Шпоры к Экзамену

1 Понятие о равновесии. Уравновешенная система сил. Равнодействующая системы сил. Силы внешние и внутренние(в-2.,3.)

Внешние нагрузки:

Р –сосредоточ (а<< h)

q – интенсивность

распределенной нагрузки. Равнодействующая = q*a (площадь эпюры q) Преложена равн-щая в центре тяжести эпюры.

М – пара сил (сосредоточенный момент)

Внутренние силы – это силы взаим-ия м/д отдельными эл-ми конструкции, возник-ие под действием внеш сил т.о. если F_внеш отсутствует, то F_внут = 0.

R- главный вектор M_R гл векторный момент.

N_я- продольная сила (раст\сжат)

Q_{x или у}поперечная (сдвиг\срез)

М_{к (z)} крутящий момент (кручение)

М_{из (х или у)}изгуб-щий момент (изгиб

чистыйМ_и≠0 поперечный М_и≠0 Q≠0

2 Аксиомы статики. Связи, реакции связей.

1Если на свободное абс. Твёрдое тело действует 2 силы, то тело может нах-ся в равновесии если эти 2 силы= и направлены по 1 прямой в противопол-е стороны. |P₁|=|P₂|

Равнов-е – это состояние

покоя или равномерного

движ-я по отношению к

др. телам.

2.Действие данной системы сил на тело не изменится, если к ней прибавить или от неё отнять уравновешенную систему сил. Две системы сил отличающ-ся на уравнов-ую систему наз-ся эквивалентными.

3.Равнодействующая 2 сил,

сходящихся в 1-ой точке,

изображается диагональю

параллелограмма, построенного на этих силах.

4.III з-н Ньютона: Всякое действие одного тела на др вызывает такое же по вел-не, но противопп-е по направлению противодействие.

5.Любое не свободное тело можно рассматр-ть как своб-ое, если мысленно отбросить связи и заменить их реакциями. (Р-ция связи – это усилие, с которым опора препятствует перемещению тела в опред. направлении. Р-я всегда противоп-на внешним воздействиям.

6.Принцып отвердения: Равновесие деф-ого тела, наход-ся под действием системы сил, не нарушается, если считать тело абсолютно твёрдым. Все ур-я равновесия в статике будем применять к свободному телу поэтому кроме заданных внеш сил необходимо опр и прилож к нему р-ции связи.

Связи:

1)Свободное опирание тела на связь

2)Гибкие связи – это нити,

цепи, тросы, работают на

растяж-е р-ции напр вдоль нити

3)Жесткие стержни,

работают на растяж\сжа

р-ции напр вдоль стержн

4)Шарнирно-подвижная опора(1р-ция)

5)Шарн-неподвиж опора (2 реакции)

6)Жёсткая заделка (3 реакции)

3 Система сходящихся сил. Главный вектор системы сил. Условия равновесия системы сходящихся сил.

Система сходящихся сил

(2 или более сил, сход в

1 точке) может быть заменена 1-й силой, которая наз-ся равнодействующей ‾R∑(‾P_i). Урав-новешивающая сила R’= по модулю равнодействующей, но напр по той же прямой в противоположную сторону.|R’|=|R|

опред равнодействующей:

1)Графическое суммирование

2) Аналитическое R_y=∑(P_i)=P₁sin(a)+P₂ sin90+P_nsin(b)- алгебр сумма проекций на осьОУ. R_z=∑(P_i)=P₁cos(a)+P₂ cos90+P_ncos(b)- алгебр сумма проекций на осьОZ. R=√R_y²+R_z²

Любую систему сил произвольно располож в плоскости можно заменить 1-й силой R прилож-й в произвольном центре приведения О и 1-м моментом М_о. R-гл вектор = векторной сумме сил, вход-х в систему или его проекций.М_о- гл момент и = алгеб суммемоментов всех сил системы, взятых относительно центра приведения иалгеб сумме пар сил, действующих на тело.

М_о=m_o(P₁)- m_o(P₂)+M₁-M₂

Условие равновесия плоской системы сход-ся сил: необходимо и дост-но, чтобы равнодействующая системыR=0

а)при граф-ом суммировании силовой многоугольник должен быть замкнут.

б)при аналитическом R_yиR_zдолжны=0.

Условие равновесия: R=0 (∑(P_i)_z=0, ∑(P_i)_y=0); M_o=0 (∑m_o(P_i)+∑M_i=0)

4 Момент силы относительно точки. Пара сил. Момент пары сил. Сложение пар лежащих в одной плоскости. (в-3)

Пара сил – это 2 силы = по вел-не, параллельные и против-но направ-ные, не леж-щие на1-ой прямой.(при этом равнод-щая R=0). М=Р*h,h-плечо М хар-ся вел-ой и направл вращения.

