Термодинамика

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ

1.1. Закрытые и открытые термодинамические системы.

1.2. Нулевое начало термодинамики.

1.3. Первое начало термодинамики.

1.4. Второе начало термодинамики.

1.4.1. Обратимые и необратимые процессы.

1.4.2. Энтропия.

1.5. Третье начало термодинамики.

ГЛАВА 2

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПОЛОЖЕНИЯ СИНЕРГЕТИКИ.

САМООРГАНИЗАЦИЯ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ.

2.1. Общая характеристика открытых систем.

2.1.1. Диссипативные структуры.

2.2. Самоорганизация различных систем и синергетики.

2.3. Примеры самоорганизации различных систем.

2.3.1. Физические системы.

2.3.2. Химические системы.

2.3.3. Биологические системы.

2.3.4. Социальные системы.

Постановка задачи.

ГЛАВА 3

АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ САМООРГАНИЗАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ.

3.1. Ячейки Бенара.

3.2. Лазер, как самоорганизованная система.

3.3. Биологическая система.

3.3.1. Динамика популяций. Экология.

3.3.2. Система «Жертва - Хищник».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

ЛИТЕРАТУРА.

ВВЕДЕНИЕ.

Наука зародилась очень давно, на Древнем Востоке, и затем интенсивно развивалась в Европе. В научных традициях долгое время оставался недостаточно изученным вопрос о

взаимоотношениях целого и части. Как стало ясно в середине

20 века часть может преобразовать целое радикальным и неожиданным образом.

Из классической термодинамики известно, что изолированные термодинамические системы в соответствии со вторым началом термодинамики для необратимых процессов энтропия системы S возрастает до тех пор, пока не достигнет своего максимального значения в состоянии термодинамического равновесия. Возрастание энтропии сопровождается потерей информации о системе.

Со временем открытия второго закона термодинамики встал вопрос о том, как можно согласовать возрастание со временем энтропии в замкнутых системах с процессами самоорганизации в живой и не живой природе. Долгое время казалось, что существует противоречие между выводом второго закона термодинамики и выводами эволюционной теории Дарвина, согласно которой в живой природе благодаря принципу отбора непрерывно происходит процесс самоорганизации.

Противоречие между вторым началом термодинамики и примерами высокоорганизованного окружающего нас мира было разрешено с появлением более пятидесяти лет назад и последующим естественным развитием нелинейной неравновесной термодинамики. Ее еще называют термодинамикой открытых систем. Большой вклад в становление этой новой науки внесли И.Р.Пригожин, П.Гленсдорф, Г.Хакен. Бельгийский физик русского происхождения Илья Романович Пригожин за работы в этой области в 1977 году был удостоен Нобелевской премии.

Как итог развития нелинейной неравновесной термодинамики появилась совершенно новая научная дисциплина синергетика - наука о самоорганизации и устойчивости структур различных сложных неравновесных систем: физических, химических, биологических и социальных.

В настоящей работе исследуется самоорганизация различных систем аналитическими и численными методами.

ГЛАВА 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

ТЕРМОДИНАМИКИ.

1.1. ЗАКРЫТЫЕ И ОТКРЫТЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ

СИСТЕМЫ.

Всякий материальный объект, всякое тело , состоящее из большого числа частиц, называется макроскопической системой . Размеры макроскопических систем значительно больше размеров атомов и молекул. Все макроскопические признаки , характеризующие такую систему и ее отношение к окружающим телам , называются макроскопическими параметрами . К их числу относятся такие , например , как плотность , объем , упругость , концентрация , поляризованность , намогниченность и т.д. Макроскопические параметры разделяются на внешние и внутренние .

Величины , определяемые положением не входящих в нашу систему внешних тел , называются внешними параметрами , например напряженность силового поля ( так как зависят от положения источников поля - зарядов и токов , не входящих в нашу систему ) , объем системы ( так как определяется расположением внешних тел ) и т.д. Следовательно внешние поараметры являются функциями координат внешних тел. Величины, определяемые совокупным движением и распределением в пространстве входящих в систему частиц , называются внутренними параметрами , например энергия , давление , плотность , намогниченность , поляризованность и т.д. ( так как их значения зависят от движения и положения частиц системы и входящих в них зарядов ).

