Экономико-математическое моделирование транспортных процессов

Курсовая работа по дисциплине “экономико-математическое моделирование” своей задачей определяет практическое освоение и закрепление теоретических знаний по математическому моделированию экономических процессов. В этом проекте также рассматривается умение привлекать новые информационные технологии для решения оптимизационных задач.

Проект состоит из трёх разделов из области принятия решений в бизнесе, которые являются логически связанными между собой объектами принятия решений (фирма и её филиалы). Субъектами принятия решений являются менеджеры фирмы и её филиалов, а также владельцы пунктов реализации продукции.

Раздел 1 – рассматривает линейное программирование как метод моделирования распределения ограниченных ресурсов. Здесь необходимо максимизировать прибыль предприятия, производящего различные виды продукции. Для этого используется математическая модель общей задачи линейного программирования (ОЗЛП) и программный продукт “EXCEL”.

Раздел 2 – продолжает рассмотрение проблемы распределения ограниченных ресурсов с помощью классической транспортной задачи линейного программирования (ТЗЛП). В нём разрабатывается оптимальный план перевозки сырья для всех филиалов предприятий. Для этого составляется математическая модель транспортной задачи линейного программирования и используется программный продукт “EXCEL”.

Раздел 3 – рассматривает правила принятия решений в бизнесе по различным критериям. Здесь рассматриваются различные способы оптимизации портфеля заказов при реализации продукции всех филиалов предприятия через розничную торговую сеть. При этом используются различные теории вероятности и игровые способы принятия решений.

РАЗДЕЛ 1

1.1. Фирма имеет 25 филиалов, каждый из которых производит четыре вида продукции (i=1,2,3,4).

Рассмотрим работу 8-го филиала фирмы.

Максимальный объем выпуска продукции различных видов приведен в тоннах в столбце К. Филиал закупает сырье, из которого производят продукцию, у семи АО. Выход готового продукта из 1 тонны сырья показан в нижней части таблицы (В9:Н12). Остальная доля сырья идет в отход.

При закупке сырья у разных АО филиал получает различную прибыль. Она указана по строке 6 в тысячах рублей на тонну сырья.

В разделе 1 проекта требуется:

1. Определить количество закупаемого заданным филиалом фирмы сырья у каждого АО, (xj), максимизируя прибыль филиала. Нужно формулировать экономико-математическую модель общей задачи линейного программирования (ОЗЛП);

2. С помощью полученных в результате реализации модели отчетов сделать рекомендации филиалу фирмы по расширению программы выпуска ассортимента продукции.

Для решения этой задачи введём следующие обозначения:

X_j– выход выпускаемой продукции;

Bi – максимальный объём выпуска;

С – прибыль филиалов фирмы при закупке сырья.

С учётом введённых обозначений составим экономико-математическую модель ОЗЛП:

F=45x₁+45x₂+60x₃+70x₄+45x₅+70x₆+45x₇

0,2x₁+0,1x₂+0,15x₃+0,2x₄+0,25x₅+0,1x₆+0,3x₇<=3,4

0,2x₁+0,2x₂+0,15x₃+0,1x₄+0,1x₅+0,2x₆+0,1x₇<=1,8

0,1x₁+0,15x₂+0,1x₃+0,25x₄+0,1x₅+0,15x₆+0,1x₇<=2,6

0,1x₁+0,1x₂+0,1x₃+0,1x₄+0,1x₅+0,1x₆+0,1x₇<=2,1

Аналитический метод решения ОЗЛП называется симплекс-методом.

