Поля и Волны

Лекция 7

Плоские электромагнитные

волны

7.1. Понятие волнового процесса.

7.2. Плоские волны в идеальной среде.

7.3. Плоские волны в реальных средах.

7.4.Распространение волнового пакета. Групповая скорость.

7.5. Поляризация ЭМВ.

7.1. Понятие волнового процесса.

Мир, в котором мы живем, - мир волн. Чем характеризуется мир волн, волновых процессов ?

Волновой процесс имеет следующие характерные признаки:

1. Волновой процесс всегда переносит энергию и импульсы. Нас интересуют волновые процессы ЭМВ.

2. Конечная скорость всех волновых процессов. В случае ЭМВ - это скорость света.

3. Независимость волновых процессов друг от друга. В этой комнате существуют поля самых разных частот, поля р/станций, света и т.д.

4. Волновые процессы, различные по физической природе, описываются одним и тем же математическим аппаратом.

Под волновым процессом понимают возмущение некоторой величины в пространстве, перемещающееся с конечной скоростью, переносящее мощность без переноса вещества.

7.2. Плоская ЭМВ в идеальной среде.

Под плоской ЭМ волной понимают волновой процесс, у которого составляющие электрического и магнитного полей изменяются в одинаковой фазе в плоскости перпендикулярной направлению распространения.

 

(7.2.1.) rot H = j _a E  Используем для анализа

   1 - е и 2 - е уравнения

(7.2.2.) rot E = - j _a H  Максвелла

Источники, создающие плоские волны не входят в эти уравнения. Мы рассматриваем волновые процессы в дальней зоне, т.е. в пространстве за пределами

 

зарядов и токов. Решим уравнения относительно Е и Н.



Из уравнения (7.2.1.) выразим Е и подставим в (7.2.2.):

 

E = () rot H

 

() rot (rot H) = - j_a H

  

rot rot H = grad div A - ² H

  

grad div H - ² H = ²_a_a H



т.к. div H = 0 - четвертое уравнение Максвелла

 

² H + k² H = 0 однородное волновое ур-е Гельмгольца (7.2.3.)

k² = ²_a_a

Точно так же из второго уравнения получаем



уравнения для вектора Е:

• 

² E + k² E = 0 - однородное волновое ур-е Гельмгольца (7.2.4.)

В развернутом виде запишем уравнения:

() +() +() + k² H = 0 (7.2.5.)

Решать такое уравнение трудно. Предположим, что источник ЭМ колебаний находится очень далеко от той области, где рассматриваем волны.

r₁ r₂ r₃

т.к. источник очень далеко, то расстояния до точки можно считать одинаковым. Из физического смысла задачи, можно утверждать, что изменения полей по координате y, х нет, т.е.:

= = 0

() + k² H = 0 (7.2.6.)

Для плоской ЭМВ волновое уравнение упрощается. Решение уравнения:

H(z) = A e ^{- jkz} + B e ^jkz в обычной форме

H(z,t) = e^jt (A e ^{- jkz} + B e ^jkz)  если поле зависит от времени.

 

H(z,t) = h  означает, что поле векторное.

 

H(z,t) = h (A e^j(t-kz) + B e ^j(t+kz)) (7.2.7.)

Выделим составляющую поля c амплитудой А:

 

H_a(z,t) = h A e ^j(t-kz) - в комплексной форме.

(7.2.8.)

Выделим из комплексного выражения действительную часть:

 

H_a^реал(z,t) = Re H_a(z,t) = h A cos(t - kz) (7.2.9.)

z₁ z₂

Фотография процесса в момент времени t = t₁, t = t₂. С какой скоростью перемещается фронт с одинаковой фазой ? Выясним это:

Ф₁ = t₁ - kz₁ ; Ф₂ = t₂ - kz₂ (7.2.10.)

Прибор регистрирует одинаковую напряженность, надо потребовать, чтобы Ф₁ = Ф₂

t₁ - kz₁ = t₂ - kz₂

k (z₂ - z₁) =  (t₂ - t₁)

= V_ф - называется фазовой скоростью волны.

k = _a_a

V_ф = - зависит от свойств среды,

где распространяется ЭМВ.