Св-ва пар сил:

Две пары сил статистически эквивал-

ны(оказывают на плечо одинак действие), если их моменты =

М₁=М₂ если P₁*h₁=P₂*h₂

5 Пару сил можно переносить в плоскости её действия в любое

6

1)Чистый изгиб М_изг≠0, Q=0,N=0,M_к=0

2)Поперечный М_изг≠0, Q≠0,N=0,M_к=0

По расположению силовой плос-ти:

1)Прямой или плоскийили простой – это когда силов плос-ть прох-т ч/з одну из главных центр-х осей попер-ого сечения балки. Центр-е оси прох-т ч/з центр тяж-ти, главные оси- оси симметр-ии или оси относ-но которых осевые моменты инерции J_x J_y имеют экстремальные знач-я J_x=∫y²dF (поF) J_y=∫x²dF (по F)

2)Косой изгиб- сложная деф-я. Деф-ции не лежат в силовой плоскости

Внутр усилия опр-ся с помощью метода сечений. Внут ус-я должны уравновеш-ть внеш воздействия.

Q=∑(P_i)_y М_и=∑m_o(P_i)+ ∑M_i

Q-попереч сила в попер-м сечении балки численно= алгеб сумме проекций всех внеш сил действ-х на левую или правую часть балки. Q=f(q,P) M-не влияет на Q

Правило знаков:

М_и-изгиб-й момент в попер-м сечении балки численно= алгеб сумме моментов внеш сил взятых относит-но центра тяжести сечения и сумме сосредоточенных моментов действующих по 1-у стороны от сеч-я. М_и=f(q,P,M) Q и М_и-могут быть с разными знаками. Правило знаков:

Постр-е эпюр Q и Ми:

1)Из условия равновесия балки опр реа-ии опор которые явл такие же как и внеш нагрузки (для консоли р-ии можно не опр-ть, часть с заделкой отбрасывают).

2)Балка разбив-ся на отдельные уч-ки в пределах которых з-н изменения Q и Ми одинаковый. (Границы берутся в точках прилож-я Р, М и в начале и конце q)

3)Сост-ся аналитич-ие выр-я для Q и Ми для каждого из уч-ков.

4)По получ-м выр-ям вычисл-ся ординаты эпюр на границах уч-ов

5)Если есть точки где Q=0 то опр-ся местный экстремум.

При движ-ии слева направо:

1)На уч-ах балки где Q>0 Ми-возрас-т

Где Q<0 Ми-убывает

2)Чем больше по абсол-й вел-не знач-е Q тем круче круче линия огранич-ая

эпюру Ми. |Q|↑ то крут-на Ми↑

если Q_i>Q_j M_иi>М_иj α_i>α_j

3)На уч-ах балки на которых Q=const эпюра Ми- прямая

4)В сеч-ях где Q=0 Ми- достигает экстремального знач-я.

27 Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми факторами при изгибе, их использование для проверки правильности эпюр.

Q_I=R_a+P-q*z

М_иI=R_a*z+P*(z-a)-q*z²/2+M

Q_II=R_a+P-q*(z+dz)

М_иII=R_a*(z+dz)+P*(z+dz-a)-

-q*(z+dz)²/2+M

Q_II-Q_I=dQ

dQ=q*dz

q=dQ/dz

Производная от поперечной силы по абсциссе сеч-я балки z(dQ)= интенсивности распред-ой нагрузки q.

М_иII-М_иI=dМ_и= R_a*(z+dz)+P*(z+dz-a)-

-q*(z+dz)²/2+M- R_a*z-P*(z-a)+q*z²/2-

-M= R_a*dz+P*dz-q*z*dz-(q*d²z)/2

(q*d²z)/2→0 dМ_и= (R_a+P-q*z)*dz= =Q_I*dz Q=dМ_и/dz

Производная от изгибающего момента Ми по абсциссе сечения балки = поперечной силе Q

28 Напряжения при чистом изгибе. Наиболее экономичные формы поперечных сечений балок.

Ми≠0(чист из-б)

у-расст-е от

нейтрального слоя

до другого.

Справедлива гипотеза плоских сеч-й.

Продольные линии при чистом из-бе искривл-ся по дугам окруж-ти при этом волокна лежащие на оси балки не меняют своей длины.

a'b’-удлинились

c’d’=cd

e’f ‘-укоротились

ρ-радиус изгиба

О-центр тяж-ти.

Совокупность волокон не меняющих своей длины при изгибе наз-ся нейтральным слоем. Нейтр слой-цилиндр поверхность с радиусом ρ. Линия перес-я нейтр слоя с плоскостью попереч сеч-я наз-ся нейтр-ой осью. Линия перес-я силовой плоскости с плос-ю попер-ого сеч-я наз-ся силовой линией и проходит ч/з центр тяж-ти попер-ого сеч-я.

ε(относ удлин-е аb) =Δab/ab=bb’/cd

ac=y ε=(y*dθ)/(ρ*dθ)=y/ρ ρ=const

т.к. γ=0, то τ=0 т.к.ε≠0 σ≠0

ε=σ/Е σ =Е*ε=Е*у/ρ

Предполагая что средние волокна не давят друг на др можно сказать что каждое волокно испытывает одноосное растяж/сжатие. Относит продольная деф-я ε и продольные напряж-я σпри чистом изгибе измен-ся по высоте попереч сечения балки прямо пропорционально расстоянию у от нейтр оси.

