Электростатика

Закон Джоуля-Ленца.

Если проводник неподвижен и в нём не протекают химические реакции, то работа тока идёт на увеличение внутренней энергии проводника, в результате чего проводник нагревается.

Количество тепла определяется по формуле:

, где

Отсюда:

(47)

Это закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.

Если сила тока изменяется во времени, то количество тепла определяется по формуле:

(48)

Используя закон Джоуля-Ленца можно перейти к выражению, характеризующему выделение тепла в различных физически элементарных объёмах проводника.

Выделив в проводнике элементарный объём в видже цилиндра:

(Рисунок)

Здесь , ,

Разделив полученное уравнение на и , получим формулу удельной тепловой мощности электрического тока:

(49)

Обе полученные формулы закона Джоуля-Ленца справедливы и для неоднородного участка цепи, если сторонние силы имеют не химическое происхождение.

Электрический ток в газах.

Прохождение электрического тока через газ называется газовым разрядом. Газ проводит ток в том случае, если некоторая часть его молекул ионизируется, то есть нейтральный атом расщепляется на положительный ион и свободный электрон. При этом совершается работа противоположных сил электростатического притяжения со стороны положительного ядра и электрона. Такая работа называется – энергией ионизации.

Для газа:

Закон Ома для неоднородного участка цепи.

На неоднородном участке цепи на носители тока действует электростатические силы и сторонние силы . Следовательно, плотность тока в этих точках оказывается пропорциональной сумме напряжений:

(41)

Выражение (41) представляет собой закон Ома для неоднородного участка цепи в дифференциальном виде.

Перейдём к интегральной форме закона Ома. Рассмотрим неоднородный участок цепи. В следствие закона сохранения электрического заряда, сила тока в любом сечении проводника будет постоянной.

(Рисунок)

Подставим в (41) значения и . Получим выражение для элементарного участка цепи:

,

где и - проекции на элемент контура .

Умножим последнее соотношение на модуль и проинтегрируем по контуру:

.

Учитывая, что - сопротивление участка цепи 1-2, , , получим:

.

Если - способствует движению положительных зарядов в выбранном направлении, то .

Если нет, то .

Запишем последнее соотношение в виде:

(42)

(42) представляет собой закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме.

Для замкнутой цепи :

(Рисунок)

( 43)

Это закон Ома для замкнутого неоднородного у4частка цепи в интегральной форме.

Здесь , где R – внешнее сопротивление цепи,

- сопротивление источника ЭДС.

Закон Ома для однородного участка цепи.

Сопротивление проводников.

Сила тока, текущего по однородному металлическому проводнику пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника.

(38)

где - сопротивление. .

- сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1В течёт ток силой 1А.

- электропроводимость.

Сопротивление проводника определяется по формуле:

(39)

где - удельное сопротивление.

Если подставить (39) в (38), то получим:

;

Учитывая, что - плотность тока,

- удельная электрическая проводимость,

- напряжённость электрического поля в проводнике,

получим (40)

Выражение (40) представляет собой закон Ома в дифференциальной форме.

Для большинства металлов при температурах, близких к комнатным:

где и - сопротивление и удельное сопротивление при ,

- температурный коэффициент.

(Рисунок)

- при последовательном соединении проводников.

(Рисунок)

При параллельном соединении:

Температурную зависимость проводников используют для измерения температур с высокой точностью (до ).

Мощность тока.

За время t через поперечное сечение проводника произвольного участка цепи проходит заряд.

- это ??????? тому, что заряд переносится за время из одного конца проводника в другой. При этом илы электростатического поля и сторонние силы совершают работу:

(44)

где U – напряжение на участке цепи.

Учитывая, что , запишем интегральное выражение для мощности тока:

(45)

Эта мощность может расходоваться на совершение рассматриваемыми участками цепи работы над внешними телами (если участок перемещается в пространстве), на протекание реакций, на нагревание другого участка цепи.

Удельная мощность – мощность, развиваемая в единице объёма проводника. С другой стороны сила развивает при движении единичного носителя тока усреднённую мощность:

, где - средняя скорость упорядоченного движения носителей зарядов.

