Ряды
Фун 2 числовых аргументов.
Пусть имеется Е (х1;у1) – элементы принадлеж точке Е
Сущ закон или правило по которому каж точке (xi;yi) ставится в соот-е число Wi или любой точке (xi;yi) или паре чисел ставится в соот-е zi след-но zi=F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).
Если рассмот-ть точку (хi;уi) и нашли соот-е значения zi=F(хi;уi).
Пусть точка (х0;у0)ÎЕ дельта окрест-ю точки (х0;у0) наз множество точек (х;у) удовлетвор-х нерав-у
Ö((х-х0)+(y-y0)) Точка (х0;у0) наз внутренней точкой множества Е, если сущ-ет некоторая окрест этой точки, которая вместе с точкой Î этому множеству. Точка (х0;у0) наз граничной точкой множ-ва Е, если в любой ее окрест-и сущ точка кроме самой этой точки, которая Î множ Е. Совокупность всех граничных точек множ-а Е наз границей множ-а Е. Множ-во, все точки которого внутренние, наз открытыми, т.е. безграничным. Точка (х0;у0)Î множ-ву Е наз изолированной точкой, если сущ-ет окрест этой точки в которой кроме этой точки нет ни одной точки из множества Е. Фун 2 переменных. Опр: Если каж паре (х;у) значений 2, не завис др от друга, переменных величин х и у, из некоторой обл их знач-я D, соот-ет опр-е знач-е величины z, то мы говорим, что z есть фун 2 независимых пременных х и у, определ-ся в обл D. Геом. Смысл: Геометрическое место точек Р, коор-ты которых удовлет-т ур-ю z=f(х;у), где коор-ы точки Р х и у, z=f(х;у), наз графиком фун 2 переменных. Графиком фун 2 переменных яв-ся поверхность, проектирующая на плоскость Оху в обл опред-я фун. Каж перпендик-р к плоскости Оху пересекает поверхность z=f(х;у) не более чем в одной точке. Фун z=f(х;у) опред-ся в обл G.
| y |
| P |
| x |
Обл опред-я фун 2 переменных – это совокупность пар (х;у) значений х и у при котором определяется фун-я z=f(х;у).
Совокупность точек на плоскости также наз-ся обл определения.
Предел фун 2 переменных.
Опр: Число А наз пределом фун z=f(х;у)при х®х0, у®у0, М(х;у)®М0. limх®х0 (у®у0)f(х;у)=A
Если для любого e>0 сущ-ет d окрест-ть точки (х0;у0) такая, что при всех (х;у)Îd окрест-ти будет выполн нерав-во Ö((х-х0)2+(y-y0)2) Основные теоремы о пределах: 1)lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥) Док-во: lim Xn=a => Xn=a+an; lim Yn=b => Yn=b+bn; Xn ± Yn = (a + an) ± (b + bn) = (a ± b) + (a n± bn) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥). 2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥). 3)lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn = (lim Xn)/(lim Yn) = a/b. Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+an)/(b+bn) – a/b = (ab+anb–ab–abn)/b(b+bn) =(ban-abn)/b(b+bn)=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥). Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной. Непрерывность фун в точке. Опр: Пусть точка М0(х0;у0) Î обл опр-я фун-и f(х;у). Фун-я z=f(х;у) наз непрерывной в точке М0(х0;у0), если имеет место равенство limх®х0(у®у0)f(х;у)=f(х0;у0) или limDх®0(Dу®0)f(х0+Dх;у0+Dу)= f(х0;у0), где х=х0+Dх и у=у0+Dу, причем точка М(х;у) стремиться к точке М0(х0;у0) произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и. Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех сторон; 3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех сторон =f(x0;у0). Если (х0;у0) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х0;у0)–1 род. Если (х0;у0)–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый. Если (х0;у0) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х0;у0) – 2 рода. Св-ва непрерывности в точке: 1)Если фун f1(х;у) и f2(х;у) непрерывны в точке (х0;у0), то сумма (разность) f(х;у)=f1(х;у)±f2(х;у), произведение f(х;у)=f1(х;у)*f2(х;у), а также отношение этих функций f(х;у)=f1(х;у)/f2(х;у), есть непрер-я фун в точке х0;у0. Док-во (суммы): По определению получаем, что limх®х0(у®у0)f1(х;у)=f1(х0;у0), limх®х0(у®у0)f2(х;у)=f2(х0;у0) на основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥), можем написать: limх®х0(у®у0)f(х;у)=limх®х0(у®у0)(f1(х;у)+f2(х;у))= =limх®х0(у®у0)f1(х;у)+limх®х0(у®у0)f2(х;у)= =f1(х0;у0)+f2(х0;у0)=f(х0;у0). Итак сумма есть непрерывная функция.