Сила действ-ая

на элемен-ую

площадку σ*dF

1)∑(P_i)_x=0 тожд-

2)∑(P_i)_y=0 ва

3)∑m_z(P_i)=0 0=0

положение, а также можно переносить в плоскость || плоскости её действия.Результат действия на тело этой пары сил при этом не изменится.

Сложение пар сил, леж в одной плоскости: равнодействующий момент = алгебр сумме моментов.

М=∑М_i. Условие равновесия системы пар сил: необх и дост-но чтобы алгеб сумма всих моментов =0. М_R=∑М_i=0

Момент силы относ

точки= m_o(P_i)=|P|*h

Следствия: 1)момент

силы относ любой точки, располож-ой на линии действия силы =0

m_o(P_i)=|P|*h т.к. h=0 <= m_o(P_i)=|P|*h=0

2)Алге сумма моментов сил образующ

пару, относ-но произвольной точки, лежащей в плоскости пары, величина постоянная, равная моменту пары сил.

P=P’

∑m_o(P_i)=|P|*ОА–Р’*OB=P*(OA-OB)=

P*AB=P*h => m_o=M

5 Теорема о параллельном переносе силы на плоскости. Приведение сил к данному центру.(в-3, 4)

Силу Р можно ||

переместить в

любую точку О,

добавив при этом

момент присо-единённой пары сил = моменту данной силы относительно точки приведения О. М_пр= Р*h.

6Условия равновесия произвольной плоской системы сил.(в-3)

7.Основные гипотезы, лежащие в основе курса сопротивления материалов. Внутренние силовые факторы, метод сечений.(в-1)

1Материал конструкции однородный и сплошной т.е. его св-ва не зависят от формы и размеров тела и одинак во всех его точках.

2.Мат-л конс-ии изотропен,т.е.его св-ва по всем направлениям одинаковы. (99% мат-ов)

3.Мат-л обладает св-вом идеальной упругости, т.е. способностью полностью восстанав-ть первонач-ю форму и размеры после снятия внеш нагрузок(это справедливо для напр-ий не превыш-их предел упругости).

4.З-н Гука: дефор-ция мат-ла конструк прямо пропорциональна напряжениям

ε = σ / Е γ = τ / G

E-модуль Юнга(модуль упр 1-го рода) G-модуль упругости 2-го рода. (З-н Гука справедлив до предела пропорциональности)

5.Деф-ции констр малы и не влияют на взаимное расположение нагрузок.

6.Принцип независимости действия сил (принцип наложения): результат воздействия на конструкцию системы нагрузок= сумме результатов возд от каждой нагрузки в отдельности

δ = δ^Р+ δ^М+ δ^q (справедлив если выполняются 4и5 предпосылки).

7.Гипотеза плоских сечений (Бернулли): поперечные сеч-я бруса, плоские до приложения, остаются плоскими и после прилож-я нагрузки(справедлив для всех видов деф-ции).

8.Принцип Сен-Венана: если не интересоваться местными деф-ми (в малой части объёма тела), то нагрузку, прилож-ю к малой части объёма тела можно заменить статистически ей эквивалентной или равнодействующей

если а<

Метод сечений: в интересующем нас месте рассекаем брус; отбрасываем одну из частей бруса(лучше ту, где больше внеш сил); взаимодейс-е частей бруса друг на друга заменяем внутр усилиями, которые уравновешивают внешниесилы.

Σ(Р_i)_z=0

8 Понятия о напряжениях, деформациях, перемещениях.

Напр-ем наз-ся внутр сила, приходя-щаяся на ед-цу площади рассматриваемого сеч-я. Р_{среднее}=ΔR/ΔF

P_{истинное}= lim ΔR/ΔF(приΔF→0) (H/м²=Па)

σ_z – (нормальное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я перпендикулярная плоскости сеч-я.

τ_{(zx или zy)}- (касательное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я, лежащая в плоскости сечения.

Плоская задача

Р=√σ²+τ²

N=f(σ)→σ_max<=( σ)

Q=f(τ)→τ_max<=( τ) условия

M_к=f(τ)→ τ_max<=( τ) прочности

M_и=f(σ)→ σ_max<=( σ)

Деф-ции:

1.линейные а)абсолютные Δl=l₁-l Δh=h₁-h(м,см) З-н Гука в абсол вел-х:

Δl=N*l/(E*F) –раст\сжатие

φ = М_к*l /(G*J_p) – кручение

k= 1/ρ= M_из/(E*J_x) – изгиб

ΔS= Q*a / (G*F) – сдвиг\срез

В этих 4-х формулах знаменатель= жесткость сечения бруса.