Мощность можно найти, умножая на (n – концентрация носителей зарядов), таким образом получаем:

где .

Отсюда:

(46)

(46) представляет собой дифференцированное выражение для мощности тока.

Постоянный электрический ток.

Электродинамика рассматривает явления и процессы, обусловленные движением электрических зарядов.

Электрический ток.

Если через некоторую площадку переносится суммарный заряд, отличный от нуля, то через эту площадку течёт электрический ток.

(Рисунок)

Он возникает в том случае, если в проводнике поддерживается электрическое поле Е, которое перемещает носители тока (электроны, ионы, заряженные пылинки, капельки и т.д.).

Носитель заряда участвуют в тепловом (хаотическом) движении.

(Рисунок)

При включении поля на хаотическое движение носителей накладывается упорядоченное движение .

Таким образом, электрический ток – это любое упорядоченное движение электрических зарядов.

За направление тока принимают движение положительных зарядов, то есть ток течёт от плюса к минусу. Количественной мерой тока служит сила тока (I) – скалярная величина, определяющаяся электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени.

Для постоянного тока, то есть тока не изменяющегося во времени:

, .

Если электрический ток создаётся носителями обоих знаков, движущихся в противоположных направлениях, то:

Таким образом, сила тока представляет собой поток заряда через поверхность. Электрический ток может быть неравномерно распределён по поверхности площадки, через которую он протекает, поэтому для детальной характеристики тока используют понятие плотности тока – это векторная физическая величина, определяемая силой тока, проходящей через единичную площадку, перпендикулярную направлению движения носителей:

, где - направление нормали.

За направление вектора принимается направление вектора средней скорости положительных зарядов. Зная вектор плотности тока в любой точке пространства, можно найти силу тока через любую поверхность S:

То есть сила тока – это поток вектора плотности тока через поверхность.

Уравнение непрерывности.

Рассмотрим некоторую замкнутую поверхность, через которую протекает электрический ток. Поток вектора плотности через эту поверхность в единицу времени будет равен скорости убывания заряда.

(Рисунок)

Учитывая, что (интеграл от плотности заряда), получим соотношение:

.

Перейдём к частным производным, так как плотнасть заряда в общем случае зависит и от времени, и от координат:

Преобразуем левую часть выражения по теореме Гаусса:

.

Интегралы равны, значит равны и подынтегральные выражения:

(36)

Выражение (36) – уравнение непрерывности. Оно выражает закон сохранения электрического заряда. В случае стационарного (постоянного тока) производная по времени равна нулю, следовательно, . То есть в случае постоянного тока вектор плотности не имеет источников, значит, линии тока нигде не начинаются, нигде не заканчиваются (они замкнуты).

Правила знаков.

1. Если направление тока совпадает с выбранным направлением обхода, то знак положительный. В противном случае – отрицательный.

2. ЭДС берём со знаком «+», если в направлении обхода внутри источника тока идём от минуса к плюсу и наоборот, ЭДС имеет отрицательный знак, если идём от плюса к минусу.

Следует иметь ввиду, ???????????????????????, которые нельзя получить наложением других контуров друг на друга. Например, можно закончить второе правило Кирхгофа:

(Рисунок)

1. для контура 1-2-3-6-1

2. ?????????7

Значит, контур находился наложением первых двух. В качестве независимых следует взять любые два контура из трёх, направление обхода в каждом отдельно взятом контуре можно выбирать совершенно произвольно.

Недостающие уравнения составляют, используя первое правило Кирхгофа. Таким образом, число независимых уравнений, составленных в соответствии с первым и вторым правилами Кирхгофа, оказывается равным числу различных токов, текущих в разветвлённой цепи.

Правила Кирхгофа.

Узлом называется точка, в которой сходятся три и более проводника.

I правило: Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю.

(Рисунок)

II правило: Алгебраическая сумма напряжений в замкнутой цепи равна алгебраической сумме ЭДС.

(Рисунок)

Складывая почленно, получим:

или .