Совокупность независимых макроскопических параметров определяет состояние системы , т.е. форму ее бытия . Величины не зивисящие от предыстории системы и полностью определяемые ее состоянием в данный момент ( т.е. совокупностью независимых параметров ), называются функциями состояния.

Состояние называется стационарным , если параметры системы с течением времени не изменяются.

Если , кроме того , в системе не только все параметры постоянны во времени , но и нет никаких стационарных потоков за счет действия каких-либо внешних источников , то такое состояние системы называется равновесным ( состояние термодинамического равновесия ). Термодинамическими системами обычно называют не всякие , а только те макроскопические системы , которые находятся в термодинамическом равновесии. Аналогично , термодинамическими параметрами называются те параметры , которые характеризуют систему в термодинамическом равновесии.

Внутренние параметры системы разделяются на интенсивные и экстенсивные . Параметры не зависящие от массы и числа частиц в системе , называются интенсивными ( давление , температура и др.) . Параметры пропорциональные массе или числу частиц в системе , называются аддитивными или экстенсивными ( энергия , энтропия и др. ) . Экстенсивные параметры характеризуют систему как целое , в то время как интенсивные могут принимать определенные значения в каждой точке системы .

По способу передачи энергии , вещества и информации между рассматриваемой системы и окружающей средой термодинамические системы классифицируются :

1. Замкнутая ( изолированная ) система - это система в которой нет обмена с внешними телами ни энергией , ни веществом ( в том числе и излучением ) , ни информацией .

2. Закрытая система - система в которой есть обмен только с энергией .

3. Адиабатно изолированная система - это система в которой есть обмен энергией только в форме теплоты .

4. Открытая система - это система , которая обменивается и энергией , и веществом , и информацией .

1.2. НУЛЕВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ .

Нулевое начало термодинамики сформулированное всего около 50 лет назад , по существу представляет собой полученное «задним числом» логическое оправдание для введения понятия температуры физических тел . Температура - одно из самых глубоких понятий термодинамики . Температура играет столь же важную роль в термодинамике , как , например процессы. Впервые центральное место в физике занял совершенно абстрактное понятие ; оно пришло на смену введенному еще во времена Ньютона ( 17 век) понятию силы - на первый взгляд более конкретному и «осязаемому» и к тому же успешно « математезированному» Ньютоном.

Первое начало термодинамики устанавливает внутренняя энергия системы является однозначная функция ее состояния и изменяется только под влиянием внешних воздействий.

В термодинамике рассматриваются два типа внешних взаимодействий: воздействие , связанное с изменением внешних параметров системы ( система совершает работу W ), и воздействие не связанные с изменением внешних параметров и обусловленные изменением внутренних параметров или температуры ( системе сообщается некоторое количество теплоты Q ).

Поэтому , согласно первому началу , изменение внутренней энергии U₂-U₁ системы при ее переходе под влиянием этих воздействий из первого состояния во второе равно алгебраической сумме Q и W , что для конечного процесса запишется в виде уравнения

U₂ - U₁ = Q - W или Q = U₂- U₁+ W (1.1)

Первое начало формируется как постулат и является обобщением большого количества опытных данных .

Для элементарного процесса уравнение первого начала такого :

dQ = dU + dW (1.2)

dQ и dW не являются полным дифференциалом, так как зависят от пути следования.

Зависимость Q и W от пути видна на простейшем примере расширение газа. Работа совершенная системой при переходе ее из состояния 1 в 2 ( рис. 1) по пути а изображается площадью, ограниченной контуром А1а2ВА :

W_а = p(V,T) dV ;

а работа при переходе по пути в - площадью ограниченную контуром А1в2ВА:

W_b = p(V,T) dV.