· 2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена. 3) Если фун z=j(m) непрерывна в точке m=х0;у0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=j(х0;у0), то фун y=f(j(х;у)) непрер-а в точке (х0;у0). Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале. Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x;у) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в). Точки разрыва. Если в некоторой точке N(х0;у0) не выполняется условие limх®х0(у®у0)f(х;у)= f(х0;у0), то точка N(х0;у0) наз точкой разрыва фун z=f(х;у). Условие limDх®0(Dу®0)f(х0+Dх;у0+Dу)=f(х0;у0) может не выпол-ся в след-х случаях: 1)z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0), за исключением самой точки N(х0;у0); 2)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0), но не сущ-ет предела limх®х0(у®у0)f(х;у); 3)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0) и сущ-ет предел limх®х0(у®у0)f(х;у), но limх®х0(у®у0)f(х;у)¹f(х0;у0). Классификация точек разрыва: Если (х0;у0) точка разрыва и сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х0;у0) – 1 род. Если (х0;у0) – 1 род, сущ-ют конечные пределы со всех сторон и эти пределы равны между собой, то разрыв устранимый. Если (х0;у0) точка разрыва и не сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х0;у0) – 2 рода. Непрерывность фун нескольких (или 2) переменных в замкнутой области. Опр: Фун-я, непрерывная в каж точке некоторой замкнутой области, наз непрерывной в этой замкнутой области. Св-ва: 1)Если фун f(x;y…) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в обл D найдется по крайней мере одна точка N(х0;у0…) такая, что для всех др точек обл будет выплн-ся соот-е f(х0;у0…)³f(х;у) и по крайней мере одна точка `N(`х0;`у0…) такая, что для всех др точек обл будет выпол соот-е f(`х0;`у0…)£f(х;у…). Фориулируется так: Непрерывная фун в замкнутой огранич обл D достигает по крайней мере один раз наиболь значения М и наимень значения m. 2)Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой и ограниченной обл D и если M и m – наиб и наим значения фун f(x;y…) в обл, то для любого числа m, удовл усл m Частное приращ-е, произв-ные, диф-лы фун-и. Пусть имеем функцию z=f(х;у). Дадим независимой переменной х приращение ∆х, тогда z получит приращение, кот. наз. частным приращением z по x. ∆xz=f(x+∆x,y)-f(x,y) Аналогично частное приращение по y ∆yz=f(x,y+∆y)-f(x,y). Частные производные. Опр: Частной производной по x от функции z=f(x,y) наз. предел отношения частного приращения ∆xz к приращ-ю ∆x при ∆x®0. ∂z/∂x=lim(∆x®0)∆xz/∆x=lim(∆x®0)(f(x+∆x,y)-f(x,y))/∆x. Аналогично частная производная по y. ∂z/∂y=lim(∆y®0) ∆yz/∆y=lim(∆y®0)(f(x,y+∆y)-f(x,y))/∆y. Част диф-л фун: dxz(x;y)=((¶z/¶x)*Dx) и dуz(x;y)=((¶z/¶у)*Dу). Полное приращ-е, полный диф-л. Диф-ть фун. Пусть имеем функцию z=f(х;у). Сообщив аргументу x приращение ∆x, а аргументу y приращение ∆y, получим для z новое приращение ∆z , кот наз. полным приращением. ∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y). Полный дифференциал: Если фун z=f(x;y) имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она диф-ма в этой точке и имеет полный диф-л dz=(∂f/∂x)*∆x+(∂f/∂y)*∆y. Дифференцируемость ф-и: Ф-я z=f(x,y) наз. дифференцируемой в т. (x0,y0), если её полное приращение ∆z можно представить в виде суммы 2 слагаемых ∆z=(A*∆x+B*∆y)+0(r), где r=Ö(∆x2+∆y2), т.