Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики

Висновки.

В результаті написання кваліфікаційної роботи мною була досягнута мета за допомогою виконання тих завдань, які були намічені, тобто:

Систематизувала відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи. Розглянула всі основні способи розв’язання показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем, теореми про рівносильність, та всі типові складності які виникають при розв’язуванні цих рівнянь.

З’ясувала місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувала вимоги до уявлень, знань, умінь та навичок учнів.

Проаналізувала сучасні діючі і пробні підручники з алгебри і початків аналізу. Провела логіко-дидактичний аналіз тем «Показникова функція» і «Логарифмічна функція».

Запропонувала методичні рекомендації щодо викладання тем «Показникова і логарифмічна функція» в старших класах загальноосвітньої школи.

Сформулювала навчальні цілі, розробила тематичні плани до тем «Показникова функція», «Логарифмічна функція», план- конспект уроку формування навичок і вмінь на тему: І Розв’язування логарифмічних рівняняьІ за підручником «Алгебра і початки аналізу» під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук .

Підібрала диференційовану систему вправ, подала приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та для самостійного розв`язування.

За допомогою комп’ютера і використовуючи програму^Arbаit, розробила самоконтролюючу та контолюючу програму для перевірки знань учнів, ^{яка може бути використана при вивченні тем «Показникова і логарифмічна функції».}

У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені корені та їх властивості, засвоюють поняття показникової і логарифмічної функції, їх властивості та графіки, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів показникової і логарифмічної функції, розв’язувати показникові і логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи, здійснювати обчислення числових виразів з логарифмами і степенями.

Учні повинні навчитися схематично зображати графіки показникових і логарифмічних функцій при різних основах, пам’ятати основні властивості цих функцій та вміти використовувати їх при розв’язанні показникових і логарифмічних рівнянь і нерівностей та їх систем. Бажано ознайьмити учнів на факультативних чи гурткових заняттях із схематичним зображенням графіків показникових та логарифмічних функцій з модулями.

У процесі розв’язування показникових і логарифмічних рівнянь та їх систем корисно систематизувати знання учнів про рівносильність рівнянь і систем, виділити операції, які можуть порушувати рівносильність. Слід звернути увагу на причини виникнення сторонніх коренів при розв’язуванні рівнянь і в зв’язку з цим на необхідність перевірки знайдених розв’язків, а також на причини втрати коренів.

Засвоення учнями нових знань при вивченні розділу базується на раніше вивченному матеріалі про степені й корені, розв’язанні системи алгеьраїчних рівнянь і нерівностей, тощо. Бажано, щоб актуальні питання раніше вивченного матеріалу грунтовно систематизувалися за рахунок часу, виділеного на узагальнююче повторення. При плануванні узагальнюючого повторювання це слід урахувати, і до повторенного матеріалу безпотреби можна не повертатися.

Кваліфікаційна робота написана на тему «Показникові і логарифмічні рівняння і нерівності в шкільному курсі алгебри».

Актуальність теми полягає в тому, що тема «Показникова і логарифмічна функції» є однією з основних тем в шкільній програмі з математики в 11 класі, її приділяється велика кількість навчального часу (20(30)). У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені і корені та їх властивості, засвоюють поняття показникової і логарифмічної функцій, їх властивості та графік, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів показникової та логарифмічної функціями, розв’язувати показникові і логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи.

Розв’язуванню задач, а точніше рівнянь або нерівностей, показникових та логарифмічних, приділяється багато уваги, осбливо на вступних екзаменах до ВУЗів та інших навчальних закладах. Тому розгляд цієї теми дуже важливий.

МЕТА РОБОТИ - системазувати відомості про показникові та логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи в шкільному курсі алгебри старшої школи і розкрити роль і місце вивчення показникових та логарифмічних рівняньта нерівностей в школі та вибрати методику подання цієї теми.

