

Тр.цеп3 = 150,5% Тр.баз 3= = 200,2%

Тр.цеп4 = 128% Тр.баз4 = = 256,2%

Тр.цеп5 = 116,8% Тр.баз5 = = 299,5%

Темпы прироста для цепного и базисного способа расчета определяются по формулам:

Цепной: Пц = Трц – 100% Базисный: Пб = Трб - 100%

Пц1 = 120,2-100= 20,2 % Пб1 = 120,2 – 100 = 20,2 %

Пц2 = 110,6– 100 = 10,6 % Пб2 = 133 – 100 = 33 %

Пц3 = 150,5 – 100 = 50,5 % Пб3 = 200,2 – 100 = 100,2 %

Пц4 = 128 – 100 = 28 % Пб4 = 256,2 – 100 = 156,2 %

Пц5 = 116,8– 100 = 16,8 % Пб5 = 299,5 – 100 = 199,5 %

Найдем абсолютное значение 1% прироста по формуле:

Р =

Р = = 7,9

Р = = 9,5

Р = = 10,5

Р = = 15,8

Р = = 20,3

1.2. Средние показатели ряда динамики.

Найдем средний уровень ряда динамики по формуле средней арифметической простой.

где п – число периодов.

Найдем средний абсолютный прирост по формулам:

Таким образом, денежный доход населения в среднем за каждый год увеличивается на 315,36

Определим средние темпы роста по формулам:

124,8

124,5

Средние темпы прироста находим по формуле:

П = 124,8-100 = 24,8

Значит, денежные доходы населения в среднем ежегодно увеличивается на 24,8%

Определим среднее абсолютное значение 1% прироста

Р=

2) Определим индекс сезонности по формуле:

Найдем средний уровень ряда по формуле: