Оптимизация показателей

Для вирішення задачі лінейного програмування, потрібно записати вихідну задачу в формі задачі лінейного програмування, а потім застосовувати симплекс-метод . Основною задачею лінійного програмування – задача для якої:

1. потрібно визначити максимальне значення ф-ції

2. всі обмеження записані в вигляді рівностей

3. для всіх змінних виконується умова невідємності

Якщо обмеження має вид нерівності зі знаком >=, то шляхом множення його на (-1) переходять до нерівності зі знаком <=.

Від обмежень нерівностей необхідно перейти до обмежень рівностей. Такий перехід виконується шляхом введення в ліву частину кожної нерівності додаткових незалежних невідємних змінних. При цьому знак нерівності міняють на знак рівності.

Вихідне завдання:

F = 5х₁ +6х₂ max

-10x₁ - 6x₂ ³-60

-4x₁ + 9x₂ £ 36

4x₁ - 2x₂ £ 8

x₁,x₂³0 x₁,x₂-цілі числа

Основна задача:

F = 5х₁ +6х₂ max

10x₁ + 6x₂ + х₃ =60

-4x₁ + 9x₂ +х₄= 36

4x₁ - 2x₂ +х₅ = 8

x₁,x₂,x₃,x₄,x₅³0 x₁,x₂-цілі числа

Кожній змінній в системі відповідає свій вектор – стовпець. Вектор – стовпець Р_о складається із значень правих частин рівнянь і називається вектором вільних членів.

Виходячи з основного завдання, складаєм симплекс-таблицю.

Таблиця № 1 – Вихідна симплекс-таблиця

Знаходження оптимального розвязку ЗЛП за допмогою с-м включає слідуючі етапи:

1. За вихідною с-т знаходять опорне рішення

Кожній с-т відповідає своє опорне рішення. Воно може бути представлене у вигляди вектора Х Розмірніст вектора дорівнює кількості змінних в основній задачі.

Кожній змінній в симплекс таблиці відповідає свій вектор. Змінній x₁—вектор Р₁ і т.д.

Вектор Р₀ складений із вільних членів рівнянь. Кожний рядок симплекс-таблиці – рівняння відповідно. Четвертий рядок—рядок оцінок в ньому записують коефіцієнти при змінних в цільовій ф-ції з протилежним знаком і визначається розв’язуємий стовпець, беруться модулі від’ємних чисел з цієї строки. В векторі Х кожній змінній відповідає певна компонента. Змінній х₁ перша компонента змінній х₂—друга. Значення компонент визначають слідуючим чином, якщо вектор базисний, то компонента дорівнює значенню компоненти вектора стовпця Р₀ з того рідка де в базисі стоїть 1.

У вихідній таблиці вектори Р₁, Р₂ – не базісні, тобто в Х – перша и друга компоненти = 0

Х=(0;0;60;36;8)

2. Зясовують, мається хочаб одне відємне значення врядку оцінок ( рядок 4) Якщо нема – то план оптимальний, якщо є – треба переходити до новій с-т.

Рядок оцінок має (-5) та (-6), отже данний опорний план – не оптимальний.

3. Знаходять визначальний стовпець. Стовпець називають визначальним, якщо в рядку оцінок у нього найбільше за модулем значення. Маємо стовпець Р₂ |-6|>|-5|

4. Знаходимо визначальний рядок. Визанчальним назівається такий рядок, який відповідає найменшому з відношень компонентів стовпця Р_о до додатніх компонентів визначального стовпця. (Рядок оцінок до уваги не приймається)

Min = ( 60/6; 36/9) = 4 – рядок 2.

5. Будують наступну с-т .

Для цього кожний елемент таблиці перераховуємо за формулою

a_ij=a_ij- (а_іk* а_nj)/a_nk де k-номер розв’язувального стовпця, а n- номер розв’язувального рядка

a_ij—елемент строки- і, стовпця- j нової сиплекс таблиці

a_ij—елемент строки- і, стовпця-j попередньої симплекс-таблиці

а_іk-- елемент що знаходиться у визначальному стовпці попер. с-т.