е. lim(Dх®0,Dу®0,r®0)0(r)/r=0 бесконечная величина более высокого порядка малости, чем r. (A*∆x+B*∆y) линейное относительно ∆x ,∆y. Полный диф-л в приближенных вычислениях: f(x+∆x0,y+∆y)»f(x,y)+(¶f(x,y)/¶x)*Dx+(¶f(x,y)/¶y)*Dy. Необходимое усл диф-ти: Если z=f(x,y) диффер-ема в т.(x0,y0), то сущ. конечные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y) при x=x0, y=y0. A=∂z(х0;у0)/∂x; B=∂z(х0;у0)/∂y. Достаточное усл диф-ти: Если функция z=f(x,y) в т.(x0,y0) и в нек. окресности непрерывна и имеет непрерывные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y), то ф-ия диф-ма. Производные высших порядков. ∂z/∂x=φ(x,y); ∂z/∂y=φ(x,y); Вторая производная: ∂φ/∂x=∂2z/∂x2;z``xx здесь фун диф-я посл-но 2раза по х; ∂φ/∂y=∂z/∂x∂y;z``xy;∂φ/∂x=∂z/∂y∂x;z``yx; ∂φ/∂y=∂2z/∂y2;z``yy; Третья производная: ∂3z/∂x3; ∂3z/∂x2∂y; ∂3z/∂x∂y¶х; ∂3z/∂y∂x2; ∂3z/∂y∂x∂y; ∂3z/∂y2∂x; ∂3z/∂y3. Производная сложной ф-ии. z=f(u,v)=F(x;y), u=j(х;у) и v=y(х;у). Если ф-ия f диф-ма по u и v, а u и v диф-ы по x и y, то выполняется след равенство ¶z/¶x=(∂z/∂u)(¶u/¶x)+(∂z/∂v)(¶v/¶x); ¶z/¶y=(∂z/∂u)(¶u/¶y)+(∂z/∂v)(¶v/¶y). z=f(x;u;v)=F(x) Полная производная по х: dz/dx=¶z/¶x+(∂z/∂u)(du/dx)+(∂z/∂v)(dv/dx); Полная производная по у: dz/dу=¶z/¶у+(∂z/∂u)(du/dу)+(∂z/∂v)(dv/dу); Экстремумы фун 2 переменных. Ф-ия z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0(x0,y0), если f(x0,y0)> f(x,y) {f(x0,y0) Определение max и min при предположении, что х=х0+Dх и у=у0+Dу, тогда f(x;y)-f(x0;y0)=f(х0+Dх;у0+Dу)-f(x0;y0)=Df. 1)Если Df<0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает max в точке М0(х0;у0); 2)Если Df>0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке М0(х0;у0); Необходимое усл экстремум: Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при x=x0, y=y0, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ. Док-во: Действительно, дадим переменному y определённое значение, а именно y=y0. Тогда ф-ия f(x,y0) будет функцией одного переменного x. Т.к. при x=x0 она имеет экстремум, то следовательно (∂z/∂x) при x=x0,y=y0 или равно нулю или не сущ. Аналогично доказ, что (∂z/∂у) при x=x0, y=y0 или равно нулю или не сущ. Достаточное усл экстемум: Пусть в нек. Области, содержащей т.M(x0,y0), функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, пусть, кроме того т.M(x0,y0) является критической точкой функции f(x,y) т.е. ∂f(x0,y0)/∂x=0, ∂f(x0,y0)/∂y=0. Тогда при x=x0, y=y0: 1)f(x,y) имеет максимум, если ∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2>0 и ∂2f(x0,y0)/¶x2<0 2)f(x,y) имеет максимум, если ∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2>0 и ∂2f(x0,y0)/¶x2>0 3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин. ∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2 f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2<0 4)Если ∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2=0, то экстремум может быть, а может и не быть. Неявнозаданная функция и нахождение ее производной. Задана фун F(x,y,z)=0 наз заданная неявно, если существует z=j (x,y) в некоторой области D что при подстановке получаем тождественно нуль. F(x,y,z)º0. Продифф. по x: F(x,y,z)º0, F¢x=0, ¶F/¶x+(¶F/¶z)*(¶z/¶x) ¶z/¶x=--((¶F/¶x)/(¶F/¶z)); Продифф. аналогично по у ¶z/¶y=--((¶F/¶y)/(¶F/¶z)) Двойной интеграл. Рассмотрим в плоскости ОХУ замкнутую область D ограниченную линией L. Пусть в области D задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем D на n частей(DS1,DS2,DS3…DSn). На каждой площадке возьмем по точке Pi (P1,P2,P3…Pn). f(Pi) – значение функции в заданной точке. Возмем сумму произведений вида: f(Pi)DSi. Vn=nåi=1f(Pi)DSi – это интегральная сумма для функции f(x,y) по обл D. Теорема: Если сущ-ет фун z=f(x;y) непрерывна в заданной обл `D, то сущ-ет предел limmax di®0nåi=1f(Pi)DSi т.