Педагогика в начальных классах

Интерес к решению текстовых задач возник у меня после занятий по методике математике. Изучив методическую литературу по вопросам обучения решения задач, познакомившись со статьями журналов, в которых авторы выступают за более широкое и активное включение детей в решение задач, я решила проверить методику на практике.

В практике большинство учителей мало уделяют внимание решению задач. Учащиеся нередко не умеют выделить искомые и данные, установить связь между величинами, входящими в задачу; составить план решения; выполнить проверку полученного результата. Необоснованно много внимания и неоправданных затрат времени идет на оформление краткой записи и решения задачи. При этом основное внимание направлено на реализацию единственно цели – получение ответа на вопрос задачи. Так же в курсе математики в начальной школе масса времени посвящается вычислению уже по готовым математическим моделям, то есть по знакомому описанию какого либо явлению с помощью математической символики. Все это отрицательно сказывается на формировании общих умений решать задачу, а не оказывают необходимое влияние на развитие мышления учащихся.

Так же после того как задача решена, получен ответ, не следует торопиться приступать к выполнению другого задания. Надо подумать, попробовать найти другой способ решения задачи, осмыслить его, попытаться обратить внимание на предыдущий способ, на трудности при поиске решения задачи, выявить новую и полезную для учащихся информацию. Что часто не успевает сделать на уроке учитель.

Среди причин определяющих недостаточный уровень у учащихся умений решать задачи, я выделяю следующее:

Первая заключается в методике обучения, которая в данное время ориентировала учащихся не на формирование у учащихся обобщенных умений, а на “разучивание” способов решения задач определенных видов.

Вторая причина кроется в том, что учащиеся объективно отличаются друг от друга характером умственной деятельности, осуществляемой при решении задач.

На уроке учитель должен выбрать вариант организации и содержания решения задачи, а ученики должны выбрать способы решения задач.

Существуют такие способы решения задач:

I Арифметический способ;

II Алгебраический способ;

III Графический способ;

IV Практический способ;

Так же текстовые задачи на уроках математики в начальных классах могут быть использованы для самых разных целей: для подготовки к ведению новых понятий (в частности, арифметических действий); для ознакомления с новыми понятиями, свойствами понятий, для углубления и расширения формируемых математических знаний и умений; для вычислительных навыков; для обучения методам и приемам решения задач на разных этапах этого обучения и для многих других целей. Очевидно, что и методика работы с задачей на уроке должна определяться прежде всего тем, с какой целью эта задача включена в урок.

Анализ практики показывает, что далеко не всегда характер работы с задачей на уроке соответствует той цели, ради достижения которой она рассматривается на уроке. Чтобы решить данные цели, мне удалось выделить возможные виды работы с задачами на уроке математике, которые хоть чем-то отличаются друг от друга. Главное – представить все многообразие возможных ситуаций с задачами на уроке, дав тем самым учителю право и возможность выбирать.

Начальная школа все дальше и дальше уходит от традиционной методики математики. Появляются различные типы школ, вводятся альтернативные программы и учебники.

Наиболее распространенной среди альтернативных систем является дидактическая система, разработанная под руководством академика Л.В. Занкова.

Хотелось бы обратить внимание на то, что значительному большинству учителей, студентов (даже те, кто прослушал курс переподготовки, где рассматривались и раскрывались принципы обучения, приемы и методы работы) нужна основательная помощь, которая заключалась бы в конкретизации методических приемов и методов работы, ибо отсутствие таковых приводит к противоречию между предлагаемыми принципами и их реализации на практике.

И также хотелось бы проанализировать некоторые затруднения, возникающие у учителя и учащегося при решении текстовых задач.

Но кроме системы Л.В. Занкова существует еще система Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова. Эта система по своей сути также сложна и вызывает затруднения у учителей и учащихся. При решении задач возникает много трудностей, порой кажется, что невозможно составить краткую запись задачи, а о решении и речи не может быть. Я хотела бы помочь разрешить все затруднения при решении текстовых задач в системе Д.Б. Эльконина–В.В. Давыдова.

Но хотелось бы добавить, что какую бы задачу мы не решали, во всех случаях это очень трудное дело.

1. Теоретическая часть.

1.1 Ознакомление с текстовыми задачами.

В начальном обучении математике велика роль текстовых задач. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащегося. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать такие задачи различными способами. Существуют простые и составные задачи. Задачи, которые решаются в одно действие называются простыми задачи, решающиеся в два и более – составные.

Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса).

В условии сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требования задачи – это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной (Найти площадь прямоугольника) или вопросительной форме (Чему равна площадь прямоугольника?).