б) относительные ε=Δl/l ε=Δh/h ε=σ/E (E- модуль Юнга)

2.угловые деф-ции γ (угол сдви-га)=α+β, γ=τ/G(G-модуль упр 2 рода)

Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины. Перемещение (δ) относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_i-I=Σ(Δl_i)

условие жесткости: δ_max<= (δ)

9 Растяжение и сжатие. Определение напряжений и деформаций. Закон Гука. Модуль упругости.

Центральным р\с наз-ся деф-ция при которой в поперечных сечениях бруса возникает только 1-но внут усилие- продольная сила N. Оно вызыв-ся силами действ-ми вдоль оси бруса.

Напряж-е τ =0 γ= 0 σ ≠ 0 = const

σ_i=N_i /F_i<=(σ_c),(σ_p)- условие проч-ти.

Деф-ция: ε = σ / Е - з-н Гука Δl/l=N/(F*E) Δl=N*l/(F*E)

Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины.

Попереч деф-я:

ε'= - μ*ε ε’-относ

попер деф-я, μ- коэф

Пуассона, ε – относ

Продольная деф-я.

μ хар-ет способность

мат-ла к попер деф-м.

Δ b=ε’ * b

Перемещение (δ) относится к сечению

4)∑(P_i)_z=0 ∫σdF (поF)=E/ρ∫ydF(поF)=0 ∫ydF- обознач-ся S_x и наз-ся статисти-ческий момент сечения относ-но оси х

S_x=y_ц.т.*F т.к.Е/ρ≠0, то S_x=0 Ось х прох-т ч/з центр тяж-ти.

5)∑m_y(P_i)=0 x- плечо σ*dF- сила ∫x*σdF=E/ρ∫xydF ∫xydF= J_xy наз-ся центробежным моментом инерции сеч-я относ-но х и у. Если он=0 то оси х и у явл-ся главными осями сеч-я.

6)∑m_x(P_i)=0 ∫yσdF=М_и Е/ρ∫у²dF=М_и ∫у²dF=J_x- наз-ся осевым моментом инерции сеч-я относ-но оси х

Е/ρ*J_x=М_и 1/ρ=М_и/(Е*J_x) – кривизна нейтр-ого слоя.

σ= Е*у/ρ=Е*у*М_и/(Е*J_x)= у*М_и/*J_x – справедливо и для чистого и для попер

Наиб эконом формы попер сеч балок:

1)Надо выбирать балки у котор большая часть мат-ла удалена от центра тяж-ти. Выгодно:

2)Расположение балки делают таким чтобы J_x=max

3)Выбор формы сеч-я зависит от мат-ла. Для пластич мат-ла лучше использ-ть балки с симметр сеч-ми относит-но нейтр оси у которых σ_maxpас=σ_{max сж}

для хрупк ассиметр сеч-я при этом сеч-я располагают так чтобы

σ_{max pас}<=σ_{max сж}

т.к. (σ_сж)=(3-5)*(σ_рас)

29 Условие прочности при изгибе. Подбор размеров поперечных сечений балок.

Усл проч-ти для симметр сеч-й относ-но оси х:

σ_maxpас=σ_{max сж}=М_и*0.5*h/J_x=М_и/W_x W_x=J_x/y –наз-ся осевым моментом сопр-я при изгибе.

1)пластич мат-л: σ_max=М_и/W_x<=(σ)

2)хруп мат-л: σ_max=М_и/W_x<=(σ_рас)

Ассиметричные сеч-я:

σ_{max рас} =М_и*y_{max рас}/J_x<=(σ_рас)

σ_{max сж} =М_и*y_{max сж}/J_x<=(σ_сж)

30 Потенциальная энергия деформации при чистом изгибе.

А_внеш=М₁*θ₁/2 dA_внут= - М_и*dθ/2

ρ – радиус крив-ны k –кривизна

dz=ρ*dθ

dθ=dz/ρ

k=1/ρ=М_и/(Е*J_x)

dθ= М_и*dz/(Е*J_x) dA= - М_и²*dz/(2*Е*J_x) U= -A_внут=

= -∫-М_и²*dz/(2*Е*J_x)=∫М_и²*dz/(2*Е*J_x) (от0 до L). – для попер изг-а М_и≠const.

Для чистого изгиба: М_и=const

U= М_и²*L/(2*Е*J_x)

31 Напряжение при поперечном изгибе: нормальные и касательные.

Поперечный М_изг≠0, Q≠0,N=0,M_к=0

σ= Е*у/ρ=Е*у*М_и/(Е*J_x)= у*М_и/*J_x – справедливо и для чистого и для попер

Касат напряж в произвольной точке попер сеч-я: τ_zy=τ=Q_y*S_x/(J_xb_y)

Q_y-попер сила в рассматр сеч-и S_x-статистич момент относит-но нейтр-ой оси той части сеч-я, которая распол-на по одну сторону прямой, провед-ой ч/з данную точку J_x- момент инерции всего сеч-я относит-но нейтр оси b_y-ширина попер сечения на уровне рассматриваемой точки.