ДЛЯ ДОСЯГНЕННЯ МЕТИ БУЛИ ПОСТАВЛЕНІ ТАКІ ЗАВДАННЯ:

1. Систематизувати відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи.

2. З’ясувати місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувати вимоги до знань, умінь і навичок учнів.

3. Проаналізувати сучасні діючі і пробні підручники з алгебри.

4. Запропонувати методичні рекомендаціі щодо викладання тем “Показникова функція” та «Логарифмічна функція» в середній загальноосвітній школі.

5. Підібрати диференційовану систему вправ.

6. Подати приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та задачі самостійного розв’язування.

7. Опробувати розроблену методику в сучасній школі.

8. Зробити висновки.

В ПРОЦЕСІ РОБОТИ ВИКОРИСТОВУВАЛИСЬ ТАКІ МЕТОДИ:

• дослідницький метод при вивченні психологопедагогічної, наукової та методичної літератури з предмету дослідження;

• аналітичні методи;

• практична реалізація запропонованої методики.

ПРИ ПРОВЕДЕННІ УРОКІВ В ШКОЛІ ПРОПОНУЄТЬСЯ ЗАСТОСУВАТИ ТАКІ МЕТОДИ:

• пояснювально--ілюстраційний;

• конкретно--індуктивний;

• абстрактно- дедуктивний

• дослідницький.

Робота складається з таких частин: Вступ, 3 розділи, які включають в себе 8 параграфів, висновки та додатки.

В результаті написання кваліфікаційної роботи мною була досягнуті цілі за допомогою виконання тих завдань, які були намічені, тобто:

Систематизувала відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи. Розглянула всі основні способи розв’язання показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем, теореми про рівносильність, та всі типові складності які виникають при розв’язуванні цих рівнянь.

В данній кваліфікаційній роботі проаналізовані різни підходи при вивченні показникових та логарифмічних рівнянь, а також взагалі при вивченні теми «Показникова і логарифмічна функції». З’ясувала місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувала вимоги до уявлень, знань, умінь та навичок учнів.

Проаналізувала сучасні діючі і пробні підручники з алгебри і початків аналізу. Провела логіко-дидактичний аналіз тем «Показникова функція» і «Логарифмічна функція» за новим підручником «Алгебра і початки аналізу 10-11» під редакцією Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С. Проведено порівняльну характеристику вивчення данної теми в підручниках під редакцією А.Н. Колмогорова та під редакцією Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С.

Запропонувала методичні рекомендації щодо викладання тем «Показникова і логарифмічна функція» в старших класах загальноосвітньої школи.

Сформулювала навчальні цілі, розробила тематичні плани до тем «Показникова функція», «Логарифмічна функція», а токож фрагменти уроків, план- конспект уроку формування навичок і вмінь на тему: І Розв’язування логарифмічних рівняняьІ за підручником «Алгебра і початки аналізу» під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук .

Підібрала диференційовану систему вправ, подала приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та для самостійного розв`язування.

За допомогою комп’ютера і використовуючи програму^Arbаit, розробила самоконтролюючу та контолюючу програму для перевірки знань учнів (теоретичних і практичних), ^{яка може бути використана при вивченні тем «Показникова і логарифмічна функції». Яку я продемонструю.}

^{1. Диференційована система вправ:}

Система задач має три рівні складності:

І. Обов’язковий рівень - містить задачі та вправи, в основному репродуктивного характеру на 2-3 логічних кроки, представлені у формі тестів. Для їх розв’язування цчням достатньо знати правила, означення, формули, теореми та ознаки, передбачені навчальними програмами, а також вміти виконувати найпростіші тотожні перетворення, спрощення та обчислення.

ІІ. Підвищенний рівень - містить завдання на 4-6 логічних кроки, розв’язання яких вимагає від учня творчого застосування одержаних знань з достатньо повним і строгим обгрунтуванням ходу розв’язку.

ІІІ. Поглиблений рівень - це, як правило задачі та вправи, розв’язання яких вимагає вміння орієнтуватися в нестандартних ситуаціях, застосовувати орігінальні та штучні прийоми, глибини та строгості суджень, характерних для тих, хто вивчає шкільний курс математики на поглибленому рівні.

^{а) Показникові рівняння і нерівності;}

Обов’язковий рівень.

Розв’язати рівняння.

1.

1) ,

2) ,

3. ,

4. .

2.

1. 1,

2. 2,

3. 2; 3,

4. інша відповідь.

5. 

6. 2,

7. 3,

8. 4,

9. інша відповідь.

10. 

11. 3,

12. -3,

13. 1,

14. інша відповідь.

15. 

16. ,

17. ,

18. 2,

19. інша відповідь.

Розв’язати нерівності.

1.

1. ,

2. ,

3. 

4. інша відповідь.

5. 

6. ,

7. ,

8. ,

9. інша відповідь.

10. 

11. ,

12. ,

13. ,

14. інша відповідь.

15. 

16. ,

17. ,

18. ,

19. інша відповідь.

20. 

21. ,

22. ,

23. .

24. інша відповідь.

Підвищний рівень

Розв’язати рівняння

Розв’язати нерівності

Розв’язати нерівность графічно.

Поглиблений рівень

Розв’язати рівняння.

1.

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. ,

Розв’язати нерівності

1.

^{б) Логарифмічні рівняння і нерівності;}

Обов’язковий рівень.

Знайти корені рівняння.

1. 

2. 5,

3. 3,

4. 4,

5. інша відповідь.

   
   

2.

1),

2. ,

3. інша відповідь.

4. 

5. -2; 0,

6. інша відповідь,

7. 0; -2.

8. 

9. 3,

10. 8,

11. інша відповідь.

12. 

13. -4,

14. 4,

15. 2

16. інша відповідь.

При яких значеннях справедлива рівність.

1. 

2. ,

3. ,

4. ,

5. інша відповідь.

2.

1. ,

2. 9,

3. -9

4. інша відповідь.

5. 

6. 2,

7. ,

8. -2

9. інша відповідь.

Розв’язати нерівності

1. 

2. ,

3. ,

4. інша відповідь.

5. 

6. ,

7. ,

8. інша відповідь.

3.

1. ,

2. ,

3. ,

4. інша відповідь.

4.

1. ,

2. ,

3. інша відповідь.

Підвищний рівень

Розв’язати рівняння

Розв’язати нерівності

Поглиблений рівень

Розв’язати рівняння.

Розв’язати нерівності

3. ^{Використання нових інформаційних технології при вивченні тем показникові і логарифмічні рівняння та нерівності.}

Хочу поділитися своїми враженнями від нової форми навчання - за допомогою комп’ютера. Звичайно, не можна все зводити до нього, - і кількість годин, проведенних за екраном, не може служити критерієм якості навчання, як це намагаються представити в деяких приватних школах. Але безсумнівно одне - комп’ютер відмінний помічник для организації індивідуального навчання. Бо як тільки педагог перестає бачить в учені просто сосуд, який треба наповнити знаннями та вміннями, йому доводиться шукати індивідуальний підхід до кожного, підстраюватися до його інтересів, темп засвоєння матеріалу, особисті особливості психіки. Наприклад, в деяких школах кожен учень може вибрати для себя не просто курс, який його цікавить, але навіть окремі предмети. Комп’ютер, як відомо, виконує ту программу, яка в нього закладена, і надає великий вибір тем для вивчення. Сучасні методи представлення інформації в комп’ютерах включають в себе не просто текст, але і картинки, відео, звукові фрагменти. Це дозволяє задіяти практично всі органи почуттів, використовуваємих для сприйняття інформації, при цьому здійснюється її дублювання по різним каналам сприйняття, що різко підвищує швидкість і якість засвоєння матеріалу. Комп’ютерный підручник неможна вже порівнювати з книгою, як це було всього декілька років тому - зараз більшість навчаючих програм неможливо відрізнити від ігр, і для того, щоб перемогти в такій грі, будуть потрібні знання, які дитині важко приїняти як необхідні йому тільки зараз - але ж всім нам притаманно відкладати "на потім" рішення багатьох проблем. А такий елемент сучасних комп’ютерних документів, як гипертекстова ссилка дозволяє при необхідності звернутися до будь-якого місця документа за додатковою інформацією, і втой же час при повторному вивченні не перевантажує початковий текст документу. Доречі, по принципу гіпертексту влаштована всесвітня інформаційна мережа Internet, за допомогою якої вже зараз проводится так зване "дистанціоне навчання" - коли професори престижних університетів виступають з лекціями і відповідають на питання не звичної студентської аудиторії, а перед тими, хто в цей момент підключен до їх вузлу мережи. Недивлячись на тишу і візуальну відстутність слухачів, яких може бути не менше, чим глядачів у телеекрана, але на відміну від книги чи телепередачі зберігається зворотній зв’язок між викладачем і учнями. Це - реальність сьогоднішнього дня. Цікаво, що нас (і наших дітей) чекає в недалекому третьому тисячолітті.