а_nj-- елемент що знаходиться у визначальному рядку попер с-т.

a_nk – элемент що стоїть на перехресті визн рядка и строки у попер сим-т.

a₁₀= 60 – (36*6)/9 = 36

a₁₁= 10 +(6*4)/9 = 38/3

Таблиця № 2

Х₁=(0;4;36;0;16) F(X₁) = 24

В рядку оцінок є одне відємне число. Тому Р₁ – визначальний стовпець

Min = ( 36/38*3;16/4;9) = 54/19 – визначальний рядок Р₃

Таблиця № 3

X₃= ( 54/19;100/19;0;0;136/19) F₃(X₃) = 45 15/19

В рядку оцінок нема відємних значень, тому даний опорний план є оптимальним. Але не виконується умова цілочисельності, тому слід застосувати відсічення по методу Гоморі.

2. Застосування і побудова відсічення по методу Гоморі

х₁=54/19, х₂=100/19

До системи обмежень основного завдання добавляємо ще одну нерівність виду: F(a^*_ij)*x_ij>= F(b^*_ij), де a^*_ij і b^*_ij дробови частини чисел.

Під дробовою частиною числа а розуміють найменше невідємне число в і таке, що а – в є цілим числом.Якщо в оптимальному плані вихідного завдання дробового значення приймають декілька змінних, то додаткова нерівність будується для змінної, в якої найбільша дробова частина.

F(x₁)>F(x₂) (16/19 >5/19)

-3/38х₃-18/19х₄ + х₆ = -16/19

таблиця № 4

Х₄ = ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19) F(X₄) = 45 15/19

Т.к. опорний план містить відємну змінну то треба застосувати подвійний

с. м.

3.

Відшукання розвязку ЗЛП подвійним с-м включає слідуючі етапи:

1. Знахдять опорне рішення

Х₄ = ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19) F(X₄) = 45 15/19

2. Перевіряють знайдений опорний розвязок на оптимальність.

Розвязок не оптимальний, тому слід перейти до нового опорного рішення.

3. Вибираемо визначальний рядок. Визначальним називається той, який відповідає найбільшому за модулем відємному значенню в стовпцю Р_о

Рядок № 4

4. Вибираємо визначальний стовпчик. Той, який відповідає найменшему відношенню рядка оцінок до ньгого. (по модулю)

Min = (23/38*38/3;5/19*19/18) = 5/18 стовпець Р₄

Таблиця № 5

Х₅= (26/9;140/27;0;0;8/9;1048/171) F₅ = 45 5/9

F(x₁) = f ( 2 8/9) = 8/9

F (x₂) = f ( 5 5/27) = 5/27

-1/12х₃ – 17/18х₆ + х₇ = -8/9

таблица № 6

Таблица № 7

Х₆= ( 50/17;260/51;0;32/17;1608/323;16/17) F₆ = 45 5/17

Будуємо нове відсічення:

F(x₁) = f(2 16/17) = f(16/17) = 16/17

F(x₂) = f (5 5/51) = f(5/51) = 5/51

F(x₁)> F(x₂)

-3/34x₃ – 16/17x₇ + x₈ = -16/17

таблица №8

Таблица №9

Х^*=(3; 5) F^*=45

4. Геометирчна интерпретація процесу розвязку.

Геометирчна интерпретація процесу розвязку дозволяє наглядно проілюстровати процесс знаходження оптимального плану.

1) Будують прямі, рівняння яких отримують в результаті заміни в обмеженнях знаків нерівностей на знаки =.

10x₁ + 6x₂ =60 (1)

-4x₁ + 9x₂ = 36 (2)

4x₁ - 2x₂ = 8 (3)

x₁=0, (4)

x₂=0 (5)

Графіком рівняння x₁ = 0 є вісь ординат, x₂ =0 – вісь абсцисс.

Графіки решти рівнянь будують так. Оскільки графіки – це прями, то достатньо для кожного рівняння знайти дві точки, задовільнюючі йому, і через них провести пряумю.

2) Визначають область допустимих значень.

Область допустимих значень знаходиться в перший чверті координат, т.к. x₁,x₂³0 x₁,x₂-цілі числа

На коорд. Площині вибирають довільну точку і перевіряють виконання тотожністів рівняннях-обмеженнях. Якщо тотожність вірна, то дана нпівплощина – площина напівплощина допустимих рішень.

3) Будують радіус-вектор.

10

М

4

(2)

6

-9

(3)

(1)

-4

10

В М

4

( I )