32 Дифференциальное уравнение упругой линии балки, его интегрирование.

Перемещения: у- прогиб – это перемещ-е точек оси балки по нормали её недеформированной оси.

max прогиб-это стрела прогиба. Условие жесткости: у_max<=(y)

(y)=(0.01-0.001)*L

θ_A-угол поворота попер сеч-я балки, буде считать его = углу наклона касательной к оси z т.е. углу поворота оси балки. y=f(z) θ_A=tg θ_Aпри α<<

θ_A=dy/dz=y’ Условие жесткости: θ_max<=(θ) (θ)=(0.5-1)*град.

Изогнутая ось балки y=f(z) наз-ся упругой линией балки. Расчёт балки на жест-ть позволяет опр-ть размеры попереч сечения при которых перемещ-е не превышает установленные нормами пределы.

Правило знаков: y>0-перемещ вверх θ>0- поворот сеч-я против часовой стрелки.

Из матем-ки: k=1/ρ =y’’/(1+(y’)²)^3/2

Из сопромата: k=1/ρ =M_и/(ЕJ_x )

Точное диф ур-е:

y’’/(1+(y’)²)^3/2= M_и/(ЕJ_x)

y’=θ→min т.к.y’-мал,то (y’)²-пренебре-

гаем. Получаем: y’’= M_и/(ЕJ_x)

M_и= y’’ЕJ_x- основное диф ур-е упругой линии балки.

y'’=d²y/dz²=dy’/dz

аналитическое решение: M_и= y’’ЕJ_xЕJ_x=const ЕJ_xd(y’)=M_иdz

ЕJ_xy’= ∫M_иdz+C y’=θ=(∫M_иdz+C)/( ЕJ_x)

ЕJ_xdy/dz= ∫M_иdz+C

ЕJ_xdy= dz(∫M_иdz+C)

ЕJ_x= ∫dz∫M_иdz+C*z+D

C и D- произвольные const их опр-ют из условия операния балки.

y_A=0 θ_A=0

y_A=0 y_B=0

33 Метод начальных параметров вычисления перемещений при изгибе балок.

Для данного

напавления

все знаки +

1) ЕJ_xθ= ЕJ_xθ₀+∑M(z-a)+(∑P(z-b)²)/2+ +(∑q(z-c)³)/6+…

2) ЕJ_xy= ЕJ_xy₀+ ЕJ_xθ₀z+(∑M(z-a)²)/2+ +(∑P(z-b)³)/6+ +(∑q(z-c)⁴)/24+…

1)справедливы для балок с постоян жёсткостью ЕJ_x=const 2)Необходимо иметь только расчётную схему 3)Если q имеет разрыв непрерывности до сечения т.е.

то берутся дополнит слогаемые в 1-е: -(∑q(z-d)³)/6, во 2-е: -(∑q(z-d)⁴)/24

∑-алгеб сумма 4) y₀ и θ₀ опред-ся из условия операния балки.

34 Понятие о напряжённом состоянии в точке. Главные площадки и главные напряжения.

Объёмная деформация. (В-12)

Объёмное или 3-х осное напяж сост

σ₁≠0

σ₂≠0

σ₃≠0

Объем деф-я х-ся изменением объёма

υ=(V₁-V₀)/V₀ υ-относит изменение объёмаV₁-объем после деф-ииV₀-до

деф-ии

бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_i-I=Σ(Δl_i)

условие жесткости: δ_max<= (δ)

E- модуль Юнга- модуль упругости 1-го рода (модуль продольной упр-ти) Е_стали=2*10⁵МПа.

10 Потенциальная энергия деформации при растяжении, сжатии.

Элементарная dА_внеш=P*dδ P=f(δ) Δl=δ=P*l/(E*F) P=E*F*δ/l dA=(E*F*δ/l)*dδ A_внеш=

Работа внеш сил выражается площадью диаграммы построенной в коор-х Р*δ и равна половине произведения окончательной силы Р и перемещения δ.

dA_внут= - N*Δ(dz)/2

Δ(dz)=N*dz/(E*F)

dA_внут= -N²*dz/(2*E*F)

A_внут=-N²*dz/(2*E*F)

A_внут= -N²*l/(2*E*F)

Потен эн-я деф-ии наз-ся вел-на = работе внутр сил взятых с противопол знаком:

U= - A_внут=N²*l/(2*E*F), U=N²*dz/(2*E*F) A_внут= -А_внеш, U=A_внеш

11 Эпюры продольных сил, напряжений и перемещения при растяжении, сжатии.

Разбиваем брус на уч-ки границы кот-х нах-ся в точках прилож-я сосред-х сил

0<=z₁<=a a<=z₂<= a+b

Для каждого из уч-ов опр-ем вел-ну продольной силы N (в пределах уч-ка N=const) N₁=P₁ N₂= - P₂+P₁строим эпюру прод сил.