Рис. 1

Поскольку давление зависит не только от объема, но и от температуры, то при различных изменениях температуры на пути а и в при переходе одного и того же начального состояния (p₁,V₁) в одно и тоже конечное (p₂,V₂) работа получается разной. Отсюда видно , что при замкнутом процессе (цикле) 1а2в1 система совершает работу не равную нулю. На этом основана работа всех тепловых двигателей.

Из первого начала термодинамики следует, что работа может совершаться или за счет изменения внутренней энергии , или за счет сообщения системе количества теплоты . В случае если процесс круговой , начальное и конечное состояние совпадают U₂- U₁ = 0 и W = Q , то есть работа при круговом процессе может совершаться только за счет получения системой теплоты от внешних тел .

Первое начало можно сформулировать в нескольких видах :

1. Невозможно возникновение и уничтожение энергии .

2. Любая форма движения способна и должна превращаться в любую другую форму движения .

3. Внутренняя энергия является однозначной формой состояния .

4. Вечный двигатель первого рода невозможен .

5. Бесконечно малое изменение внутренней энергии является полным дифференциалом.

6. Сумма количества теплоты и работы не зависит от пути процесса.

Первый закон термодинамики , постулируя закон сохранения

энергии для термодинамической системы. не указывает направление происходящих в природе процессов. Направление термодинамических процессов устанавливает второе начало термодинамики.

1.4. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ.

Второе начало термодинамики устанавливает наличие в природе фундаментальной асимметрии , т.е. однонаправленности всех происходящих в ней самопроизвольных процессов .

Второй основной постулат термодинамики связан так же с другими свойствами термодинамического равновесия как особого вида теплового движения. Опыт показывает , что если две равновесные системы А и В привести в тепловой контакт , то независимо от различия или равенства у них внешних параметров они или остаются по прежнему в состоянии термодинамического равновесия , или равновесие у них нарушается и спустя некоторое время в процессе теплообмена ( обмена энергией ) обе системы приходят в другое равновесное состояние. Кроме того , если имеются три равновесные системы А,В и С и если системы А и В поразнь находятся в равновесии с системой С, то системы А и В находятся в термодинамическом равновесии и между собой (свойства транзитивности термодинамического равновесия ).

Пусть имеются две системы . Для того , чтобы убедится в том , что они находятся в состоянии термодинамического равновесия надо измерить независимо все внутренние параметры этих систем и убедиться в том , что они постоянны во времени. Эта задача черезвычайно трудная .

Оказывается однако , что имеется такая физическая величина , которая позволяет сравнить термодинамические состояния двух систем и двух частей одной системы без подробного исследования и внутренних параметров. Эта величина , выражающая состояние внутреннего движения равновесной системы , имеющая одно и то же значение у всех частей сложной равновесной системы независимо от числа частиц в них и определяемое внешними параметрами и энергией называется температурой .

Температура является интенсивным параметром и служит мерой интенсивности теплового движения молекул.

Изложенное положение о существовании температуры как особой функции состояния равновесной системы представляет второй постулат термодинамики.

Иначе говоря , состояние термодинамического равновесия определяется совокупностью внешних параметров и температуры.

Р.Фаулер и Э.Гуггенгейм назвали его нулевым началом , так как оно подобно первому и второму началу определяющим существование некоторых функций состояния , устанавливает существование температуры у равновесных систем. Об этом упоминалось выше.

Итак , все внутренние параметры равновесной системы являются функциями внешних параметров и температур .(Второй постулат термодинамики).

Выражая температуру через внешние параметры и энергию , второй постулат можно сформулировать в таком виде : при термодинамическом равновесии все внутренние параметры являются функциями внешних параметров и энергии.

Второй постулат позволяет определить изменение температуры тела по изменению какого либо его параметра , на чем основано устройство различных термометров.

1.4.1. ОБРАТИМЫЕ И НЕОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ.

Процесс перехода системы из состояния 1 в 2 называется обратимым , если возвращением этой системы в исходное состояние из 2 в 1 можно осуществить без каких бы то ни было изменений окружающих внешних телах.

