Исследование законов предельной производительности
Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов. При описании экономики (точнее, ее производственной подсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рассматривается как "черный ящик", на вход которого поступают ресурсы R1, ..., Rn, а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Х1, ...Хм.
В качестве ресурсов (факторов производства) на макро уровне наиболее часто рассматривается накопленный труд в форме производственных фондов (капитал) К и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата - валовой выпуск и обозначать Х, хотя это может быть и валовой выпуск, и ВВП, и национальный доход.
Выбор того или иного состава К определяется целью исследования, а также характером развития производственной и непроизводственной сфер в изучаемый период. Если в этот период в непроизводственную сферу вкладывается примерно постоянная доля вновь созданной стоимости и непроизводственная сфера оказывает на производство примерно одинаковое влияние, это служит основанием напрямую учитывать в ПФ только производственные фонды.
Производственные фонды состоят из основных и оборотных производственных фондов. Если соотношение между этими составными частями производственных фондов примерно постоянно в течение всего изучаемого периода, то достаточно напрямую учитывать в ПФ только основные производственные фонды. Далее К будем называть фондами.
Таким образом, экономика замещается своей моделью в форме нелинейной ПФ
X=F(K, L),
т.е. выпуск (продукция) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда).
Возникает вопрос: как с помощью ПФ выразить масштаб и эффективность производства? Это сравнительно легко сделать, если выпуск и затраты выражены в соизмеримых единицах, например представлены в соизмеримой стоимостной форме. Однако проблема соизмерения настоящего и прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительным образом. Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безразмерным) показателям.
В относительных показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом:
X K a1 L a2
X0 K0 L0
(1)
Где Х0, К0, L0 - значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год.
Безразмерная форма (1) легко приводится к первоначальному виду
Х0
Х= Ka1 La2 = AKa1La2
К0a1 L0a2
Х0
Таким образом, коэффициент А = получает естественную
К0a1 L0a2
интерпретацию - это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском.
Если обозначить выпуск и ресурсы в относительных (безразмерных) единицах измерения через X, K, L, то ПФ в форме (1)записывается так:
X=Ka1 La2 (2)
Найдем теперь эффективность экономики, представленной ПФ (2) .Напомним, что эффективность - это отношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов К и настоящего труда L. Поэтому имеются два частных показателя эффективности:
Х Х
- фондоотдача, - производительность труда.
К L
Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них. Так как ПФ выражена в мультипликативной форме, то и среднее естественно взять в такой же форме, т.е. среднегеометрическое значение.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ПО ТЕМЕ "ПРЕДЕЛЬНАЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ"
Хотя предмет микроэкономической теории производства иной - проблемы производственной деятельности предприятий, ход рассуждений здесь очень близок к теории потребления. Функциям полезности и кривым безразличия, описывающим потребление, соответствуют и изокванты, описывающие производство. Более того, свойства этих функций и формы кривых одинаковы. Следовательно, в программах построения графиков кривых безразличия и приближенных вычисления по методу численного дифференцирования, составленных для исследования потребления, достаточно поменять лишь заголовки, названия переменных и определения функций, чтобы применить весь арсенал уже имеющихся у нас средств для анализа производства.
Начнем с того, что определим производственную деятельность как процесс, в ходе которого предприятия затрачивают различные ресурсы - вещественные блага и услуги (факторы производства), например труд и капитальное оборудование, и в результате выпускают разнообразную, ориентированную на рынок продукцию (продукты производства). Отправной точкой микроэкономической теории производства является идея о том, что технологически эффективная производственная деятельность предприятия, в ходе которой для выпуска, например, одного вида продукции Y затрачивается два вида ресурсов Х1, Х2, может быть описана с помощью производственной функции Y=F(X1, X2). Если для фиксированного выпуска Y изобразить на плоскости (Х1, Х2) все возможные сочетания необходимых ресурсов (Х1, Х2), мы получим кривую, называемую изоквантой. Так же как и для функций полезности и кривых безразличия, можно выделить, по крайней мере, четыре типа производственных функций и изоквант.
1. Функции с полным взаимозамещением ресурсов, например,
Y=a1X1+a2X2
2. Неоклассическая производственная функция, например,
Y=X1a1X2a2, a1+a2<=1
3. Функции с полным взаимодополнением ресурсов, например,
4. Функции смешанного типа, например,
Y=y1+y2 : Xi=>aiy1+biy2, i=1,2.
Не трудно заметить, что формы этих функций полностью совпадают с формами функций полезности. Если говорить о неоклассической производственной функции, то понятию предельной полезности из теории потребления и теории производства соответствует понятие предельной производительности (dY/dXi), которое является здесь одним из ключевых. Законы же убывающей предельной полезности и убывающей предельной нормы замещения, потребительских благ в теории производства сформулировонны как закон убывающей предельной нормы взаимного замещения ресурсов. Первый из них гласит, что при росте затрат одного из ресурсов (первого или второго) его предельная производительность, dY/dX1 или dY/dX2 , падает. Если представить этот факт в виде формулы, то мы получим:
d2Y/dXi2<0 , i=1,2.