Для работы по этому методу введём величину Y_j – искусственная переменная (величина не использованных ресурсов) и перейдём от системы неравенств к системе уравнений:

F= 45x₁+45x₂+60x₃+70x₄+45x₅+70x₆+45x₇® max

0,2x₁+0,1x₂+0,15x₃+0,2x₄+0,25x₅+0,1x₆+0,3x₇+Y₁=3,4

0,2x₁+0,2x₂+0,15x₃+0,1x₄+0,1x₅+0,2x₆+0,1x₇+Y₂=1,8

0,1x₁+0,15x₂+0,1x₃+0,25x₄+0,1x₅+0,15x₆+0,1x₇+Y₃=2,6

0,1x₁+0,1x₂+0,1x₃+0,1x₄+0,1x₅+0,1x₆+0,1x₇+Y₄=2,1

Преобразуем систему уравнений:

F=0-(-45x₁-45x₂-60x₃-70x₄-45x₅-70x₆-45x₇) ® max

Y₁=3,4-(0,2x₁+0,1x₂+0,15x₃+0,2x₄+0,25x₅+0,1x₆+0,3x₇)

Y₂=1,8-(0,2x₁+0,2x₂+0,15x₃+0,1x₄+0,1x₅+0,2x₆+0,1x₇)

Y₃=2,6-(0,1x₁+0,15x₂+0,1x₃+0,25x₄+0,1x₅+0,15x₆+0,1x₇)

Y₄=2,1-(0,1x₁+0,1x₂+0,1x₃+0,1x₄+0,1x₅+0,1x₆+0,1x₇)

x_j>=0, Y_j=>0, i=1¸7, j=1¸4.

Решив задачу через модуль «Поиск решения» в электронной таблице Excel (см. Таблицу 1), помимо ответа (ячейка I6), мы получаем также следующие отчеты:

Отчёт по результатам состоит из трёх таблиц:

1. Целевая ячейка (максимум) – адрес, исходное и результативное значение целевой функции.

2. Изменяемые ячейки – адреса и значения всех искомых переменных задачи.

3. Ограничения – результаты оптимального решения для заданных условий и ограничений задачи, состоящие из столбцов:

a) “Формула” – введённые зависимости;

b) “Значения” – оптимальные объёмы выпуска по каждому виду продукции и значения искомых переменных задачи;

c) “Разница” – количество произведённой продукции, если объём производства продукции данного типа равен максимально возможному, то в графе “Статус” указывается “связанное”, а в графе “разница” – 0; при неполном производстве продукции в графе “Статус” – “не связанное”, в графе “Разница” – остаток.

Отчёт по устойчивости содержит информацию, насколько целевая ячейка чувствительна к изменениям ограничений и переменных. Он имеет две таблицы:

1. Изменяемые ячейки:

a) “Редуцированная стоимость”содержит значения дополнительных двойственных переменных, показывающих как изменится целевая функция (функция прибыли) при принудительной закупки единицы сырья у данного АО;

b) “Целевой коэффициент” показывает степень зависимости между изменяемой и целевой ячейками, то есть коэффициенты целевой функции;

c) “Допустимое увеличение” и “допустимое уменьшение”показывают предельные значения приращения коэффициентов в целевой функции, при которых сохраняются оптимальные решения.

2. Ограничения:

a) “Теневая цена” – двойственные оценки, которые показывают, как изменится целевая функция при изменении объёма выпуска продукции на единицу.

b) “Допустимое увеличение”и“допустимое уменьшение”показывают размеры приращений объёмов выпуска продукции, при которых сохраняется оптимальный набор переменных, входящих в оптимальное решение.

Отчёт по пределам показывает, в каких пределах может измениться объём закупаемого сырья, вошедшего в оптимальное решение при сохранении структуры оптимального решения. В отчёте указаны значения переменных в оптимальном решении, нижние и верхние пределы изменений значений Хi. Кроме того в отчёте указаны значения целевой функции при закупке данного типа сырья на нижнем пределе, а также значения целевой функции при закупки сырья, вошедшего в оптимальное решение на верхних пределах.

Рекомендации филиалу фирмы по расширению программы выпуска ассортимента продукции.

У нас на экране диалоговое окно результаты поиска решения. Решение найдено, и результаты оптимального решения задачи приведены в таблице. Из таблицы мы видим, что оптимальное количество закупаемого сырья у АО3=6.9 и у АО4=7.64 , а у остальных АО сырье закупать вообще не стоит.

При этом максимальная прибыль будет составлять 949.09, где прибыль АО3=534.55 и АО4=414 (эти данные мы берём из отчёта по пределам), а оптимальный объём выпуска равен:

a) Продукция 1=2,56;

b) Продукция 2=1,8;

c) Продукция 3=2,6;

d) Продукция 4=1,45.