Процесс же перехода системы из состояния 1 в 2 называется необратимым , если обратный переход системы из 2 в 1 нельзя осуществить без изменения в окружающих телах .

Мерой необратимости процесса в замкнутой системе является изменением новой функции состояния - энтропии , существование которой у равновесной системы устанавливает первое положение второго начала о невозможности вечного двигателя второго рода . Однозначность этой функции состояния приводит к тому , что всякий необратимый процесс является неравновесным.

Из второго начала следует , что S является однозначной функцией состояния. Это означает , что dQ/T для любого кругового равновесного процесса равен нулю. Если бы это не выполнялось , т.е. если бы энтропия была неоднозначной функцией состояния то , можно было бы осуществить вечный двигатель второго рода.

Положение о существовании у всякой термодинамической системы новой однозначной функцией состояния энтропии S , которая при адиабатных равновесных процессах не изменяется и состовляет содержание второго начала термодинамики для равновесных процессов.

Математически второе начало термодинамики для равновесных процессов записывается уравнением:

dQ/T = dS или dQ = TdS (1.3)

Интегральным уравнением второго начала для равновесных круговых процессов является равенство Клаузиуса :

dQ/T = 0 (1.4)

Для неравновесного кругового процесса неравенство Клаузиуса имеет следующий вид :

dQ/T < 0 (1.5)

Теперь можно записать основное уравнение термодинамики для простейшей системы находящейся под всесторонним давлением :

TdS = dU + pdV (1.6)

Обсудим вопрос о физическом смысле энтропии.

1.4.2. ЭНТРОПИЯ.

Второй закон термодинамики постулирует существование функции состояния , называемой «энтропией» ( что означает от греческого «эволюция» ) и обладающей следующими свойствами :

а) Энтропия системы является экстенсивным свойством . Если система состоит из нескольких частей , то полная энтропия системы равна сумме энтропии каждой части .

в) Изменение энтропии d S состоит из двух частей . Обозначим через d_еS поток энтропии, обусловленный взаимодействием с окружающей средой , а через d_i S - часть энтропии , обусловленную изменениями внутри системы , имеем

d S = d_e S + d_i S (1.7)

Приращение энтропии d_i S обусловленное изменением внутри системы , никогда не имеет отрицательное значение . Величина d_i S = 0 , только тогда , когда система претерпевает обратимые изменения , но она всегда положительна , если в системе идут такие же необратимые процессы.

Таким образом

d_i S = 0 (1.8)

( обратимые процессы );

d_i S > 0 (1.9)

( необратимые процессы );

Для изолированной системы поток энтропии равен нулю и выражения (1.8) и (1.9) сводятся к следующему виду :

d S = d_i S > 0 (1.10)

( изолированная система ).

Для изолированной системы это соотношение равноценно классической формулировке , что энтропия никогда не может уменьшаться , так что в этом случае свойства энтропийной функции дают критерий , позволяющий обнаружить наличие необратимых процессов . Подобные критерии существуют и для некоторых других частных случаев .

Предположим , что система , которую мы будем обозначать символом 1 , находится внутри системы 2 большего размера и что общая система , состоящая системы 1 и 2 , является изолированной.

Классическая формулировка второго закона термодинамики тогда имеет вид :

d S = d S¹ + d S² ³ 0 (1.11)

Прилагая уравнения (1.8) и (1.9) в отдельности каждой части этого выражения , постулирует , что d_i S¹ ³ 0 , d_i S² ³ 0

Ситуация при которой d_i S¹ > 0 и d_i S² < 0 , а d( S¹ + S² )>0 , физически неосуществима . Поэтому можно утверждать , что уменьшение энтропии в отдельной части системы , компенсируемое достаточным возрастанием энтропии в другой части системы , является запрещенным процессом . Из такой формулировки вытекает , что в любом макроскопическом участке системы приращение энтропии , обусловленное течением необратимых процессов , является положительным. Под понятием « макроскопический участок » системы подразумевается любой участок системы , в котором содержится достаточное большое число молекул , чтобы можно было принебреч микроскопическими флуктуакциями. Взаимодействие необратимых процессов возможно лишь тогда, когда эти процессы происходят в тех же самых участках системы .