е. сущ-ет двойной интеграл для данной фун по данной области. limmax di®0nåi=1f(Pi)DSi=óóD f(x;y)dxdy=(или)= =óóD f(x;y)dS/¶ Св-ва: 1)óóD(f1(x,y)+f2(x,y))dxdy=óóDf1(x,y)dxdy+óóDf2(x,y)dxdy 2) ó óDa f(x,y)dxdy=aó óD f(x,y)dxdy. 3) Если область D=D1ÈD2, то ó óDf(x,y)=ó óD1f(x,y))+ó óD2f(x,y). Док-во: Инегральную сумму по обл D можно представить в виде D1 и D2. ó óDf(Pi)DSi=ó óD1f(Pi)DSi +ó óD2f(Pi)DSi , где превая сумма содержит слагаемые, соот-е площади обл D1, вторая – соот-е площадкам обл D2. В самом деле, т.к. двойной интеграл не зависит от способа разбиения, то мы производим разбиение области D так, что общая граница областей D1 и D2 яв-ся границей площадок DSi. Переходя в равенство ó óDf(Pi)DSi=ó óD1f(Pi)DSi +ó óD2f(Pi)DSi к пределу при DSi®0, получаем равенство ó óDf(x,y)=ó óD1f(x,y))+ó óD2f(x,y).· 4) Если фун f(x,y)=1, то ó óD1dxdy=SD 5) Если фун в данной области f(x,y)³(£)0, то интегр от этой фун отриц (полож) не может быть ó óD f(x,y)dxdy³(£)0 6) Если f1(x,y)³f2(x,y), то óóDf1(x,y)dxdy³óóDf2(x,y)dxdy 7)Теорема о среднем: Двукратный интеграл ID от f(x,y) по области D с площадью S равен произведению площади S на значение функции в некоторой точке P области D. вó а ( j2(x)ó j1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S. Док-во: Из соот-я mS£вóа(j2(x)ój1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S£MS получаем mS£1/S*ID£MS. Число 1/S*ID заключено между наиболь и наимень знач f(x,y) в области D. В силу непрерывности фун f(x,y) принимает в некоторой точке P обл D принимает значение равное 1/S*ID . Двукратный интеграл Пусть дана область D такая, что любая прямая параллельная одной из осей пересекает эту область в двух точках. Пусть область D ограничена линиями y=f1(x), y=f2(x), y=a, y=b (a Рассмотрим ID=вóаf2(x)óf1(x)f(x,y)dydx=вóаФ(х)dx -это двукратный интеграл. Вычисление двойного интеграла есть вычисление двукратного интеграла. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах: óóDf(x,y)dxdy=½x=pcosj, y=psinj , I=p½= =óóDf(pcosj;psinj)pdpdj= =j2ój1 dj p2(j)óp1(j)(pcosj ;psinj)pdp. Геометрическое приложение двойного интеграла. Площадь плоской поверхности. óóD f(x,y)dxdy=SD 2) Объем цилиндроидов. z=f(x,y)>0. По определению область D разбивается на элементарные кусочки DDi; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую DDi и найти значение функции в этой точке. DVi=f(xi,yi)*DSi. Сумма DVi=nåi=1f(xi,yi)*DSi – это объем фигуры состоящей из элементарных параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D. limmax di®0nåi=1f(xi,yi)*DSi=VТ если этот предел сущ-ет, то это V тела (цилиндройда).óó f(x,y)dxdy=Vцил Площадь поверхности. Sпов.= óó(Ö1+(dz/dx)2+(dz/dy)2dxdy). Диф-е ур-я (осн понятия). Общий вид диф ур F(x;y;y’;у”…уn)=0. Наивысший порядок производ-й в ур-и F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз порядковым ур-ем. Решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз любая фун вида у=j(х), которая будучи подставленная в F(x;y;y’;у”…уn)=0 вместе со своими произ-ми обращает в тождество. F(x;j(х);j(х)’;j(х)”… j(х)n)=0. Фун вида у=j(х;С1;С2;…Сn) наз общим решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0, если выполняется: 1) эта фун-я яв-ся решением при любых С1;С2;…Сn; 2) для любых начальных усл х0, у0, у’0, уn0 можно найти конкретную совокупность С1 0;С2 0;С3 0;…Сn 0 при которых фун у=j(х;С1 0;С2 0;С3 0;…Сn 0), что эта фун будет удвл начальному условиям. Соот-е вида j(х;С1;С2;С3;…Сn)=0 полученная при решении ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз общим интегралом ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 (т.е. решение ур находиться в неявной форме). Дифф. ур. 1-го порядка Общий вид F(x;y;y’)=0 Решением данного ур. наз. любая фун.