Предельная норма замещения (MRS) ресурсов - это предельное отношение замены первого ресурса вторым, - dX2/dX1, в ситуации, когда при постоянном выпуске Y сокращение затрат первого ресурса на - dX1 компенсируется ростом затрат второго ресурса на dX2. Подобно теории потребления, это отношение равно отношению частных производных проиизводственной функции, т.е. предельных производительностей ресурсов:
dX2 dY/dX1
MRS = - Y = const =
dX1 dY/dX2
Изокванты неоклассической функции, так-же как и кривые безразличия, являются гладкими вогнутыми кривыми, а предельная норма замещения ресурсов постепенно убывает.
ОПИСАНИЕ и СОСТАВЛЕНИЕ ПРОГРАММЫ
Составим программу (MARG2), позволяющую при фиксированном значении производственной функции Y = F(X1, X2) вычислить предельную производительность каждого из ресурсов, а также предельную норму замещения ресурсов. В качестве конкретной производственной функции возьмем функцию Кобба-Дугласа:
Y = X13/4 X21/4.
Список переменных:
X1 = X1; X2 = X2 ;
MR = MRS - предельная норма замещения;
D1 = dY/dX1 ; D2 = dY/dX2;
H - шаг дифференцирования (h).
Производственная функця Кобба-Дугласа - самая извесная из всех производственных функций неклассического типа - была открыта в 20-х годах нашего века экономистом Дугласом в сотрудничестве с математиком Коббом и получила широкое применение в эмпирических исследованиях. В эту программу включена производственная функция, оценненая Дуглосом на основе данных по обрабатывающей промышленности США. Y - индекс производства, X1 и X2 - соответственно индексы наемной рабочей силы и капитального оборудования. Если считать, что Х1 и Х2 - это затраты труда и капитала, то используя производственную функцию Кобба - Дугласа Y = AX1aX21a(0 Предельная производительность труда: dY/dX1 = aA(X2/X1)a-1. Предельная производительность капитала: dY/dY2 = (1 - a) A (X1/X2)a dY/dX1 a X2 dY/dX2 1-a X1 В микроэкономической теории производства считается, что предельная производительность труда равна цене труда (заработной плате) , а предельная производительность капитала - цене услуг капитальных благ (рентным платежам). Предпосылкой для токого вывода является то, что предприятия составляют свои производственные планы (Y, X1 , X2), руководствуясь прежде всего принципом максимизации прибыли. Если обозначить через р, q1 и q2 соответственно цены продукции, первого и второго ресурсов, то оптимальным производственным планом для предприятия будет решение (Y* , X1* , X2*) задачи максимизации прибыли П = pY - q1X1 - q2X2 при ограничении Y = F (X1 , X2). Выполнив необходимые подстановки, имеем П = pF(X1 , X2) - q1X1 - q2X2. Продифференцировав это варажение по каждому из факторов производства, получим формальное подтверждение сделанному ранее выводу. Иными словами, поскольку dП/dX1 = p * dF/dX1 - q1 = 0, dП/dX2 = p * dF/dX2 - q2 = 0, то сократив р, убеждаемся, что dF / dX1 q1 dF / dX2 q2 100 ' предельные вычисления 2 (MARG2) 110 CLR:PRINT "предельная норма замещения ресурсов производства" 120 DEF FN F(X1,X2)=X1^.75*X2^.25 130 PRINT" Y = X1^0.75 * X2^0.25":PRINT 140 H = .001 150 INPUT "Y=";Y 160 INPUT "X1=";X1 170 X2=(Y/(X1^.75))^(1/.25) 180 PRINT "X2=";X2 190 Y=FN F(X1,X2) 200 D1=(FN F(X1+H,X2)-Y)/H 210 D2=(FN F(X1,X2+H)-Y)/H 220 MR=D1/D2 230 PRINT"------РЕЗУЛЬТАТ------ 240 PRINT"dY/dX1=";D1 250 PRINT"dY/dX2=";D2 260 PRINT "MRS =";MR:PRINT 270 GOTO 160 Предельная норма замещения ресурсов производства Y=X1^0.75 * X2^0.25 Y= 10 X1= 8 X2= 19.53125 ------РЕЗУЛЬТАТ------ dY/dX1 = .9365081 dY/dX2 = .1277924 MRS = 7.328358 X1= 13 X2= 10 ------РЕЗУЛЬТАТ------ dY/dX1 = .7505416 dY/dX2 = .2503164 MRS = 2.992395 X1= 12 X2= 5.787036 ------РЕЗУЛЬТАТ------ dY/dX1 = .626564 dY/dX2 = .4320145 MRS = 1.450331 ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА · В.А. Колемаев "Математическая экономика" Москва, ЮНИТИ 1998. · О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных "Математические методы в экономике" Москва, ДИС 1997 · ''Математическая экономика на персональном компьютере'' под редакцией Кубонива. Москва, ''Финансы и статистика''1997 
Предельная норма замещения: MRS = = * 
=