Такую формулировку второго закона можно было бы назвать « локальной » формулировка в противоположность « глобальной » формулировка классической термодинамики . Значение подобной новой формулировке состоит в том ,что на ее основе возможен гораздо более глубокий анализ необратимых процессов .

1.5 ТРЕТЬЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ.

Открытие третьего начала термодинамики связано с нахождением химического средства - величины , характеризующих способность различных веществ химически реагировать друг с другом . Эта величина определяется работой W химических сил при реакции . Первое и второе начало термодинамики позволяют вычислить химическое средство W только с точностью до некоторой неопределенной функции . Чтобы определить эту функцию нужны в дополнении к обоим началам термодинамики новые опытные данные о свойствах тел . Поэтому Нернстоном были предприняты широкие экспериментальные исследования поведение веществ при низкой температуре .

В результате этих исследований и было сформулировано третье начало термодинамики : по мере приближения температуры к 0 К энтропия всякой равновесной системы при изотермических процессах перестает зависить от каких-либо термодинамических параметров состояния и в пределе ( Т= 0 К) принимает одну и туже для всех систем универсальную постоянную величину , которую можно принять равной нулю .

Общность этого утверждения состоит в том , что , во-первых , оно относится к любой равновесной системе и , во-вторых , что при Т стремящемуся к 0 К энтропия не зависит от значения любого параметра системы. Таким образом по третьему началу,

lin ( S (T,X₂) - S (T,X₁) ) = 0 (1.12)

или

lim ( dS/dX )_T = 0 при Т ® 0 (1.13)

где Х - любой термодинамический параметр (а_i или А_i).

Предельно значение энтропии , поскольку оно одно и тоже для всех систем , не имеет никакого физического смысла и поэтому полагается равным нулю (постулат Планка). Как показывает статическое рассмотрение этого вопроса , энтропия по своему существу определена с точностью до некоторой постоянной (подобно, например, электростатическому потенциалу системы зарядов в какой либо точке поля). Таким образом , нет смысла вводить некую «абсолютную энтропию», как это делал Планк и некоторые другие ученые.

ГЛАВА 2

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПОЛОЖЕНИЯ СИНЕРГЕТИКИ.

САМООРГАНИЗАЦИЯ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ.

Около 50 лет назад в результате развития термодинамики возникла новая дисциплина - синергетика. Являясь наукой о самоорганизации самых различных систем - физических , химических , биологических и социальных - синергетика показывает возможность хотя бы частичного снятия междисциплинных барьеров не только внутри естественно научной отросли знания , но так же и между естественно научной и гумонитарной культурами .

Синергетика занимается изучением систем , состоящих из многих подсистем самой различной природы , таких , как электроны , атомы , молекулы , клетки , нейтроны , механические элементы , фотоны , органы , животные и даже люди.

При выборе математического аппарата необходимо иметь ввиду , что он должен быть применим к проблемам , с которыми сталкиваются физик , химик , биолог , электротехник и инженер механик. Не менее безотказно он должен действовать и в области экономики , экологии и социологии .

Во всех этих случаях нам придется рассматривать системы , состоящие из очень большого числа подсистем , относительно которых мы можем не располагать всей полной информацией . Для описания таких систем не редко используют подходы , основанные на термодинамики и теории информации.

Во всех системах , представляющих интерес для синергетики , решающую роль играет динамика. Как и какие макроскопические состояния образуются, определяются скоростью роста (или распада) коллективных «мод» . Можно сказать что в определенном смысле мы приходим к своего рода обобщенному дарвенизму , действие которого распознается не только на органический ,но и на неорганический мир : возникновение макроскопических структур обусловленных рождением коллективных мод под воздействием флуктуаций , их конкуренцией и , наконец, отбором «наиболее приспособленной» моды или комбинации таких мод.

