Метрология

Метод приведения Он используется для определения результа­тов косвенного измерения и его погрешности при наличии корреля­ции между погрешностями измерений аргументов. Метод можно также применять при неизвестных распределениях погрешностей аргументов. Он предполагает наличие ряда согласованных результа­тов измерений аргументов Q₁₁,Q,₁₂,…,Q_1m; Q₂₁, Q₂₂, …, Q_2m; …, Q_j1, Q_J2, …, Q_jm; …; Q_L1, Q_{L2, …,} Q_Lm, полученных в процессе многократ­ных измерений. Согласованность результатов измерений означает либо одновременное их осуществление, либо то, что они выполнены над одним и тем же объектом и в одних и тех же условиях.

Метод основан на приведении отдельных значений косвенно изме­ряемой величины к ряду простых измерений. Получаемые сочетания отдельных аргументов подставляют в формулу (8.6) и вычисляют отдельные значения измеряемой величины Q: Q₁, Q₂, ..., Q_j, ,Q_L.

Результат косвенного измерения и СКО его случайной по­грешности вычисляются по формулам

Доверительные границы случайной погрешности результата из­мерения рассчитываются по формуле где Т - коэффи­циент, зависящий от вида распределения отдельных значений оп­ределяемой величины и выбранной доверительной вероятности. При нормальном распределении отдельных значений измеряемой величины доверительные границы случайных погрешностей вы­числяются по методике для прямых многократных измерений, из­ложенной в ГОСТ 8.207-76.

Границы неисключенной систематической погрешности и до­верительные границы погрешности результата косвенного измере­ния определяются так же, как и в рассмотренных выше случаях.

Глава 12. МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ

НОРМИРОВАНИЕ

При использовании СИ принципиально важно знать степень соответствия информации о измеряемой величине, содержащейся в выходном сигнале, ее истинному значению. С этой целью для каж­дого СИ вводятся и нормируются определенные метрологические характеристики (MX). Метрологические характеристики — это характеристики свойств средства измерений, оказывающие влия­ние на результат измерения и его погрешности. Характеристики, устанавливаемые нормативно-техническими документами, называ­ются нормируемыми, а определяемые экспериментально — действи­тельными. Номенклатура MX, правила выбора комплексов норми­руемых MX для средств измерений и способы их нормирования определяются стандартом ГОСТ 8.009-84 "ГСИ. Нормируемые мет­рологические характеристики средств измерений". Подробные ком­ментарии к этому документу приведены в (58).

Метрологические характеристики СИ позволяют:

• определять результаты измерений и рассчитывать оценки ха­рактеристик инструментальной составляющей погрешности изме­рения в реальных условиях применения СИ;

• рассчитывать MX каналов измерительных систем, состоящих из ряда средств измерений с известными MX;

• производить оптимальный выбор СИ, обеспечивающих требуе­мое качество измерений при известных условиях их применения;

• сравнивать СИ различных типов с учетом условий примене­ния.

При разработке принципов выбора и нормирования средств из­мерений необходимо придерживаться ряда положений, изложен­ных ниже.

1. Основным условием возможности решения всех перечислен­ных задач является наличие однозначной связи между нормиро­ванными MX и инструментальными погрешностями. Эта связь устанавливается посредством математической модели инструментальной составляющей погрешности, в которой нормируемые MX долж­ны быть аргументами. При этом важно, чтобы номенклатура MX и способы их выражения были оптимальны. Опыт эксплуатации раз­личных СИ показывает, что целесообразно нормировать комплекс MX, который, с одной стороны, не должен быть очень большим, а с другой — каждая нормируемая MX должна отражать конкретные свойства СИ и при необходимости может быть проконтролирована.

2. Нормирование MX средств измерений должно производиться исходя из единых теоретических предпосылок. Это связано с тем, что в измерительных процессах могут участвовать СИ, построен­ные на различных принципах.

3. Нормируемые MX должны быть выражены в такой форме, чтобы с их помощью можно было обоснованно решать практически любые измерительные задачи и одновременно достаточно просто проводить контроль СИ на соответствие этим характеристикам.