Для каждого из уч-ов опр-ем напряж-е: σ_i=N_i/F_i

Для кажд уч-ка опр-ем абсол деф-ю:

Δl_i=N_i*l/(E*F_i) и опр-ем перемещ-я (Перемещение (δ) относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_i-i=Σ(Δl_i)

12 Одноосное напряженное состояние. Определение напряжений в наклонных площадках. Закон парности касательных напряжений.

Напряж-е сост-е в точке хар-ся совокупностью напряж-й возникающ-х на бесконеч-ом множестве произ-но ориентированных площадок произ-но проведённых ч/з эту точку. Напряже сост хар-тся 9 компонентами σ_x σ_y σ_zτ_xy τ_xz τ_yx τ_yz τ_zx τ_zy

Главные площ-ки τ=0 х-ся 3 комп-ми: σ₁ >σ₂ >σ₃(в алгебр смысле). Направлении┴ глав площ наз-ся глав-

ми напр-ми Деф-ии┴ глав площ наз-ся глав-ми деф-ми

Линейное или одноосное напр сост:

σ_3или1≠0,

σ₂=σ_1или3=0

F_α=F/ cosα

1) ∑(Р_i)_{площадка}=0 σ_α*F_α –σ₁*F*cosα=0

σ_α* F/ cosα –σ₁*F*cosα=0

σ_α=σ₁*cos² α

2) ∑(Р_i)_{площадка}=0 τ_α*F_α –σ₁*F*cosα=0

τ_α* F/ cosα –σ₁*F*cosα=0

τ_α=σ₁*cos α * sin α = 0.5* σ₁* sin 2α

τ_max|_α=45= σ₁/2 τ_min|_{α=0, α=90}= 0

σ_α+π/2=σ₁*cos²(α+π/2)=

=σ₁*sin²α т.о.

σ_α + σ_α+π/2= σ₁*cos²α +

+ σ₁*sin²α = σ₁

т.о. сумма на 2-х взаимоперпендикуля

площ-ах = σ₁

τ_α+π/2=0.5*σ₁*sin2(α+π/2)=0.5*σ₁sin(2α+ +π)= - 0.5*σ₁sin(2α)

τ_α+ τ_α+π/2=0.5*σ₁sin(2α)- 0.5*σ₁sin(2α)=0

З-н парности кас напряж: на 2-х взаимоперпендик площ-х действуют = по вел-не и обратные по знаку касательные напр-я (τ).

τ_xy= - τ_yx

τ_zy= - τ_yz

τ_xz= - τ_zx

13 Деформации продольные и поперечные. Коэффициент Пуассона. (в –9)

14 Расчёты на прочность при растяжении/сжатии. Условия прочности.

N=f(σ)→ σ_i=N_i/F_i<=(σ)–для пластично

σ_ic<=( σ_с) σ_iр<=( σ_р) –для хрупкого

15 Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения пластичного материала механические характеристики.

16 Испытания хрупких материалов на растяжение/сжатие, механические характеристики.

17 Допускаемое напряжение, коэффициент запаса прочности.

Т.к. детали и сооруж-я должны безопасно работать и при неблагоприят условиях, то напряж-я должны быть ниже тех предельных напряж-й при которых может произойти разрушения или возник-ть пластич дефор-ции. Т.о.

(σ)= σ_u/n (σ)-допускаемое напяж-е

σ_u- предельное напяж-е материала

n – нормативный коэф запаса прочности (коэф безопасности). Коэф запаса проч-ти вводится для того чтобы обеспечить безопасную, надёж работу сооружений и отдельных его частей. Вопрос о “n” решается с учётом имеющегося опыта эксплуатц.

18 Чистый сдвиг. Закон Гука. Модуль сдвига. Напряжения и деформации.

Чистый сдвиг – напряж сост-е если на гранях эл-та действует только τ. Площ-ки на которых действует только τ наз-ся площ-ми чист сдвига. Q≠0 (Q_x или Q_y) Q=f(τ). Практические деф-ции сдвига/среза возник-ет когда брус нагружен 2-мя равными силами действующие на малом раст-ии друг от друга ┴ оси бруса и навстречу друг другу.

Напр-я: Q=P τ = Q/F (т.к равномерно распред-ны по сечению)

Деф-ия: γ – угловая деф-я γ= tgγ ΔS (абсолют деф-я)= γ*a γ =τ/G

V₀=1

l₁=l₂=l₃=1

для ед длины:ε₁=Δl₁/l₁= Δl₁/1= Δl₁ =>

V₁= (1+ ε₁)* (1+ ε₂)* (1+ ε₃)=1+ +ε₁ε₂+…+ ε₁ ε₂ ε₃+…+ ε₁+ ε₂+ ε₃

Т.к деф-ии малы то произвед-ями ε₁ε₂+…+ ε₁ ε₂ ε₃ε₂+…можно пренебречь.=> V₁= 1+ ε₁+ ε₂+ ε₃

υ=(V₁-V₀)/V₀=(1+ ε₁+ ε₂+ ε₃-1)/1= ε₁+ +ε₂+ ε₃

ε₁= ε₁₁ +ε₁₂ +ε₁₃=1/Е*(σ₁-μ*(σ₂+σ₃))

ε₂= ε₂₁ +ε₂₂ +ε₂₃=1/Е*(σ₂-μ*(σ₁+σ₃))

ε₃= ε₃₁ +ε₃₂ +ε₃₃=1/Е*(σ₃-μ*(σ₁+σ₂))- обобщенный з-н Гука для объем н.с. υ=(1-2μ)*(σ₁+σ₂+σ₃)/E

35 Обобщённый закон Гука.