Ясно, что решающую роль играет параметр «время» . Следовательно , мы должны исследовать эволюцию систем во времени . Именно поэтому интересующие нас уравнения иногда называют «эволюционными».

2.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ.

Открытые системы - это термодинамические системы , которые обмениваются с окружающими телами ( средой ) , веществом , энергией и импульсом . Если отклонение открытой системы от состояния равновесия невелико , то неравновесное состояние можно описать теми же параметрами (температура , химический потенциал и другие) , что и равновесное . Однако отклонение параметров от равновесных значений вызывают потоки вещества и энергии в системе . Такие процессы переноса приводят к производству энтропии . Примерами открытых систем являются : биологические системы , включая клетку , системы обработки информации в кибернетике , системы энергоснабжения и другие . Для поддержания жизни в системах от клетки до человека необходим постоянный обмен энергией и веществом с окружающей средой . Следовательно живые организмы являются системами открытыми , аналогично и с другими приведенными параметрами. Пригожиным в 1945 году был сформулирован расширенный вариант термодинамики.

В открытой системе изменение энтропии можно разбить на сумму двух вкладов :

d S = d S_e + d S_i (2.1)

Здесь d S_e - поток энтропии , обусловленный обменом энергией и веществом с окружающей средой , d S_i - производство энтропии внутри системы (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Схематическое представление открытых

систем : производство и поток энтропии.

Х - набор характеристик :

С - состав системы и внешней среды

Р - давление Т - температура.

Итак , открытая система отличается от изолированной наличием члена в выражении для изменения энтропии , соответствующего обмену . При этом знак члена d S_e может быть любым в отличии от d S_i .

Для неравновесного состояния :

S < S_max

Неравновесное состояние более высокоорганизованно , чем равновесное , для которого

S = S_max

Таким образом эволюцию к более высокому порядку можно представить как процесс , в котором система достигает состояния с более низкой энтропией по сравнению с начальной .

Фундаментальная теорема о производстве энтропии в открытой системе с независимыми от времени краевыми условиями была сформулирована Пригожиным: в линейной области система эволюционирует к стационарному состоянию , характеризуемому минимальным производством энтропии , совместимым с наложенными граничными условиями .

Итак состояние всякой линейной открытой системы с независящими от времени краевыми условиями всегда изменяется в направлении уменьшения производства энтропии P = d S / d t пока не будет достигнуто состояние текущего равновесия , при котором производство энтропии минимально :

d P < 0 (условие эволюции)

P = min , d P = 0 (условие текущего равновесия)

d P/ d t < 0 (2.2)

2.1.1. ДИССИПАТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ.

Каждая система состоит из элементов (подсистем) . Эти элементы находятся в определенном порядке и связаны определенными отношениями. Структуру системы можно назвать организацию элементов и характер связи между ними.

В реальных физических системах имеются пространственные и временные структуры .

Формирование структуры - это возникновение новых свойств и отношений в множестве элементов системы . В процессах формирования структур играют важную роль понятия и принципы :

1. Постоянный отрицательный поток энтропии .

2. Состояние системы в дали от равновесия .

3. Нелинейность уравнений описывающих процессы .

4. Коллективное (кооперативное) поведение подсистем .

5. Универсальный критерий эволюции Пригожина - Гленсдорфа.

Формирование структур при необратимых процессах должно сопровождаться качественным скачком (фазовым переходом) при достижении в системе критических значений параметров. В открытых системах внешний вклад в энтропию (2.1) d S в принципе можно выбрать произвольно , изменяя соответствующим образом параметры системы и свойства окружающей среды . В частности энтропия может уменьшаться за счет отдачи энтропии во внешнюю среду , т.е. когда d S < 0 . Это может происходить , если изъятие из системы в единицу времени превышает производство энтропии внутри системы , то есть

d S dS_e dS_i

¾ < 0 , если ¾ > ¾ > 0 (2.3)

d t dt dt

Чтобы начать формирование структуры , отдача энтропии должна превысить некоторое критическое значение . В сильно неравновесном расстоянии переменные системы удовлетворяют нелинейным уравнениям .

