Численный расчет диода Ганна

Диод Ганна

Методика расчета

Введение

Диоды Ганна, как твердотельные генераторы токов в диапазоне СВЧ находят очень широкое применение в разнообразнейших устройствах благодаря своим несомненным преимуществам: легкости, компактности, надежности, эффективности и др.

Со времен своего появления диоды Ганна неоднократно совершенствовались. Шло повышение рабочих частот, приводящее к соответственному уменьшению размеров кристалла; принимались различные меры по увеличению КПД диодов и их выходной мощности.

Все это время рассчет диодов Ганна представлял собой очень длительный и трудоемкий процесс, даже с использованием компьютеров первых поколений. Однако, в наше время, в век стремительного роста материально-научной базы компьютерной техники становится возможным построить программное обеспечение, позволяющее произвести рассчет диода Ганна легко и просто.

Теоретические сведения

Эффект, применяемый в диодах Ганна, проявляется в особом классе полупроводниковх веществ – многодолинных полупроводниках. Чаще всего диоды Ганна изготавливаются на основе арсенида галлия (GaAs), поэтому в данной работе он и берется за основу. Арсенид галлия – двухдолинный полупроводник, имеющий разность энергий между долинами в 0,36 Эв. При этом, из-за различия эффективных масс в разных долинах, зависимость скорости электронов от величины приложенного поля такова:

Это происходит в силу того, что электроны, набирая начальную скорость, находятся в нижней долине, где их эквивалентная масса мала. При некотором значении энергии электроны начинают попадать во вторую долину, теряя при этом 0,36 Эв энергии. Кроме того, в верхней долине их эквивалентная масса велика, поэтому они ускоряются полем значительно медленнее, чем в нижней.

Диод Ганна работает в импульсном режиме, когда активизируется его отрицательное дифференциальное сопротивление. Для этого в теле полупроводника возле катода создается область повышенного легирования, излучающая порции (сгустки) электронной плазмы. При этом электроны концентрируются благодаря эффекту Ганна, и сгусток устремляется к аноду, вызывая во внешней цепи импульс тока.

Температурная модель диодов Ганна

Исследования данной проблемы методом Монте-Карло показали, что основным недостатком применяемых до сих пор методов (например, локально-полевого) является то, что они не учитывают конечность времени разогрева электронов в нижней долине и конечность времени междолинного перехода, что делает их непригодными в диапазоне миллиметровых волн. Более перспективными в этом случае являются различные модификации гидродинамических или температурных моделей, в которых имеется четкое разделение электронов по нижней и верхней долинам, и конечность времени разогрева учитывается уравнением сохранения энергии.

Существуют различные гидродинамические модели. Мы рассмотрим так называемую двухтемпературную модель, в которой энергия электронов характеризуется максвелловской функцией распределения с различной температурой электронов в разных долинах, причем в верхней долине температура электронов предполагается равной температуре решетки. Эта модель относительно проста и достаточно оправдана физически.

Уравнения двухтемпературной модели доидов Ганна можно определить следующим образом.

Уравнение Пуассона.

Тут n_1,2 – концентрация свобоных электронов в нижней и верхней долине соответственно; Е – напряженность электрического поля; n₀ – концентрация неподвижных доноров.

Уравнения сохранения заряда для нижней и верхней долины соответственно:

Тут u_1,2 – скорость потока электронов в верхней и нижней долинах соответственно; t₁₂ и t ₂₁ – время перехода из нижней долины в верхнюю и из верхней в нижнюю соответственно. Уравнение сохранения энергии для нижней долины можно переписать следующим образом:

В данной формуле E₁ – средняя энергия электронов в нижней долине; а индекс «ст» означает скорость изменения энергии электрона в нижней долине вследствие столкновения с фононами; индекс «1-2» означает скорость изменения энергии вследствие междолинного перехода; n₁u ₁E – скорость разогрева электронов полем.

Скорость изменения энергии электронов вследствие столкновений и междолинных переходов может быть представлена в виде

где Е₀ – энергия, соответствующая температуре решетки; t_e1 – время релаксации электронов по энергии.

Появление в данной формуле Δ связано с тем, что из нижней долины в верхнюю могут попасть только высокоэнергетичные электроны с энергией, большей Δ.

Если предположить, что распределение электронов в нижней долине характеризуется статистикой Максвелла, когда

и обозначить в качестве температуры (в вольтах) величину

то окончательно уравнение закона сохранения энергии в нижней долине примет вид:

В верхней долине температура электронов принимается равной Т₂=Т₀.