₀ = 8,85*10 ^–12, ₀ = 4*10^-7,

V = 3*10⁸(7.2.11.)

 - называют пространственную периодичность волнового процесса.

 - это длина пути, которую проходит фронт с одинаковой фазой за период, или- это есть расстояние, которое проходит фазовый фронт за 1 период.

в т. Z₁ Ф₁ = t - kz₁

в т. Z₂ Ф₂ = t - kz₂

Ф₁ - Ф₂ = 2

z₂ - z₁ = = 

k = - волновое число

V_ф = = f  если в вакууме, то

V_ф = c

V_ф = f  (7.2.12.)

Выясним связь напряженностей Е и Н в ЭМВ:

 

rot H = j _a E

 

rot E = - j _a H

Спроектируем уравнение на оси координат:

. . .

 i j k

rot H =

H_x H_y H_z

-() = j_a E_x

= j_a E;

0 = j_a E_z



E_z = 0

-() = - j_a H_x , 0 = - j_aH_z

= - j _a H_y , H_z = 0 (7.2.13.)

В ЭМВ отличны от нуля только две составляющие в плоскости  плоскости распространения:

-() = j_aE_x

j k H_y = j_a E_y

(7.2.14.)

Это лишний раз подчеркивает, что сферические волны излучателя в дальней зоне превращаются в плоские ЭМВ.

 

Ориентация векторов Е и Н.

 

Для плоской ЭМВ Е всегда  Н.



Покажем, что величина Е Н = 0:

 

E H = E H cos (E H) = 0

(i E_x + j E_y) (i H_x + j H_y)

E_xH_x + E_yH_y­ = Z_c H_yH_x - Z_cH_xH_y = 0

E_x = Z_c H_y ; E_y = - Z_c H_x

 

E  H всегда в плоской ЭМВ

 

H = y₀ A e ^j(t-kz) общая запись

  плоской ЭМВ.

H = x₀ A Z_c e ^j(t-kz) (7.2.15.)

Поскольку в рассматриваемой задаче рассматривается только один источник, то учитываем только волну с амплитудой А. В пространстве имеются

 

2 взаимно перпендикулярных поля ( Е и Н). Как определить направление переноса энергии ?

  

П_ср = () Re (E H^*)

Итоги: 

1. Составляющие Е и Н лежат в плоскости перпендикулярной направлению распространения и изменяются в фазе (там где max Е там max Н, и наоборот)

2. Отношение = Z_c определенная величина в случае вакуума Z_c = 120 . Плоская ЭМВ однородная.

3. Амплитуды Е и Н не зависят от поперечных координат.

4. У плоской ЭМВ E_z = 0 , H_z = 0.

7.3. Плоские волны в реальных средах.

Предыдущий анализ относился к идеальным средам. В реальных средах часть энергии будет теряться в среде, значит амплитуда волны будет убывать. Любая реальная среда - набор связанных зарядов (диполей), могут быть и свободные заряды.

Часть энергии переходит в тепло. Количественно опишем процесс.

В реальных средах, при гармонических воздействиях проницаемости величины комплексные:

 = `_a - j _a``

 = _a` - j _a`` (7.3.1.)

Все рассуждения и результаты сохраняют силы, но параметры _а_а - комплексные.

Амплитудные соотношения.

С этой целью рассмотрим, что представляет собой волновое число в реальной среде:

____ _________________

k = _a_a =  (_a`- j<sub>a</sub>``)(<sub>a</sub>`- j_a``) =  - j (7.3.1.)

поскольку величины _а и _а - комплексные, то k - тоже величина комплексная. К каким последствиям это может привести ? Рассмотрим волновой процесс:

  

H (z,t) = y₀ A e ^j(t-kz) = y₀ A e ^{t-(jz)} =



= y₀ A e ^ e^{j(t-} (7.3.3.)

Параметр  получил название коэффициента затухания.  - фазовая постоянная - вещественная часть волнового числа.

V_ф =  /  в реальных средах (7.3.4.)

Понятие  было введено для идеального диэлектрика. Если затухание мало, то можно выбрать точки, где поля отличаются по фазе на 2 и считать, что это . Если затухание очень велико, периодичность процесса теряет смысл (соленая вода), понятием  можно пользоваться условно.

Количественная оценка.