4. Нормируемые MX должны обеспечивать возможность стати­стического объединения, суммирования составляющих инструмен­тальной погрешности измерений. В общем случае она может быть определена как сумма (объединение) следующих составляющих погрешности:

• (t), обусловленной отличием действительной функции пре­образования в нормальных условиях от номинальной, приписан­ной соответствующими документами данному типу СИ. Эта погреш­ность называется основной;

• , обусловленной реакцией СИ на изменение внешних влияю­щих величин и неинформативных параметров входного сигнала относительно их номинальных значений. Эта погрешность называ­ется дополнительной;

• обусловленной реакцией СИ на скорость (частоту) изме­нения входного сигнала. Эта составляющая, называемая динамиче­ской погрешностью, зависит и от динамических свойств средств измерений, и от частотного спектра входного сигнала;

•, обусловленной взаимодействием СИ с объектом измере­ний или с другими СИ, включенным последовательно с ним в изме­рительную систему. Эта погрешность зависит от характеристик и параметров входной цепи СИ и выходной цепи объекта измерений.

Таким образом, инструментальную составляющую погрешности СИ можно представить в виде

где * — символ статистического объединения составляющих.

Первые две составляющие представляют собой статическую по­грешность СИ, а третья — динамическую. Из них только основная погрешность определяется свойствами СИ. Дополнительная и ди­намическая погрешности зависят как от свойств самого СИ, так и от некоторых других причин (внешних условий, параметров изме­рительного сигнала и др.).

Требования к универсальности и простоте статистического объ­единения составляющих инструментальной погрешности обуслав­ливают необходимость их статистической независимости — некор­релированности. Однако предположение о независимости этих составляющих не всегда верно.

Выделение динамической погрешности СИ как суммируемой составляющей допустимо только в частном, но весьма распростра­ненном случае, когда СИ можно считать линейным динамическим звеном и когда погрешность является весьма малой величиной по сравнению с выходным сигналом. Динамическое звено считается линейным, если оно описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Для СИ, являющихся существенно нелинейными звеньями, выделение в отдельно сумми­руемые составляющие статической и динамической погрешностей недопустимо.

5. Нормируемые MX должны быть инвариантны к условиям применения и режиму работы СИ и отражать только его свойства. Выбор MX необходимо осуществлять так, чтобы пользователь имел возможность рассчитывать по ним характеристики СИ в реальных условиях эксплуатации.

6. Нормируемые MX, приводимые в нормативно-технической документации, отражают свойства не отдельно взятого экземпляра СИ, а всей совокупности СИ данного типа, т.е. являются номи­нальными. Под типом понимается совокупность СИ, имеющих оди­наковое назначение, схему и конструкцию и удовлетворяющих од­ним и тем же требованиям, регламентированным в технических условиях. Метрологические характеристики отдельного СИ данно­го типа могут быть любыми в пределах области значений номи­нальных MX. Отсюда следует, что MX средства измерений данного

типа должна описываться как нестационарный случайный процесс. Математически строгий учет данного обстоятельства требует нор­мирования не только пределов MX как случайных величин, но и их временной зависимости (т.е. автокорреляционных функций). Это приведет к чрезвычайно сложной системе нормирования и практи­ческой невозможности контроля MX, поскольку при этом он дол­жен был бы осуществляться в строго определенные промежутки времени. Вследствие этого принята упрощенная система нормиро­вания, предусматривающая разумный компромисс между матема­тической строгостью и необходимой практической простотой. В принятой системе низкочастотные изменения случайных составляю­щих погрешности, период которых соизмерим с длительностью меж­поверочного интервала, при нормировании MX не учитываются. Они определяют показатели надежности СИ, обуславливают выбор рациональных межповерочных интервалов и других аналогичных характеристик. Высокочастотные изменения случайных составляю­щих погрешности, интервалы корреляции которых соизмеримы с длительностью процесса измерения, необходимо учитывать путем нормирования, например, их автокорреляционых функций.

Перечень нормируемых MX делится на шесть основных групп

(рис.12.1), которые и рассматриваются далее.