Сопротивление источника ЭДС складывается с соседним внешним источником. Пример:

Ротор. Теорема Стокса.

Если в движущеёся жидкости с распределением скоростей от до выделить контур Г, а остальную жидкость мгновенно заморозить, то в этом контуре будет продолжаться движение жидкости. Мерой такого действия является произведение скорости жидкости в контуре на длину контура. Эту величину называют циркуляцией вектора по контуру Г.

Циркуляция =

Циркуляция обладает свойством аддитивности, т.е. циркуляция по контуру Г будет равна сумме циркуляций по контурам Г₁ и Г_2.

Благодаря такому свойству можно ввести понятие удельной циркуляции в точке Р – это векторная величина, называемая ротором или вихрем.

Рассмотрим циркуляцию по элементарному квадрату в декартовой системе координат.

Знак минус ставится тогда, когда направления c_x не совпадает с направлением обхода.

Учитывая, что , получим:

Аналогично для сторон квадрата 2 и 4:

,

Тогда циркуляция по квадрату будет равна:

, где S – площадь квадрата.

Разделив циркуляцию на , найдём проекции на оси координат:

(1*)

(2*)

(3*)

Любое из выражений (1*) - (3*) можно получить из предыдущего путём циклической системы координат.

Для уравнения (1*) предыдущим является уравнение (3*). Таким образом, ротор вектора в декартовой системе координат будет иметь вид:

Если известно, что ротор каждой точки поверхности S охватывается контуром Г, то можно вычислить и циркуляцию по этому контуру:

Теорема Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку вектора rot через площадку S, ограниченную этим контуром.

Отметим, что

Мы рассмотрим три вида сочетаний, в которые входит оператор (намбла)

Используя эти сочетания, можно пространственные вариации полей записать в виде независимых от той или иной совокупности осей координат.

Сторонние силы. ЭДС и напряжение.

Для того, чтобы электростатическое поле в проводнике, а вместе с ним и электрический ток не исчезали, необходимо т конца проводника с меньшим потенциалом перемещать заряды, приносимые током, к концу проводника с большим потенциалом. Значит, заряды должны двигаться по замкнутому пути.

(Рисунок)

Известно, что циркуляция электростатического поля (при постоянном токе) равна нулю. Следовательно, в замкнутой цепи должен быть участок, на котором положительные заряды движутся в сторону возрастания потенциала, то есть против сил электростатического поля. Перемещение зарядов на этом участке возможно только с помощью сил не электростатического происхождения, которые называются сторонними силами.

Физическая величина, определяемая работой, совершаемой сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС).

, . (37)

Участок замкнутой цепи представляет собой устройство, в котором происходит разделение разноимённых зарядов и перенос их соответствующим проводникам, называемым источниками тока.

(Рисунок)

Сторонние силы, действующие на заряд q на участке 1-2 можно представить следующим образом:

, где - напряжённость поля сторонних сил.

Работа сторонних сил на участке 1-2 равна:

.

Для замкнутой цепи:

.

Следовательно, ЭДС, действующую в замкнутой цепи, можно представить как циркуляцию вектора напряжённости сторонних сил. На заряд действуют такие силы электростатического поля.

.

Тогда .

Работа, совершаемая на участке 1-2 будет равна:

Величина, численно равная работе, совершённой электростатическими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется падением напряжёния или напряжёнием.

Участок цепи, на котором действуют сторонние силы, называют неоднородным.

Участок цепи, на котором отсутствуют сторонние силы, называют однородным.

Для однородного участка цепи:

, то есть напряжение совпадает с разностью потенциалов.

Электромагнитноеполе.

• это дискретное явление, при котором минимальный заряд равен заряду электрона.

q _e = ^-19 Кл

q _p = ^-19 Кл

F_кул= , = ,

где q – источник электрического поля

- пробный заряд

- указывает направление.

(Рисунок)

Электростатическое поле в вакууме.

(поле неподвижных зарядов)

1. Напряжённость электростатического поля.