Обобщ з-н Гука – это зависимость м/д деф-ми и напяж-ми при плоском и объёмном напр сост. Предпосылки для вывода: 1)используем з-н Гука для одноосного н.с.: ε=σ/Е 2)связь м/д продольными и попереч деф-ми:

ε’= -μ*ε 3)принцып наложения (независимости действия сил)

1)Для плоского н.с.:

ε_{12 1-}направление деф-ии _2-причина деф

ε₁₁= σ₁ /Е ε₂₂= σ₂ /Е

ε₂₁= -μ*ε₁₁=-μ* σ₁ /Е ε₁₂= -μ*ε₂₂=

= -μ* σ₂ /Е =>

ε₁= ε₁₁ +ε₁₂= σ₁ /Е - μ* σ₂ /Е=

=1/E *(σ₁-μσ₂)

ε₂= ε₂₂ +ε₂₁= σ₂ /Е - μ* σ₁ /Е=

=1/E *(σ₂-μσ₁)

2)Для объёмного н.с.:

ε₁= ε₁₁ +ε₁₂ +ε₁₃=1/Е*(σ₁-μ*(σ₂+σ₃))

ε₂= ε₂₁ +ε₂₂ +ε₂₃=1/Е*(σ₂-μ*(σ₁+σ₃))

ε₃= ε₃₁ +ε₃₂ +ε₃₃=1/Е*(σ₃-μ*(σ₁+σ₂))

(и В-34)

36 Удельная потенциальная энергия деформации, её представление в виде энергий изменения формы и объёма.

ε₁= ε₁₁ +ε₁₂ +ε₁₃=1/Е*(σ₁-μ*(σ₂+σ₃))

ε₂= ε₂₁ +ε₂₂ +ε₂₃=1/Е*(σ₂-μ*(σ₁+σ₃))

ε₃= ε₃₁ +ε₃₂ +ε₃₃=1/Е*(σ₃-μ*(σ₁+σ₂))

удельная потенц энергия е_р=U/V₀

Полная энергия U=∫е_рdV(по V)

V₀=1 е_р=U/1=U= - A_внут= - (A_{внут 1}+

+ A_{внут 2}+ A_{внут 3})

A_{внут 1}= - (σ₁* ε₁)/2 A_{внут 2}= - (σ₂* ε₂)/2 A_{внут 3}= - (σ₃* ε₃)/2

е_р=(σ₁* ε₁)/2+(σ₂* ε₂)/2+(σ₃* ε₃)/2

подставив ε₁ ε₂ ε₃ получим:

е_р=

е_р= е_р^{формоизменения}+ е_р^{объёмоизменения}

е_р^ф зависит от угловых деф-ий

е_р^о зависит от линейных деф-й сторон

е_р^ф=(1+μ)(σ₁²+σ₂²+σ₃²-σ₁σ₂-σ₁σ₃-

-σ₂σ₃)/3Е

е_р^о=(1-2μ)*(σ₁+σ₂+σ₃)²/6Е

37 Виды напряженных состояний в точке. Плоское напряженное состояние, определение главных напряжений. (В-12)

1)Прямая задача для плоского н.с.:

σ_α=σ₁*сosα+σ₂*sinα

τ_α=((σ₁-σ₂)/2)*sinα

τ_max|_α=45=(σ₁-σ₂)/2

2)Обратная задача для плоск н.с.

по σ_α σ_β τ найти σ₁ σ₂

а) tg2ψ₀=2τ/(σ_β-σ_α)-

положение

глав площ-ки

σ_{1(max)/3(min)}= (σ_α-σ_β)/2±(√((σ_α-σ_β)²+4τ²))/2 вел-на глав напр-й (+для σ_1(max) -для

σ_3(min))

б)для кручения

с изгибом

tg2ψ₀=2τ/σ

σ_1/3=σ/2±(√(σ²+4τ²))/2

(+для σ_1(max) -для σ_3(min))

38Понятия об эквивалентном напряжении и гипотезах прочности.

1)линейное н.с.(раст\сж, изгиб)

2)простое плоское н.с.(кручение, срез)

3)сложное н.с.