3.2. КЛАССЫ ТОЧНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЯ

Для обеспечения единства измерений и взаимозаменяемости средств измерений характеристики их метрологических свойств (метрологические характеристики) нормируются и регламентируются стандартами. Номенк­латура метрологических характеристик и полнота, с которой они должны описывать те или иные свойства средств измерений, зависят от назначения средств измерений, условий эксплуатации, режима работы и многих дру­гих факторов. В полном перечне метрологических характеристик можно выделить следующие их группы:

- градуировочные характеристики, определяющие соотношение ме­жду сигналами на входе и выходе средства измерений в статическом ре­жиме. К ним относятся, например, номинальная статическая характери­стика преобразования (градуировочная характеристика) прибора, но­минальное значение меры, пределы измерения, цена деления шкалы, вид и параметры цифрового кода в цифровом приборе;

- показатели точности средства измерения, позволяющие оценить инструментальную составляющую погрешности результата измере­ния;

- динамические характеристики, отражающие инерционные свойст­ва средств измерения и необходимые для оценивания динамических по­грешностей измерений;

- функции влияния, отражающие зависимость метрологических ха­рактеристик средств измерения от воздействия влияющих величин или неинформативных параметров входного сигнала.

Неинформативным называется параметр входного сигнала, не свя­занный непосредственно с измеряемой величиной, но оказывающий влияние на результат измерения, например, частота переменного элек­трического тока при измерении его амплитуды.

Обычно метрологические характеристики нормируются раздельно для нормальных и рабочих условий применения средств измерений. Нормаль­ными считаются такие условия, при которых изменением метрологических характеристик под воздействием влияющих величин можно пренебречь. Так, для многих типов средств измерений нормальными условиями приме­нения являются: температура (20±5)°С, атмосферное давление 84... 106 кПа, относительная влажность 30... 80%. Рабочие условия отличаются от нор­мальных более широкими диапазонами влияющих величин.

Учет всех нормируемых метрологических характеристик средства измерений при оценивании погрешности результата измерений, как вид­но, сложная и трудоемкая процедура, оправданная при измерениях по­вышенной точности. При измерениях на производстве, в обиходе такая точность не всегда нужна. В то же время, определенная информация о возможной инструментальной составляющей погрешности измерения необходима. Такая информация дается указанием класса точности сред­ства измерений.

Под классом точности понимают обобщенную характеристику точности средств измерений данного типа, определяемую пределами до­пускаемой основной погрешности. Классы точности присваивают сред­ствам измерений при их разработке на основании исследований и испы­таний представительной партии средств измерения данного типа. При этом пределы допускаемых погрешностей нормируют и выражают в форме абсолютных, приведенных или относительных погрешностей, в зависимости от характера изменения погрешностей в пределах диапазо­на измерений. Приведенной называется относительная погрешность, вычисленная в процентах от некоторого нормирующего значения. В качестве нормирующего обычно принимается конечное значение шкалы (верхний предел измерения для приборов с односторонней шкалой или сумма пределов — для приборов с нулем посредине).

Пределы допускаемой абсолютной погрешности устанавливают по формулам:

(3.4)

или

где х — значение измеряемой величины; а, b положительные числа, не зависящие от х.

положительные числа, не

Нормирование в соответствии с (3.5) означает, что в составе по­грешности средства измерения присутствуют аддитивная и мультипли­кативная составляющие, например, для генератора низкой частоты ГЗ-36 = ±(0,03+2) Гц.

Пределы допускаемой приведенной основной погрешности опреде­ляют по формуле

где Х_н — нормирующее значение, выраженное в тех же единицах, что и х; р — отвлеченное положительное число, выбираемое из стандартизо­ванного ряда значений (1*10ⁿ; 1,5*10ⁿ; ...,5*10ⁿ; ...,где n - 1,0,-1,-2 и т.д.).

Для измерительных приборов с существенно неравномерной шкалой нормирующее значение устанавливают равным длине шкалы.

Пределы допускаемой относительной основной погрешности:

если установлена по формуле (3.4)

(3.7)

если А установлена по (3.5)

(3.8)

где q — отвлеченное положительное число, выбираемое из стандартизо­ванного ряда значений; Х_к — больший по модулю из пределов измере­ний (верхний предел измерения, или сумма пределов измерения для при­боров с нулем посредине); с, d — положительные числа, выбираемые из стандартизованного ряда; х — показание прибора.

Пределы допускаемых дополнительных погрешностей, как правило, устанавливают в виде дольного значения предела допускаемой основной погрешности. Обозначение классов точности наносится на шкалы, щит­ки или корпуса приборов.