- напряжённость поля, созданного точечным зарядом

(Рисунок)

Для непрерывного распределения заряда суммирование определяется всеми зарядами в произвольной точке пространства:

- по всему объёму тела

(Рисунок)

Пример.

(Рисунок)

, , -?

точка О – начало отсчёта

2.Линии вектора напряжённости.

• линии, направления которых в каждой точке совпадают с вектором напряжённости.

Количество линий, пересекающих единичную перпендикулярную поверхность должно быть равно модулю вектора напряжённости.

(Рисунок)

3. Поток вектора напряжённости.

Количество линий напряжённости пронизывающих данную поверхность:

(по поверхности)

(Рисунок)

Если и = const, то .

ТеоремаГаусса.

Поток вектора напряжённости через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью, делённых на электрическую постоянную.

(Рисунок)

- принцип суперпозиции.

Результирующий вектор напряжённости равен векторной сумме векторов напряжённости входящих зарядов.

Расчёт напряжённости с помощью теории Гаусса.

Можно выбрать расчёт dS так, чтобы Eможно было вынести за знак интеграла.

1. Напряжённость поля однородно заряженного шара.

(Рисунок)

а) если r > R,

то

б) если r < R,

(Рисунок)

то

,

(Рисунок)

Замечание.

1. При неоднородном распределении заряда (но сохраняется сферическая симметрия):

, где

(Рисунок)

2. Если заряда внутри нет, то и поля внутри нет. Если имеется поле, то внутри поле отсутствует.

(Рисунок)

Расчёт напряжённости бесконечной плоскости (заряженной).

(Рисунок)

Поток через замкнутую поверхность цилиндра равен потоку основания и боков поверхности.

,

(Рисунок)

Поле однородно заряженного бесконечного цилиндра.

(Рисунок)

,

r > R,

,

(Рисунки)

Для цилиндрической оболочки поле внутри отсутствует.

Для получения используют теорему Остроградского.

- дивергенция.

, где

Потенциал электрического поля.

 - отношение потенциальной энергии точечного пробного заряда, помещённого в другую точку поля, к величине этого заряда.

Докажем консервативность сил и потенциальность электрических сил поля.

(Рисунок)

Связь между напряжённостью и потенциалом.

Рассмотрим в дифференциальном виде:

(Рисунки)

Элементы математической теории поля.

Полем называется волна, зависящая от положения в пространстве (является функцией координат). Поле называется стационарным, если оно не меняется с течением времени.

Скалярное поле – это такое поле, которое в каждой точке пространства характеризуется одним единственным числом (например, температурное поле).

Векторное поле – это такое поле, которое в каждой точке пространства характеризуется вектором (например, поле скоростей в потоке жидкости).

Градиент.

Скорость изменения некоторой величины во времени можно описать, задавая её производную по времени t. Если же мы хотим узнать скорость изменения некоторой величины в пространстве, то, очевидно, мы должны взять её производную по координатам x, y, z.

(Рисунок)

В трёхмерном случае:

или , где - намбла.

- векторный дифференциальный оператор.

Поверхностью уровня– называется геометрическое место точек, в которых скалярная величина имеет одно и тоже значение.

В двумерном случае поверхность уровня называется линией уровня.

Градиент устанавливает связь между скалярными и векторными характеристиками поля.

Дивергенция. Теорема Гаусса.

(Рисунок)

Рассмотрим поле вектора несжимаемой жидкости. Если поток жидкости в объем V через поверхность S 0, то внутри объёма имеется источник (через который жидкость попадает в объём) или стоки (через которые жидкость исходит из объёма). Преобладание источников над стоками даёт положительный поток жидкости через поверхность. Преобладание стоков – отрицательный.

Характеристикой стоков и источников служит величина, называемая дивергенцией – расхождение вектора скорости.

, где - поток вектора скорости через замкнутую поверхность.

Таким образом, дивергенция представляет собой удельную мощность источника в точке Pи является скалярной функцией координат.

(Рисунки)

Найдём выражение для декартовой системы координат, для чего рассмотрим поток через элементарный кубик.