Гипотезы проч стремятся установить критерии проч-ти для мат-ла находящ-ся в сложном н.с. При этом слож н.с. сводится к одноосному линейному н.с. которое обознач-ся σ_экв и явл-ся равноопасным заданным плос или объёмным сост-м. σ_экв выр-ся ч/з напряж-я σ₁ σ₂ σ₃ т.о. σ_экв=f(σ₁ σ₂ σ₃) и устанавливается гипотезами прочн-и

σ_экв<=(σ)- условие проч при слож н.с.

I)гипотеза наиб-х нормальных напряж

σ_1/3<=(σ) (практикой не подтверждено)

II)гипотеза наиболь линейных деф-й

ε_1/3<=(ε)=σ/E(практикой не подтвержд)

III) Гипотеза max касательн напряж-й

τ_max(для слож н.с.)<=(τ)(для линей н.с.) τ_max =(σ₁-σ₃)/2 (τ)=(σ)/2

(σ₁-σ₃)/2<=(σ)/2 σ₁-σ₃<=(σ) =>

σ_{экв III}= σ₁-σ₃ т.к. не уч-ет σ₂ то погрешность сост≈ 15% прошла пров-ку временем но исполь только для пластических мат-ов

IV)Гипотез энергии формоизменения:

Прочность мат-ла при сложном н.с. обеспеч-ся если удельная потенц энергия формоизменения (е_р^ф) не превосходит допустимой е_р^ф установленной для одноосного н.с.

е_р^ф(для слож н.с.)<=(е_р^ф)(для линей н.с.

σ_эквIV==

=<=<= (σ) –самая применимая более всего оправдавшая себя на практике применима для пластич мат-лов

Мора) σ_{экв М}= σ₁ - ν σ₃<=(σ_р) или (σ_сж)

ν=(σ_р) / (σ_сж) подтверж практикой применимо для хрупких мат-ов

Для плоского н.с.(круч с изгибом):

σ₁= σ₃=

σ_{экв III}= σ₁- σ₃==

=<<=(σ)

σ_эквIV===

=

σ_{экв М}= σ₁ - ν σ₃=1/2*=

==

σ_экв=М_прив/W_x<=(σ) W_x=0.1d³

ΔS= τ*a/G=Q*a/(G*F) – з-н Гука в абс вел-нах, где G- модуль сдвига (модуль упругости II рода) хар-ет способность мат-ла сопротив-ся деф-ям сдвига.

А_внеш= -А_внут U= -A_внут= P*ΔS/2=

=Q* ΔS/2= Q²*a/(2*G*F)

19 Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Касательные напряжения при кручении.

Δ l=0 σ =0 γ (угол сдвига)≠0

τ (кас напр)= G*γ

Кручением наз-ся вид деф-ии при кот-м в поперечном сеч-ии возникает только 1-о внутр усилие – крутящий момент (М_кр)

Внеш скруч

мом-ы: М_скр

М_кi= ΣM_{скр i} Крутящий момент = алгеб сумме внеш-х скруч моментов действующих по1-ну сторону от сечения. Касатель напр-я: τ = G*γ

М_кр = f (τ)

Справедлива гипотеза Бернулли (о плоских и жест сеч-ях) Ось вала осталась прямолинейная. Геометр размеры без изм-я.

γ-угол сдвига образующей φ-угол закручивания или угол поворота попереч сечения. r- радиус γ_max=tg γ_max=NN’/dz=r dφ/dz γ_ρ= tg γ_ρ=kk’/dz= ρ dφ/dz τ_ρ =G*dφ/dz* ρ

dφ/dz=const G=const G* dφ/dz=const

S=0 → τ=0 S= r → τ_max

При круч-ии деф-ии сдвига γ и кас напр τ пропорц-ны расстоянию от оси вала ρ. dM_к= τ_ρ*dF *ρ M_к=∫dM_к(по F) = =∫ ρ *τ_ρ*dF = ∫ ρ²*G (dφ/dz)dF=G* dφ/dz ∫ ρ²dF ∫ ρ²dF=J_p- полярный момент инерции поперечного сечения.

dφ/dz=М_к/(G*J_p)

τ_ρ= G* ρ* М_к/(G*J_p)= М_к* S/J_p

J_p(для круга)=0.1*d⁴

J_p(пусто-ого вала)=0.1*D⁴*(1-c⁴) c=d/D

τ_max=М_к*r /J_p= M_к/W_p<=(τ) –усл проч-и

W_p=J_p/r W_p – полярный момент сопротивления = отнош-ю поляр моменту инер-ии к расст до наиболее удалённых волокон вала (r)

W_p (круг)= 0.2*d³

W_p(пустотел вал)= 0.2*D³*(1-c³) c=d/D

dφ =М_к* dz /(G*J_p) проинтегрируем обе части (правую от0доφ, лев от0доL)

М_к/(G*J_p)=const φ= М_к*l/(G*J_p) – з-н Гука

Перемещ сеченя: δφ=∑φ_i

Условие жесткости: δφ_max<=(φ)

Относит угол закр-я: θ=φ/l= М_к/(G*J<