Классы точности средств измерений обозначаются условными знаками (буквами, цифрами). Для средств измерений, пределы допускаемой основной погрешности которых выражают в форме приведенной погрешности или от­носительной погрешности в соответствии с (3.6) и (3.7), классы точности обозначаются числами, равными этим пределам в процентах. Чтобы от­личить относительную погрешность от приведенной, обозначение класса

точности в виде относительной погрешности обводят кружком . Если

погрешность нормирована в процентах от длины шкалы, то под обозначением класса ставится знак . Если погрешность нормирована фор­мулой (3.8), то класс точности обозначается как с/d (например, 0,02 / 0,01).

Пример. На шкале амперметра с пределами измерения 0... 10 А нанесено обозначение класса точности 2,5. Это означает, что для данного прибора нормирована приведенная

погрешность. Подставляя в (3.6) Х_n = 10А и р = 2,5 получим

Если бы обозначение класса точности было , то погрешность следовало бы

вычислить в процентах от измеренного значения. Так, при I_изм = 2А, погрешность прибо

ра не должна превышать .

2.7. КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

При косвенных измерениях искомое значение величины находят расчетом на основе измерения других величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью

Результатом косвенного измерения является оценка величины А, ко­торую находят подстановкой в формулу (2.18) оценок аргументов а_i.

Поскольку каждый из аргументов а, измеряется с некоторой погреш­ностью, то задача оценивания погрешности результата сводится к сум­мированию погрешностей измерения аргументов. Однако особенность косвенных измерений состоит в том, что вклад отдельных погрешностей измерения аргументов в погрешность результата зависит от вида функ­ции (2. 18).

Для оценки погрешностей существенно разделение косвенных изме­рений на линейные и нелинейные косвенные измерения. При линейных косвенныхизмерениях уравнение измерений имеет вид

где b_j— постоянные коэффициенты при аргументах а_i.

Любые другие функциональные зависимости (2.18) относятся к не­линейным косвенным измерениям.

Результат линейного косвенного измерения вычисляют по формуле (2.19), подставляя в нее измеренные значения аргументов.

Погрешности измерения аргументов могут быть заданы своими гра­ницами , либо доверительными границами , с доверительными вероятностями Р_i .

При малом числе аргументов (меньше пяти) простая оценка погреш­ности результата получается суммированием предельных погрешно­стей (без учета знака), т.е. подстановкой границ ... , в вы­ражение

(2.20)

Однако эта оценка является излишне завышенной, поскольку та­кое суммирование фактически означает, что погрешности измерения всех аргументов одновременно имеют максимальное значение и сов­падают по знаку. Вероятность такого совпадения практически равна нулю. Для нахождения более реалистичной оценки переходят к ста­тистическому суммированию погрешностей аргументов. Полагая, что в заданных границах погрешности аргументов распределены равномерно, доверительные границы (Р) погрешности результата измерения рассчитывают по формуле

(2.21)

где коэффициент k определен в (2.15).

Если погрешности измерения аргументов заданы доверительны­ми границами с одинаковыми доверительными вероятностями, то полагая распределение этих погрешностей нормальным, доверитель­ные границы результата находят по формуле

(2.22)

При различных доверительных вероятностях погрешностей аргумен­тов их необходимо привести к одному и тому же значению Р.

Нелинейные косвенные измерения характеризу­ются тем, что результаты измерений аргументов подвергаются функцио­нальным преобразованиям. Но, как показано в теории вероятностей, любые, даже простейшие функциональные преобразования случайных величин, приводят к изменению законов их распределения.

Пример. Результат измерения аргумента подчиняется нормальному распределению плотности вероятностей, кривая которого показана на рис. 2.13, а.

При возведении измеренного значения величины в квадрат q = а² график плотности распределения претерпевает изменения и принимает вид, показанный на рис. 2.13, б (вы­вод формулы опускаем). Уравнение кривой в этом случае имеет следующий вид:

Рис. 2.13. Графики плотности распределения вероятности результата измерения, подчиняющегося нормальному закону, и квадрата этого результата измерения

При сложной функции (2.18) и в особенности если это функция не­скольких аргументов, отыскание закона распределения погрешности результата связано со значительными математическими трудностями. Поэтому при нелинейных косвенных измерениях приходится отказы­ваться от использования интервальных оценок погрешности результата, ограничиваясь приближенной верхней оценкой ее границ. В основе при­ближенного оценивания погрешности нелинейных косвенных измерений лежит линеаризация функции (2.18) и дальнейшая обработка результа­тов, как при линейных измерениях.