=j(x), кот. обращает ур. в тождество. Опр-е: Фун. y=j(x;C) наз-ся общим решением, если она удов.:1)данная фун. яв-ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти такое C0, что фун. y= j(x,C0) удов. начальным усл-ям. Рав-во вида Ф(x;y;C)=0, неявно задающее общее реш-е, наз-ся общим интегралом дифф. ур-я. Опр: Частным реш-м наз-ся любая фун. y=j(x;C0), кот. получается из общего реш. y=j(x;C), если в последнем произ. постоянному С придать опред. значение С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз-ся в этом случае частным интегралом ур. Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка: 1). Ур-е с разделенными переменными f1(x)y’=f2(y) f1(x)dy=f2(y)dx, dy/f2(y)=dx/f1(x), ∫dy/f2(y)=∫dx/f1(x) 2).Ур-е с разделяющимися переменными f(x;y)y’+j(x;y)=0, f1(x)f2(y)dy+j1(x)j2(y)dx=0 все разделим на j2(y)*f1(x) {f2(y)/j2(y)}dy+{j1(x)/f1(x)}dx=0 ∫{f2(y)/j2(y)}dy+∫{j1(x)/f1(x)}dx=C – общий интеграл 3).Линейные диффер. ур. y’+p(x;y)=Q(x) – общий вид, Если Q(x)º0, то линейное уравнение y’+p(x;y)=0. Методы решений: 1) Метод вариации постоянной; 2)Решение этого ур будем искать как y=U(x)V(x) (диффер-ем) dy/dx=UdV/dx+VdU/dx (подставим) UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q U(dV/dx+PV)+VdU/dx=Q, dV/dx+PV=0, dV/V=-Pdx lnC1+lnV=-∫Pdx V= C1e–∫Pdx и подставляем в UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q V(x)= e–∫Pdx, где ∫Pdx - какая-нибудь первообразная V(x)dU/dx=Q(x), dU/dx=Q(x)/V(x), U=∫Q(x)/V(x)dx+C, y=V(x) ∫ Q(x)/V(x)dx+CV(x) Уравнения приводящиеся к линейным(Бернулли) y’+P(x)y=Q(x)yn, P(x) и Q(x) – непрерывные фун. от x (или пост.) n¹0,1. Это ур-е наз ур Бернулли, приводится к линейному следующим преобразованием. Разделим на yn с наибольшим значением n, получим (y–n)y’+P(y–n+1)=Q, Сделаем далее замену z=(y–n+1), тогда dz/dx=(-n+1)(y-n)y’. Подставляя эти значения в ур-е (y–n)y’+P(y–n+1)=Q, будем иметь линейное ур-е dz/dx=(1-n)Pz=(1-n)Q Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение (y–n+1), получим общий инт. ур.Бернулли Однородные ур-я Ур-е вида y’=f(x;y) наз-ся однор.ур-ем, если фун. f(x;y) –однородная нулевого измерения или порядок однородности равен 0, т.е. f(tx;ty)=(t0)f(x;y). Фун. f(x;y) наз-ся однор.ур-ем k-го порядка однородности, если вып. усл. f(tx;ty)=(tk)f(x;y); f(tx;ty)=(t0)f(x;y), где k=0; f(tx;ty)=f(x;y), где t=1/x; f((1/x)*x;(1/y)*x))=f(1;y/x), обозначим y/x=U(x) след-но y=U(x)x, y’=U’x+U подставим в исходное ур-е U’x+U=f(1;U), U’x+U=j(U) (dU/dx)*x=j(U)-U, dx/x=dU/(j(U)-U), ln|x|=(∫dU/(j(U)-U)) + C Þ вместо U подст. y/x и получим общий инт. Замеч. Однор.ур. может выгл. так M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 если обе фун. M(x;y) и N(x;y) однородные k-го порядка. Дифф. ур. 2-го порядка Общий вид дифф. ур.2-го порядка F(x;y;y’;y’’)=0. Решением урав. наз. любая фун.y=j(x), кот. обращает это ур. в тождество F(x;j(x);j’(x);j’’(x))=0 j(x0;С10;С20)=y0 , j’(x0; С10;С20)=y0’ Линейные дифф. ур-я 2-го порядка Общий вид линейн. диф. ур. 2-го порядка y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x). (1) Если f(x)=0 следовательно y’’+P(x)y’+q(x)y=0 (2) – линейное однородное урав. Структура реш. лин. одн.ур.2-го пор. 1)Если 2 реш. ур (2) y1(x) и y2 (x) – линейно-независ, т.е. нельзя одну вырозить через др, т.е. y1(x)/y2(x)¹const, то общим решением ур (2) y=C1y1+C2y2 2) Если известно одно реш. y1, то др. найдем по форм. y2= y1∫((e–∫P(x)dx))/(y12)dx. Общее реш. y=C1y1+C2y2 3) y1 находим подбором. Структура общего реш. неоднородного ур. 1)Общее реш.y(x)=y(-)+y*, где y(-)=C1y1+C2y2 общее реш.