Таким образом , можно выделить два основных класса необратимых процессов :

1. Уничтожение структуры вблизи положения равновесия . Это универсальное свойство систем при произвольных условиях .

2. Рождение структуры вдали от равновесия в открытой системе при особых критических внешних условиях и при нелинейной внутренней динамики . Это свойство не универсально .

Пространственные , временные или пространственно-временные структуры , которые могут возникать вдали от равновесия в нелинейной области при критических значениях параметров системы называются диссипативными структурами.

В этих структурах взаимосвязаны три аспекта :

1. Функция состояния , выражаемая уравнениями .

2. Пространственно - временная структура , возникающая из-за неустойчивости .

3. Флуктуации , ответственные за неустойчивости .

Рис. 1. Три аспекта диссипативных структур.

Взаимодействия между этими аспектами приводит к неожиданным явлениям - к возникновению порядка через флуктуации , формированию высокоорганизованной структуры из хаоса.

Таким образом , в диссипативных структурах происходит становление из бытия , формируется возникающее из существующего.

2.2. САМООРГАНИЗАЦИЯ РАЗЛИЧНЫХ СТСТЕМ И

СЕНЕРГЕТИКА.

Переход от хаоса к порядку , происходящий при изменении значений параметров от до критических к сверхкритическим , изменяет симметрию системы . По этому такой переход аналогичен термодинамическим фазовым переходам . Переходы в неравновесных процессах называются кинетическими фазовыми переходами . В близи неравновесных фазовых переходов не существует непротиворечивого макроскопического описания . Флуктуации столь же важны , как и среднее значении . Например , макроскопические флуктуации могут приводить к новым типам не устойчивостей .

Итак , в дали от равновесия между химической , кинетической и пространственно-временной структурой реагирующих систем существует неожиданная связь . Правда , взаимодействие , определяющие взаимодействие констант скоростей и коэффициентов переноса , обусловлены короткодействующими силами ( силами валентности , водородными связями и силами Ван-Дер-Вальса) . Однако решения соответствующих уравнений зависят , кроме того , от глобальных характеристик . Для возникновения диссипативных структур обычно требуется , чтобы размеры системы превышали некоторое критическое значение - сложную функцию параметров , описывающих реакционно-диффузионные процессы . Мы можем по этому утверждать , что химические неустойчивости задают дальнейший порядок , посредством которого система действует как целое .

Если учесть диффузию , то математическая формулировка проблем , связанных с диссипативными структурами , потребует изучении дифференциальных уравнений в частных производных . Действительно , эволюция концентрации компонент Х со временем определяется уравнением вида

(2.4)

где первый член дает вклад химических реакций в изменении концентрации Х_i и обычно имеет простой полиноминальный вид , а второй член означает диффузию вдоль оси r.

По истине поразительно , как много разнообразных явлений описывает реакционно-диффузное уравнение (2.4 ) , по этому интересно рассмотреть ² основное решение ² , которое бы соответствовала термодинамической ветви . Другие решения можно было бы получать при последовательных не устойчивостях , возникающих по мере удаления от состояния равновесия . Неустойчивости такого типа удобно изучать методами теории бифуркации ( Николис и Пригожин , 1977) . В принципе , бифуркация есть нечто иное , как возникновение при некотором критическом значении параметра нового решения уравнений . Предположим , что мы имеем химическую реакцию , соответствующую кинетическому уравнению ( Маклейн и Уолис , 1974) .

d X

¾ = a X (X-R) (2.5)

d t

Ясно что при R < 0 существует только одно решение , независящее от времени , X = 0 . В точке R = 0 происходит бифуркация , и появляется новое решение X = R .

Рис. 2.3. Бифуркационная диограмма для уравнения ( 2.5.) .