Запишем выражение для полного дифференциала функции А:

(2.23)

По определению полный дифференциал функции — это приращение функции, вызванное малыми приращениями ее аргументов.

Учитывая, что погрешности измерения аргументов всегда являются малыми величинами по сравнению с номинальными значениями аргу­ментов, можно заменить в (2.23) дифференциалы аргументов dа_i, на по­грешности измерений а_i, а дифференциал функции dA на погрешность результата измерения :

(2.24)

Полагая, как и прежде, что распределения погрешностей аргументов подчиняются равномерному закону, при числе слагаемых m < 5 грани­цы погрешности результата можно определить по формуле (2.20). В том случае, когда погрешности аргументов заданы их доверительными гра­ницами, оценку погрешности результата измерения вычисляют по (2.22). В обеих случаях роль коэффициентов b₁,b₂,…,b_m выполняют частные

производные

Применив формулу (2.24), получим несколько простых правил оце­нивания погрешности результата косвенного измерения.

Правило 1. Погрешности в суммах и разностях. Если a₁ и а₂ измерены с погрешностями и и измеренные значения использу­ются для вычисления суммы или разности А = а_1*а_2, то суммируются абсолютные погрешности (без учета знака):

Правило 2. Погрешности в произведениях и частных. Если из­меренные значения а₁, и а₂ используются для вычисления А = а_1* а₂ или А = а₁/а₂, то суммируются относительные погрешности , где .

Правило 3. Измеренная величина умножается на точное число.

Если а используется для вычисления произведения А = В * а, в котором В не имеет погрешности, то А = |В|а .

Правило 4. Возведение в степень. Если а используется для вычисления степени А = аⁿ, то А = .

Правило 5. Погрешность в произвольной функции одной пере­менной. Если а используется для вычисления функции А(а), то

Вывод этих правил не приводится и может быть легко сделан само­стоятельно. Использование правил позволяет получить не слишком завы­шенную оценку предельной погрешности результата нелинейного косвен­ного измерения при не слишком большом числе аргументов (m < 5).

Пример. Производится косвенное измерение электрической мощности, рассеиваемой на резисторе сопротивлением R при протекании по нему тока I. Так как Р =I²R, то, при­меняя правила 2 и 4, получим

Пример. Измерением найдено значение утла Необходимо найти cos. Наилучшая оценка для cos20° = 0,94. Погрешность должна быть выражена в радианах, т.е. = 3° = 0,05 рад. Тогда по правилу 5 (cos) = (sin20°)*0,05 = 0,34-0,05 = 0,02. Окончательно cos = 0,94±0,02 .

7.Преобразование измеряемой величины как косвенные измерения

При косвенных измерениях результат определяется на основании измерений величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью. При этом в качестве примеров рассматривались случаи, когда закономерная зависимость выражалась строго математически. Однако строгая закономерность зависимости между величинами может быть неизвестна, хотя и известно, что такая зависимость существует. Например, известно, что электродвижущая сила термопары зависит от температуры. Определить эту зависимость на основании известных нам законов физики мы не можем даже для одной и той же пары металлов. На эту зависимостиь влияют малейшие отклонения в составах сплавов и технология их обработки. В этих случаях нужную нам зависимость мы можем определить методом совместных измерений. И не только определить, но и исследовать, и изучить постоянство и воспроизводимость этой зависимости влияния на нее внешних воздействий. Когда зависимость одной величины от другой будет нам хорошо известна, мы имеем возможность измерять нужную нам величину на основании измерений других величин, связанных с измеряемой известной зависимостью.

Описанные измерения следует также отнести к косвенным измерениям как одну из его разновидностей. Разновидностью косвенных измерений является также случай нахождения значения измеряемой величины путем прямых измерений компонентов известной формулы, определяющей ее зависимости от этих компонентов. Эта разновидность косвенных измерений относится к случаю нахождения значения измеряемой величины по ее зависимости от других величин, определяемой путем совместных измерений. Вторая разновидность косвенных измерений может рассматриваться так же, как измерение путем преобразования измеряемой величины в другую, по природе своей существенно отличающуюся от измеряемой, но связанную с ней устойчивой зависимостью.