(2), y*- нек. частное реш. самого ур. 2)Метод вариации произ. постоянной y*= C1(x)y1+C2(x)y2 3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд. сист. ур-ий. 0 y2 C1’(x)y1’+ C2’(x) y2’=f(x) y1 y2 y1’ y2’ Þ C1(x)=∫(--)/(--)dx y1 0 C2’(x)= y1’ f(x) Þ C2(x)=∫(--)/(--)dx y1 y2 y1’ y2’ Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью. Рассмотрим случай: y’’+py’+qy=f(x), p,q – числа. y=c1y1+c2y2+y*, где y1, y2 – два лин-но незав. реш. (1) y’’+ py’+qy=0 – лин. однород дифф. ур-ие 2ого порядка. y=ekx k2+pk+q=0 – характерист. ур-ие ур-ия (1). Рассмотрим 3 случия: 1. D>0, k1,2=(-p±Ö(p2-4q))/2, k1¹k2 y1=ek1x, y2=ek2x. Т.к. y1/y2¹const, то y=c1 ek1x+c2 ek2x. 2. D=0 k1,2=-p/2 y1=e-px/2, y2=y1∫(e--∫pdx)/y12dx=e-px/2, y=e-px/2(c1+c2x). 3.Когда корни комплексные, т.е. D<0, k1,2=a±bi, y1=eaxCosbx, y2=eaxSinbx, y1/y2¹const, y=eax(c1Cosbx+c2Sinbx) Неоднородные ур-ия со спец. правой частью. 1. f(x)=Pn(x)eax 1) a - не явл-ся корнем хар. ур-ия y*=(A0xn+A1xn-1 ++...+An)=Qn(x)eax. a - однократный корень y*=xQn(x)eax. 3) a - двукрат. корень y*=x2Qn(x)eax. 2. f(x)=p(x)eaxCosbx+q(x)eaxSinbx 1) a+bi – не корень y*=U(x)eaxCosbx+V(x)eaxSinbx. 2) a+bi – корень y*=x(U(x)eaxCosbx+V(x)eaxSinbx). 3. f(x)=MCosbx+NSinbx 1)bi – не корень, y*=ACosbx+BSinbx. 2)bi – корень, y*=x(ACosbx+BSinbx). РЯДЫ Числовые ряды. Основные определения. Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U1, U2...Un,... Выражение U1+U2+...+Un+... наз-ся числовым рядом, U1, U2...Un – члены ряда. Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся n-ой частичной суммой ряда: Sn= U1+U2+...+Un. Если сущ-ет конечный предел limn®¥Sn=S, то этот предел наз суммой ряда. Если предел limn®¥Sn равен ¥ или не сущ-ет, то говорят , что ряд расходится. Если сущ-ет предел limn®¥Sn, то ряд сходится. Некоторые очевидные свойства числовых рядов: 1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Док-во: Sn – сумма n первых членов ряда, Ck – сумма k отброшенных членов, Dn-k – сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck. Тогда имеем: Sn=Ck+Dn-k, где Ck – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения следует, что если сущ-ет limDn-k, то сущ-ет и limSn; если сущ-ет lim Sn, то сущ-ет limDn-k, а это доказ-ет справедливость теоремы. 2)Теорема 2. Если ряд a1+a2+...(1) сходится, и его сумма равна S, то ряд ca1+ca2+...(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS. Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через Sn, а ряда (2) – через Dn. Тогда Dn=ca1+...+can=c(a1+...+an)=cSn. Отсюда ясно, что передел n-ой частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к. lim Dn=lim(cSn)=climSn=cS. ч.т.д. 3)Теорема 3. Если ряды a1+a2+...(5) и b1+b2+...(6) сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1и S2, то ряды (a1+b1)+(a2+b2)+...(7) и (a1–b1)+(a2–b2)+...(8) также сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1+S2 и S1–S2. Док-во: док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную сумму через Dn, а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через S1n и S2n, получим: Dn=(a1+b1)+...+(an+bn)=(a1+...+an)+(b1+...+bn)=S1n+S2n. Переходя к в этом равенстве к пределу при n®¥:, получим limDn=lim(S1n+S2n)= limS1n+limS2n=S1n+S2n. Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S1n+S2n. 4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limUn=0 n®¥. Док-во: пусть ряд U1+U2+...+Un+... сходится, т.е. limSn=S n®¥, тогда имеет место равенство limSn-1=S. limSn–limSn-1=0, lim(Sn–Sn-1)=0. Но Sn–Sn-1=Un следов-но lim Un=0 ч.т.д. Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов. 1)Признак сравнения. Пусть дан ряд U1+U2+...+Un+...(1), S1n; V1+V2+...+Vn+...(2) S2n; Известно,что Vn³Un при n³N0. если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится; если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится. Док-во: Из сходимости ряда (2) следует, что $ lim S2n=S. S1n=U1+U2+...