Сплошная линия соответствует устойчивой ветви ,

точки - неустойчивой ветви .

Анализ устойчивости в линейном приближении позволяет проверить , что решение X = 0 при переходе через R = 0 становится неустойчивым , а решение X = R - устойчивым . В общем случаи при возрастании некоторого характеристического параметра р происходят последовательные бифуркации . На рисунке 2.4. показано единственное решение при р = р₁, но при

р = р₂ единственность уступает место множественным решения .

Интересно отметить , что бифуркация в некотором смысле вводит в физику и в химию , историю - элемент , который прежде считался прерогативой наук занимающихся изучением биологическим , общественных и культурных явлений .

Рис. 2.4. Последовательные бифуркации :

А и А¹ - точки первичных бифуркаций из

термодинамической ветви ,

В и В¹ - точки вторичной бифуркации .

Известно , что при изменении управляющих параметров в системе наблюдаются разнообразные переходные явления . Выделим теперь из этих наблюдений определенные общие черты , характерные для большого числа других переходов в физико химических системах .

С этой целью представим графически (рис. 2.5) зависимость вертикальной компоненты скорости течения жидкости в некоторой определенной точке от внешнего ограничения , или , в более общем виде , зависимость переменной состояние системы Х (или х = Х - Х_s ) от управляющего параметра l . Таким образом мы получим график , известный под названием бифуркационной диаграммы .

Рис. 2.5. Бифуркационная диаграмма :

а - устойчивая часть термодинамической ветви ,

а¹ - не устойчивая часть термодинамической ветви ,

в₁ ,в₂ - диссипативные структуры , рожденные в

сверхкритической области .

При малых значения l возможно лишь одно решение , соответствующее состоянию покоя в бенаровском эксперименте .Оно представляет собой непосредственную экстрополяцию термодинамического равновесия , и подобно равновесно , характеризующейся важным свойством - асимптотической устойчивостью , поскольку в этой области система способна гасить внутренние флуктуации или внешнее возмущения . По этой причине такую ветвь состояний мы будем называть термодинамической ветвью . При переходе критического значения параметра l , обозначенного l_c на рисунке 2.5. , состоящие на этой ветви становится неустойчивыми , так как флуктуации или малые внешние возмущение уже не гасятся . Действуя подобно усилителю , система отклоняется от стационарного состояния и переходит к новому режиму , в случае бенаровского эксперимента соответствующему состоянию стационарной конвекции . Оба этих режима сливаются при l = l_c и различаются при l > l_c . Это явление называется бифуркацией . Легко понять причины , по которым это явление следует ассоциировать с катастрофическими изменениями и конфликтами. В самом деле , в решающий момент перехода система должна совершить критический выбор ( в окрестности l = l_c ) , что в задаче Бенара связано с возникновением право- или левовращательных ячеек в определенной области пространства ( рис. 2.5. , ветви в₁ или в₂ ) .

В близи равновесного состояния стационарное состояние асимптотических устойчивы (по теореме о минимальном производстве энтропии ) , по этому в силу непрерывности эта термодинамическая ветвь простирается во всей докритической области . При достижении критического значения термодинамическая ветвь может стать неустойчивой , так что любое , даже малое возмущение , переводит систему с термодинамической ветви в новое устойчивое состояние , которое может быть упорядоченным . Итак , при критическом значении параметром произошла бифуркация и возникла новая ветвь решений и , соответственно , новое состояние . В критической области , таким образом , событие развивается по такой схеме :

Флуктуация ® Бифуркация ®

неравновесный фазовый переход ®

Рождение упорядоченной структуры .

Бифуркация в широком понимании - приобретении нового качества движениями динамической системы при малом изменении ее параметров ( возникновение при некотором критическом значении параметра нового решения уравнений ) . Отметим , что при бифуркации выбор следующего состояния носит сугубо случайный характер , так что переход от одного необходимого устойчивого состояния к другому необходимому устойчивому состоянию