Рассмотрим поведение амплитуды в точках:

в т. Z₁ H(Z₁) = A e ^{- 1}

в т. Z₂ H(Z₂) = A e ^{- 2}

Изменение

a = 20 lg () = 20 lg () =

= 20 lg e ^{2- 1} = 20  (Z₂ - Z₁) lg ℓ

Z₂ - Z₁ = ℓ

a = 8,69  l (дБ) (7.3.5.)

во столько раз, пересчитанных в дБ уменьшилась амплитуда поля .

Под глубиной проникновения поля понимают расстояние, на котором амплитуда поля убывает в е раз

 

(вектор Е и Н).

Изменение поля Н = A e ^{- }. На расстоянии равном глубине проникновения в точке Z = 0, Н₁ = А

в т. Z = ⁰ H₂ = A e ^{- }

= е = е ^{- } ; ⁰ = 1

⁰ = (7.3.6.)

Фазовые соотношения

Воспользуемся понятием “характеристическое сопротивление cреды”

____ ________________

Z_c = = _a` - j<sub>a</sub>``/ <sub>a</sub>`- j_a``=Z_c e^j (7.3.7.)

в реальных средах Z_c величина комплексная. Поведение

 

Е и Н в реальной среде:

 

H(z,t) = y₀ A e ^{- } e ^{j(t-}

 

E(z,t) = x₀ A Z_c e ^{- } e ^{j(t-} =



= x₀ A Z_ce ^{- } e ^{j(t-} (7.3.8.)

Модуль характеристического сопротивления означает отношение амплитуд между электрическим и магнитным полями, а фаза характеристического сопротивления показывает величину сдвига фаз между

   

Е и Н. В реальных средах всегда Е и Н сдвинуты на некоторую величину.

Волновой процесс в реальных средах

Расчет коэффициента затухания и

фазовой постоянной в реальной среде

Проведем расчет для частного случая, широко используемого на практике.

Реальная cреда не магнитный диэлектрик.

_a = _a`- j<sub>a</sub>`` ; <sub>a</sub> = <sub>a</sub>`- j0 = _ (7.3.9.)

(почва, вода)

Порядок расчета:

1) Из общих выражений для k:

____________

k =  - j =  (_a`- j<sub>a</sub>``) <sub>a</sub>` (7.3.10.)

Выделим вещественную и мнимую часть. Для этого левую и правую часть возведем в квадрат, т.к. надо избавиться от радикалов:

² - 2 j - ² = ²_a`<sub>a</sub> ` - j²_a``_a`

Два комплексных числа тогда равны, когда равны и вещественные и мнимые части.

 ² - ² = ²_a`<sub>a</sub>`



 2 = ²_a``_a`

²_a`<sub>a</sub>` = q - обозначим

²_a``_a` = <sup>2</sup><sub>a</sub>`_a= q tg 

= tg  (7.3.11)

 ² - ² = q ;  =



 2 = q tg

² - () tg² - q = 0

⁴ - q² - () tg² = 0

² =

Какой знак взять + или - ?

Исходя из физического смысла оставляем только +, т.к.  - будет отрицательная.

² = (1 +  1 + tg²)

 = ( 1 + tg² + 1) (7.3.12)

для  решение аналогичное:

 =  (7.3.13)

Выводы:

1. По определению V_ф =

V_ф =

tg  =

V_ф зависит от частоты. Встретились с явлением дисперсии. Зависимость V_ф от f называется дисперсией. Идеальная среда не обладает дисперсией.

 = 0 - идеальная среда

  0 - реальная

Рассмотрим поведение ЭМВ в двух случаях:

1) Среда с малыми потерями, малым затуханием:

tg << 1

_____

 = _a`<sub>a</sub>` (7.3.14.)

 совпадает с волновым числом для идеального диэлектрика с параметрами _а, _а.

Для :

________

 1 + tg² 1 + () tg² - разложение в ряд

_____

 1 + x  1 + x²

 = tg =() _a`<sub>a</sub>`

чем > tg , тем >. (7.3.15)

2) Среда с большими потерями.

tg  >> 1

 = tg

 = 

 =  = 

tg  =

 =  = (7.3.16.)