^{Широке впровадження в навчальний процес нових інформаційних технологій відкриває широкі перспективи щодо поглиблення і розширення теоретичної бази знань, надання результатам навчання практичного значення, активізації пізнавальної діяльності, створення умов для повного розкриття творчого потенціалу учнів з урахуванням вікових особливостей, індивідуальних нахилів.}

^{На сьогодні розроблено значну кількість програмних засобів, що дозволяють розв’язувати за допомогою комп’ютера досить широке коло математичних задач різних рівнів складності. Це такі програми як DERIVE, EURIKA, GRAN1, Maple, MathCad. Причому одні з цих програм розраховані на фахівців досить високої кваліфікації в галузі математики, інші - на учнів середніх навчальних закладів та студентів.}

^{Можливість провести необхідний чисельний експеримент, швидко виконати потрібні обчислення чи графічні побудови, перевірити ту чи іншу гіпотезу, випробувати той чи інший метод розв’язування задачі, вміти проаналізувати та пояснити результати, отримані за допомогою комп’ютера, з’ясувати межі можливостей застосування комп’ютера чи обраного методу розв’язування задачі має надзвичайне значення у вивченні математики.}

^{Не торкаючись докладно всіх тем, які вивчаються в курсі математики загальноосвітньої середньої школи, можна зауважити, що комп’ютерні програми згаданого типу можуть бути використані практично на всіх уроках математики, починаючи вже з п’ятих-шостих класів, зокрема під час вивчення системи координат на прямій і на площині, поняття функції, елементарних функцій та їхніх властивостей, методів розв’язування рівнянь і нерівностей та їх систем, елементів теорії границь числових послідовностей, диференціального та інтегрального числень та їх застосування.}

^{Використовуючи програму Arbeit я розробила програму, яка може бути використана при вивченні тем «Показникова і логарифмічна функції». Це контролююча програма, в якій передбачено самокотроль знань та контроль знань. Тобто за допомогою цієї програми учень може сам перевіряти набуті знання, і вчитель може перевіряти знання певного учня.}

Вступ.

МЕТА РОБОТИ - системазувати відомості про показникові та логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи в шкільному курсі алгебри старшої школи і розкрити роль і місце вивчення показникових та логарифмічних рівняньта нерівностей в школі та вибрати методику подання цієї теми.

ДЛЯ ДОСЯГНЕННЯ МЕТИ БУЛИ ПОСТАВЛЕНІ ТАКІ ЗАВДАННЯ:

1. Систематизувати відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи.

2. З’ясувати місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувати вимоги до знань, умінь і навичок учнів.

3. Проаналізувати сучасні діючі і пробні підручники з алгебри.

4. За