(Рисунок)

Поток из кубика наружу будет равен:

; где - поток через iгрань.

Для одной грани:

Проекции векторов и связаны соотношениями:

Поток через первую и вторую грани будет равен:

Аналогично получим:

Полный поток:

,

Отсюда:

Дивергенция связывает векторную величину, характеризующую поле, со скалярной величиной.

Зная в любой точке пространства, можно вычислить её значение через любую замкнутую поверхность конечных размеров.

- / теорема Гаусса /.

Опыт показывает, что к кулоновским силам применим, рассмотренный в механике, принцип независимости действия сил, т.е. результирующая сила , действующая со стороны поля на приобретённый заряд равна векторной сумме сил , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов .

(8)

(2)

(3)

(5)

(6)

(7)

Согласно (2): и ,

Где - напряжённость результирующего поля.

- напряжённость поля, создаваемого зарядом .

Подставим последнее выражение в (8):

(9)

Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей заключается в том, что наложенность напряжённости результирующего поля, создаваемого системой заряда, равна геометрической сумме напряжений полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.

В соответствии с (7), поток вектора напряжённости сквозь сферическую поверхность радиуса R, охватывающую сферический заряд q, находившийся в её центре:

(Рисунок)

(10)

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Рассмотрим общий случай для произвольной поверхности, окружающей n зарядов.

В соответствии с принципом суперпозиции . Поэтому

,

(11)

(11) – выражает теорему Гаусса для электростатического поля:

Поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключённых внутри этой поверхности зарядов, делённых на электрическую постоянную.

Если заряд распределён с объёмной плотностью , то

(12)

или (13)

Применение теоремы Гаусса к расчёту поля.

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда .

(Рисунок)

В качестве замкнутой поверхности возьмём цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости. Поток через боковые стенки цилиндра равен нулю, так как линии напряжённости перпендикулярны оси цилиндра и его образующей. Полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков через его основания .

Заряд внутри цилиндра согласно теореме Гаусса:

, откуда .

2. Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

(Рисунок)

Если r >R, то по теореме Гаусса получим:

, где, откуда .

Если < R, то замкнутая поверхность не содержит электрического заряда. Следовательно E = 0.

Дивергенция и ротор электростатического поля.

Заменяя по теореме Гаусса поверхностный интеграл объёмным, получим:

Подставив вместо его значение из (13), получим:

Интегралы равны, следовательно равны и подынтегральные выражения. Так получим теорему Гаусса для вектора напряжённости электростатического поля:

(14)

(14) – первое фундаментальное уравнение электростатики. Так как , то

(15)

(15) - второе основное уравнение электростатики.

Оба основных уравнения электростатики эквивалентны закону Кулона, так как сила поля изменяется по закону .

Для любой радиальной силы выполняемая работа не зависит от пути и существует потенциал.

Потенциал электростатического поля.

Из механики известно, что .

В нашем случае заряд перемещается в поле заряда q из точки А в точку В.

(Рисунок).

Тогда можно записать

Криволинейный путь ab можно представить следующим образом.

(Рисунок)

На участке работа равна нулю, так как вектор силы перпендикулярен вектору перемещения.

На участке элементарная работа равна:

(16)

Откуда следует, что потенциальная энергия заряда в поле заряда q равна:

(17)

Потенциальная энергия, как и в механике, определяется не однозначно, а с точностью до производной константы C . Если принять, что при , , то . Тогда

(18)

Для одноимённых зарядов потенциальная энергия U положительна (отталкивание).

Для разноимённых зарядов потенциальная энергия Uотрицательна (притяжение).

Если поле создаётся системой точечных зарядов, то вследствие принципа суперпозиции:

(19)

Из формул (18) и (19) вытекает, что отношение U к не зависит от поэтому и является энергетической характеристикой поля - потенциал.

(20)

Из формул (19) и (20) следует принцип суперпозиции для потенциала:

(21)

Из формул (18) и (20) следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядами q будет:

(22)

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда из точки А в точку В, может быть представлена как

Если , то, следовательно можно записать , откуда (23)

Таким обр