Статическая температурная модель

Недостатком температурной модели является тот факт, что величины t₁₂,t₂₁ и t_e1 не являются такими четко измеряемыми характеристиками, как пороговое поле эффекта Ганна, пороговая скорость, скорость насыщения. Поэтому, для определения параметров модели необходимо определить их соответствие измеряемым характеристикам, прежде всего – характеристики скорость-поле. Для этого надо вычислить статическую характеристику скорость-поле по температурной модели и подобрать параметры модели так, чтоб она соответствовала измеряемой характеристике.

Для этого в уравнениях динамической модели необходимо приравнять нулю производные по времени и пространственной координате. Кроме того, требуется учесть еще несколько физических моментов.

Рассмотрим скорость перехода электронов из долины в долину. В стационарном режиме скорости этих переходов равновероятны. В нижней долине переход могут совершить только электроны с энергией, большей, чем ширина междолинного зазора. Вероятность иметь эту энергию:

где А зависит от общего количества электронов в долине и плотности состояний в верхней долине. В верхней долине вероятность (скорость) перехода пропорциональна количеству электронов в верхней долине и плотности состояний в нижней. В итоге должно выполняться равенство:

При этом R=P₂/P₁ – отношение плотности состояний в верхней долине к плотности состояний в нижней долине определяется соотношением эффективных масс и количеством долин. Для арсенида галлия R составляет около 60. Соответственно:

Из принципа детального равновесия, т.е. условия равенства скоростей перехода, должно выполняться:

Что и дает соотношение между временами миждолинного перехода.

Рассмотрение баланса импульса следует проводить в предположении, что после перехода из долины в долину средний импульс перешедших электронов равен нулю, и они должны будут набирать характерный импульс m_iV_i.

Тогда в нижней долине баланс импульса запишется в виде:

В данной формуле t_m1 – среднее время релаксации по импульсу в нижней долине. Отсюда для соотношения между скоростью и полем, т.е. подвижностью в нижней долине можно получить такое соотношение:

Таким образом получается, что подвижность зависит от интенсивности междолинных переходов. Аналогично для верхней долины можно записать

В итоге для статической характеристики в рамках двухтемпературной модели получаем систему трансцендентных уравнений

Решая эту систему, можно получить зависимость:

Сравнивая данную зависимость, полученную теоретически, с экспериментальной зависимостью скорость-поле, можно подобрать значения постоянных времени. Расчеты показывают, что оптимальными являются параметры:

t₂₁=2,0·10^-12 сек,

t_e1=0,8·10^-12 сек,

t_m1=0,4·10^-12 cек.

Динамическая двухтемпературная модель

Основные уравнения двухтемпературной модели имеют вид:

Уравнение Пуассона

Уравнения сохранения заряда для нижней и верхней долин

Уравнение сохранения энергии для нижней долины

Кроме того, необходимы граничные условия, имеющие вид

Два последних граничных условия являются неточными и для снижения погрешности от этой неточности необходимо в приконтактной области задавать область повышенного легирования.

Начальные условия точно заданы быть не могут. Однако, если метод решения уравнения выбран правильно, то независимо от начальных условий через некоторое время счета задача сойдется к правильному решению. Типичным видом записи начальных условий является запист в виде:

Е=V_D/L, n₁=n₀, n₂=0, T₁=T₀.

Уравнения, описывающие процессы в кристалле, должны быть дополнены уравнениями внешней схемы. Наиболее простыми и распространенными вариантами задания внешней схемы являются такие подходы:

1. Решение самосогласованной задачи с внешней схемой в виде колебательного контура;

2. Метод заданного напряжения.

В первом случае в явном виде записываются дифференциальные чравнения внешней схемы и решаются совместно с уравнениями, описывающими процессы в кристалле. Этот метод называется также решением во временной области и используется, как правило, для исследования переходных процессов.

Во втором случае, называемом также решением в частотной области, параметры внешней схемы задаются в виде напряжения, приложенного к кристаллу, например, в виде

Перебирая значения V₀,V_≈,Ω, точно так же, как и параметры кристалла, можно получить полную информацию о величине отрицательного дифференциального сопротивления и его зависимости от параметров внешней схемы и структуры кристалла, и, как следствие, об энергетических характеристиках.

Суть метода в том, что задав внешнее напряжение на кристалле путем решения уравнений, описывающих процессы в кристалле, находим полный ток через кристалл:

Разложив его в ряд Фурье, получим:

Тогда активная проводимость кристалла определяется как:

В то же время реактивная проводимость определяется по формуле:

Выходная мощность и коэффициент полезного действия могут при этом быть вычислены по формулам:

В последних двух записях предполагается, что ток находится в противофазе к приложенному напряжению и проводимость кристалла отрицательна.