Надо отметить, что если предприятие закупит оптимальное количество сырья, то оно произведёт ровно столько продукции, сколько оно за определенное время (например, за месяц) продаст полностью. Можно выбрать такой вариант.

Но может быть и так, что предприятие захочет начинать новый месяц не с “нуля”, то есть не с производства продукции на продажу в конце месяца, а, параллельно производству новой продукции, сразу с продажи продукции, которую, естественно, надо дополнительно произвести в предыдущем месяце. Для этого надо увеличить в текущем месяце объём выпуска продукции. Но это увеличение не может быть безграничным, и из отчёта по устойчивости мы делаем вывод о том, что объём выпуска продукции для продукции 2 может быть увеличен не более чем на 1,183, продукции 3 не более чем на 1,53. При этом теневая цена, которая является двойственной переменной, показывает на сколько изменится целевая функция (прибыль) при изменении данного ресурса. В нашем случае теневая цена равна:

a) для продукции 2 теневая цена=290.91;

b) для продукции 3 теневая цена=163.64.

Естественно, если предприятие увеличивает объёмы выпуска продукции, то ему требуется больше сырья. Увеличивать количество сырья тоже можно не бесконечно. Максимально допустимые увеличения мы также берём из отчёта по устойчивости. Максимальное увеличение закупаемого сырья у:

АО1=29.55;

АО2=37.73;

АО3=45;

АО4=80;

АО5=0.45;

АО6=12.73;

АО7=0.45.

Бывают ситуации, когда предприятию нужно снизить объёмы производства продукции. Здесь тоже существуют определённые рамки. Максимально-допустимое уменьшение объёма выпуска также берётся из отчёта по устойчивости. Оттуда же берутся и максимально-допустимые уменьшения закупки сырья у разных АО. В нашем случае допустимое уменьшение объёма выпуска:

продукция 1=0,836;

продукция 2=0,76;

продукция 3=1,4;

продукция 4=0,646;

а допустимое уменьшение закупки сырья у:

АО3=0,83;

АО4=2,5.

Исходя из всего выше сказанного, мы можем сказать, что с помощью полученных отчётов руководитель предприятия может выбирать наиболее подходящую для себя позицию: с помощью полученных результатов он решает: воспользоваться ли оптимальным решением задачи, увеличить ли объёмы производства или наоборот уменьшить их. Главное при решении этого вопроса – соблюдать ограничения, которые подсчитаны в отчётах, не нарушая их, иначе выбранная стратегия перестанет быть оптимальной.

Раздел 2.

Требуется сформулировать и решить задачу рационального прикрепления филиалов фирмы к поставщикам сырья (АО). Для этого следует сформулировать модель классической транспортной задачи линейного программирования (ТЗЛП) при следующей исходной информации.

Таблица 2.1.

Объёмы потребления сырья филиалами в тоннах, Вк в тоннах.

Таблица 2.2.

Удельные затраты на перевозку сырья, Cjk.

Таблица 2.3.

Объемы предложения сырья у АО, Aj в тоннах.

Задачу решить на минимум затрат по доставке сырья от АО до филиалов фирмы.

В разделе 2 проекта требуется:

1. Определить оптимальные поставки сырья от АО до филиалов фирмы, (xjk), в тоннах.

2. Определить минимальные затраты фирмы на доставку сырья до её филиалов.

3. Сделать рекомендации по изменению программы выпуска продукции филиалами фирмы (с позиции затрат на доставку сырья).

Введём данные в таблицу EXCEL и решим ее также используя модуль”Поиск решения”.

В модуле «Поиск решения» введём:

Целевая ячейка - $G$25;

Равной минимальному значению;

Изменяя ячейки $B$5:$F$11;

Ограничения: $B$12:$F$12=$B$13:$F$13;

$G$5:$G$11=$H$5:$H$11;

$B$5:$F$11>=0.

В результатеполучим отчёты и таблицу, по которым будем проводить анализ.