+UN0+UN0+1+...+Un=SN0+VN0+1+...+Vn. limS1n=lim(SN0+Dn-N0)=SN0+D. S1n – возраст. послед-ть, ограниченная числом SN0+D => $ lim S1n=Sn1. 2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limUn/Vn=L, но L¹0,¥ при n®¥, то ряды ведут себя одинаково. 3) Признак Даламбера. Если $ lim(Un+1/Un)=L(2) при n®¥, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2) расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотрим число q, удовл. соотнош L UN+2 Рассмотрим теперь два ряда: U1+U2+...+UN+Un+1+... (1) UN+qUN+q2UN+... (1’). Ряд (1’) есть геом прогрессия с положит знаменат q<1. Следоват-но, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с UN+1, меньше членов ряда (1’), следоват-но, ряд (1) сходится. Ч.т.д. 2) Пусть L>1. тогда из равенства lim(Un+1/Un)=L следует, что, начиная с некот. N, т.е. для n³N, будет иметь место нер-во (Un+1/Un)>1, или Un+1>Un для всех n³N. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится. 4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limnÖUn=L, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L | nÖUn–L| 5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ¥ån=1Un, где члены ряда убывают Un>Un+1>0. Есть фун f(x)>0, хÎ(1;¥) непрерывная и убывающая и такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=Un. Если не собственный интеграл ¥ò1f(x)dx – сходиться, то ряд сходится. Если не собственный интеграл ¥ò1f(x)dx – расходиться, то ряд расходится. Знакочередующиеся ряды. Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны. Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U1>U2>U3… и предел его общего члена при n®¥ равен 0 (Lim n®¥ Un=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: U1³S. Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m: S2m=(U1-U2)+(U3-U4)+…+(U2m-1-U2m). Эта последовательность возрастающая и ограниченная. На основании признака существования придела последовательность S2m имеет предел Limm®¥S2m=S. Переходя к пределу в неравенстве S2m =Limm®¥ S2m+ Lim m®¥ А2m+1=S+0=S. Итак, при любом n (четном и нечетном) Lim n®¥ Sn=S, т.е. ряд сходится. Знакопеременные ряды. Пусть U1+U2+U3….+Un+ знакопеременный ряд (*), в котором любой его член Un может быть как положительным, так и отрицательным. Т.(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда): Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (*) и если ряд ¥ån=1½Un½; |U1|+|U2|+…+|Un|+…(1), сходится и наз абс. сходящимся. Обратное утверж не справедливо. Д: Обозначим Sn+ и Sn- суммы абсолютных величин членов данного ряда (*), входящих со знаком плюс и минус. Тогда частичная сумма данного ряда Sn1=Sn+-Sn- , а ряда составленного из абсолютных величин его членов Sn2= Sn++Sn- . По условию ряд (1) сходится, значит сущ-т конечный предел Limn®¥Sn2=S. Последовательности Sn+ и Sn- являются возрастающими и ограниченными (Sn+ ≤ S Sn- ≤ S ), значит существуют пределы Limn®¥Sn+ и Limn®¥Sn-, и соответственно предел частичной суммы данного ряда Limn®¥Sn1=Lim n®¥Sn+ -Lim n®¥ Sn- , т.е. ряд (*) сходится.· Если ряд |U1|+|U2|+…+|Un|+…сходиться, то ряд U1+U2+U3….+Un+ наз абс. сходящимся. Если ряд U1+U2+U3….+Un+ сходиться, а ряд |U1|+|U2|+…+|Un|+…расходиться, то ряд U1+U2+U3….+Un+ наз усл. сходящимся. Св-ва абс сход рядов: Если ряд U1+U2+U3….+Un+ абс сходиться, то на сходимость не влияет перестановка членов ряда и группировка. Степенные ряды. C0+C1X+C2X2+…+CnXn..-степенной ряд (*) Св-ва: 1)Т. Абеля: 1)Если степенной ряд сходится при значении X=X0≠0, то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях Х таких что |Х|<|X0|, 2)Если степенной ряд расходится при Х=Х1, то он расходится при всех значениях Х таких что |Х|>|Х1|. Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х0≠0, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости Limn®¥Un=Limn®¥CnX0n=0. Значит последовательность |CnX0n| Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство |CnX0n| |С0|+ |C1X0||Х/X0|+…+ |CnX0n||X/X0|n+…(1). Члены ряда (1) меньше соответствующих членов ряда М+М|Х/X0|+…+М|X/X0|n+… представляющего геометрический ряд, к-й сходится, когда его знаменатель q=|X/X0|<1, т.е. при|X|<|X0|, на основании признака сравнения ряд (*) сходится. 2)Предположим противное, т.е. при|X|>|X1| ряд (*) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходится и в точке Х1 (т.к. |X|>|X1|), что противоречит условию.· Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R≥0, что при │Х│ 2) и 3) на любом отрезке (a,b), целиком принадлежащем интервалу сходимости(-R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а следовательно степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать на этом отрезке. 4) Степенные ряды вида а0+а1х+а2х2+…+аnх2+…+аn+1хn+1+… и а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+…+аn(х-х0)2+… сходяться равномерно. 5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости. Функциональные ряды Ряд U1+U2+..+Un+.. называется функциональным, если его члены являются функциями от Х. Рассмотрим функциональный ряд U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+...(1) Совокупность тех значений Х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда. Обозначим через Sn(Х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=Sn(x)+rn(x), где rn(x) есть сумма ряда Un+1(x)+Un+2(x) +…, т.е. rn(x)= Un+1(x)+Un+2(x) +… В этом случае величина rn(x) называется остатком ряда (1). Для всех значений Х в области сходимости ряда имеет место соотношение Limn→∞ rn(x)= Limn→∞(S(x)-Sn(x))=0, т.е. остаток rn(x) сходящегося ряда стремится к нулю при n→∞. Функциональный ряд U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+.. (1) называется мажорируемым в нек-й области изменения Х, если существует такой сходящийся числовой ряд а1+а2+а3+…+аn..(2) с положительными членами, что для всех значений Х из данной области выполняются соотношения │U1(x)│≤a1,…,│Un(x)│≤an ,… Иначе, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена нек-го сход. ряда с полож. членами. Ряд Тейлор. Для ф-и F(x) имеющей все производные до (n-1) порядка включительно, в окрестности точки х=а справедлива формула Тейлора: f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+f¢¢(a)((x-a)2/2!)+… …+fn(a)((x-a)n/n!)+Rn(x), (1) где остаточный член Rn(х)={((x-a)n+1)/((n+1)!)}f(n+1)(a+q(x-a)), где 0 f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+…+fn(a)((x-a)n/n!)+… Если в ряде Тейлора предположим а=0, то получим ряд Маклорена: f(x)=f(0)+f¢(0)x+f¢¢(0)(x2/2!)+… …+fn(0)(xn/n!)+…. Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена: ex=1+x+x2/2!+…+xn/n!+… (-¥;¥) sinX=x-x3/3!+x5/5!+…+(-1)n-1(X2n-1)/(2n-1)!+… (-¥;¥) cosX=1-x2/2!+x4/4!-…+((-1)nX2n)/(2n)!+… (-¥;¥) (1+x)m=1+mx+(m(m-1)x2)/2!+(m(m-1)* *(m-2)x3)/3!+(m(m-1)(m-n+1)xn)/n!+… (-1;1) ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-..+((-1)nxn+1)/(n+1)+.. (-1;1) 1/(1-x)=1+x+x2+…+xn+.. 1/(1+X2)=1-x2+x4-x6+… arctgX=x-x3/3+x5/5-x7/7+…+((-1)n+1x2n-1)/2n-1+…
Опр: Предел limmax di®0nåi=1f(Pi)DSi интегральной суммы nåi=1f(Pi)DSi, если он сущ-ет независимо от способа разбиения обл D на DDi и от выбора точек PiÎDi наз двойным интегралом зад фун z=f(x;y) по обл D.
Общим решением наз. ур. вида y=(x;C1;C2), кот. яв-ся 1)реш. при любых знач. C1,C2,Cn; 2)для любых x0,y0,y0’,y0’’ можно найти С10,С20, при кот. заданная фун. y=j(x1; С10;С20) будет удов. заданному нач. ур-ю, т.е. 
C1’(x)y1+ C2’(x) y2=0 Þ C1’(x)= f(x) y2’
| Un+1/Un – L|