⁰ =

Пример:

Определить во сколько раз уменьшается амплитуда волны на расстоянии равном длине волны (в среде с большими потерями).

e^ = e^ = e ^{} = e ^ = 540 раз

7.4. Групповая скорость плоских волн

Все реальные сообщения занимают определенный спектр частот и возникает вопрос, какой реальный сигнал передается ?





₁ ₂₃

В реальных средах, каждая гармоническая составляющая передается со своей скоростью ₁₂₃. С какой скоростью передается сигнал ?

Рассмотрим простой случай, когда сообщение состоит из двух гармонических сигналов:

₁ = A cos (₁t - k₁ Z)

₂ = A cos (₂t - k₂ Z) (7.4.1.)

Рассмотрим сложение двух сигналов:

 ₌ ₁ + ₂ = A (cos (₁t - k₁ Z) + cos (₂t - k₂Z))

 = 2A cos ((₁ -) t - (k₁ -) Z) *

*cos ((₁ +) t - (k₁ +) Z)

=  = ₀

=  k = k₀

  << ₀ k << k₀

 = 2 A cos (t -  k Z) cos (₀t - k₀Z) (7.4.2.)

----------------------- -------------------

описывает медленно описывает быстро изменяющийся волновой процесс.

При оценке скорости реальных сигналов, специалисты рассматривают скорость переноса max энергии. Рассмотрим с какой скоростью изменяется в пространстве фронт max амплитуд.

в т. Z₁ , t₁ Ф₁ = t₁ -  kZ₁ ,

в т. Z₂ , t₂ Ф₂ = t₂ -  k Z₂

Ф₁ = Ф₂t₁ -  kz₁ = t₂ - k Z₂

k (Z₂ - Z₁) =  (t₂ - t₁)

=V_гр

= V_гр (7.4.3.)

V_гр по физическому смыслу характеризует скорость перемещения огибающей сигнала. С движением огибающей связано перемещение энергии, поэтому с групповой скоростью связано перемещение энергии:

V_гр c V_ф >< c

V_ф связана с изменением состояния, а не с переносом энергии.

V_ф - скорость изменения состояния фазового фронта.

Пример: Лампочки последовательно загораются, изменение скорости состояния загорания может сколько угодно большой.

7.5. Поляризация плоских электромагнитных волн

Под поляризацией будем понимать заданную в

 

пространстве ориентацию вектора Е или Н. Различают 3 вида поляризации: линейную (вектор Е и Н ориентирован всегда вдоль одной линии прямой),

 

круговую поляризация (вектор Е или Н вращается по кругу), эллиптическую поляризация (вектор Е или Н вращается по эллипсу).

Возьмем два ортогональных колебания:

Е_х = А cos (t - kz)

E_y = B cos (t - kz + ) (7.5.1.)

 - показывает сдвиг во времени, они не совпадают по фазе.

Что получится в результате сложения двух ортогональных колебаний ?

1) А  В амплитуды разные, а сдвиг фаз равен 0.

y ( = 0)

_____ ___________

в E =  E²_x + E²_y =  A² + B² cos (t-kz)

_

 = arctg = arctg () (7.5.2.)

Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний, изменяющихся в одной фазе, но с разной амплитудой дает линейно- поляризованное колебание ориентированное под некоторым углом.

2) А = В ;  =  (/2)

Два ортогональных колебания по определению:

 = arctg () = arctg=

= arctg  tg (t - kz) =  (t - kz)

Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний изменяющихся с одинаковой амплитудой и фазой со сдвигом /2 дает вращающее колебание (колебание с круговой поляризацией).

___________ _____________________________

E =E²_x+E²_y=A²cos² (t - kz) + A²sin² (t - kz) = A

E = A

Направление вращения определяется опережением или отставанием по фазе.

3) В общем случае, когда А  В, и фазы разные, вектор

 

Е или Н вращается по эллипсу.

Любую волну с линейной поляризацией можно представить в виде двух волн с круговой поляризацией, имеющих разное направление.

1 2 3 4 5

Явление поляризации широко используется на практике. Все приемные устройства (служебная связь - вертикальная поляризация, в России прием ТВ на горизонтальную поляризацию, вертикальная поляризация - режим передачи, горизонтальная - режим приема. Круговая поляризация широко используется в радиолокации.