Рассмотрим задачу: “На тракторе “Кировец” колхозное поле можно вспахать за 10 дней, а на тракторе “Казахстан” – за 15 дней. На вспашку поставлены оба трактора. За сколько дней будет вспахано поле?”

Условие этой задачи. “На тракторе “Кировец” колхозное поле можно вспахать за 10 дней, а на тракторе “Казахстан” – за 15 дней. На вспашку поставлены оба трактора.”. В нем описываются отношения между тремя величинами: объемом работы, производительностью труда и временем выполнения работы, причем в трех различных ситуациях.

Первая ситуация. Некоторый объем работы выполняется только на тракторе “Кировец” с определенной производительностью. Известно значение одной величины, а именно время работы – 10 дней. Значения других величин известны.

Вторая ситуация. Тот же объем работы выполняется только на тракторе “Казахстан” с определенной производительностью. Известно время работы – 15 дней. Значения других величин неизвестны.

Третья ситуация. Тот же объем работы выполняется двумя тракторами с соответствующей каждому производительностью. Значения всех трех величин неизвестны.

Требование (вопрос) задачи: “За сколько дней будет вспахано поле?” В нем указывается, что нужно найти одно из неизвестных значений величин, а именно время совместной работы. Это же требование должно быть сформулировано в повелительной форме: “Найти число дней, которое потребуется для вспашки поля двумя тракторами при совместной работе”.

В данной задаче пять неизвестных значений величин, одно из которых заключено в требовании задачи. Это значение величины назовем искомым.

Иногда задачи формулируются таким образом, что часть условия или все условие включены в одно предложение с требованием задачи. Например, приведенная выше задача может быть дана в такой формулировке: “На тракторе “Кировец” колхозное поле можно вспахать за 10 дней, а на тракторе на “Казахстан” – за 15 дней. За сколько дней можно вспахать это поле, если будут работать оба трактора?” В ней часть условия (“будут работать оба трактора”) помещена в предложение с требованием задачи. В следующем тексте все условие делается в одном предложении с вопросом: “За сколько дней вспашут поле тракторы “Кировец” и “Казахстан”, работая вместе, если на одном из них поле может быть вспахано за 10 дней, а на другом – за 15 дней?”

В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные задачные ситуации. Сформулированные на их основе задачи могут содержать избыточную информацию, т.е. такую, которая не нужна для выполнения требования задачи. Например, в рассмотренной выше задаче для выполнения ее требования не имеют значения названия марок тракторов. Здесь важно лишь, что в задаче речь идет о двух тракторах с разной производительностью.

В задаче “Девочка нашла 10 белых и 5 подберезовиков, а мальчик 7 белых грибов. Сколько белых грибов нашли дети?” содержится избыточная информация о подберезовиках. Данное “5 подберезовиков” оказывается лишним.

На основе возникающих в жизни задачных ситуаций могут быть сформулированы и задачи, в которых недостаточно информации для выполнения требований. Так, в задаче “Найти длину и ширину участка прямоугольной формы, если известно, что длина больше ширины на 3 м” недостаточно данных для ответа на ее вопрос. Чтобы можно было решить задачу, необходимо ее дополнить недостающими данными. Такими данными может быть значение площади или некоторые данные, по которым можно было бы определить одну из искомых сторон.

Одна и та же задача может рассматриваться как задача с избыточными (недостающими) данными и как задача с достаточным числом данных в зависимости от имеющихся у решающего знаний. Например, ученик, не имеющий знаний о вспашке поля как задачу с недостающей информацией. Решить ее он сможет, если в эту задачу ввести, например, значение о площади вспахиваемого поля. При наличии знаний о дробях и действиях с ними ответить на вопрос задачи можно и не зная площади поля.

Ключ к решению задачи – это анализ ее решения, на основе которого устанавливается зависимость между данными и искомыми значениями величин.

Основной традиционный прием анализа задач – разбор от вопроса и от числовых данных. Обратим внимание на толкование этих понятий. Разбор задачи от вопроса – это суждение, которое состоит в том, чтобы подобрать два числовых значения одной или разных величин таким образом, чтобы дать ответ на вопрос задачи. Одно из значений или оба могут быть неизвестными. Для их нахождения подбираются два других, и так продолжается процесс подбора, пока не приходим к известным числовым значениям величин.

В результате такого разбора учащиеся устанавливают зависимость между числовыми значениями величин, расчленяют ее на простые задачи и составляют план ее решения. Установить связь между числовыми данными задачи и расчленить ее на ряд простых можно и путем разбора от числовых данных.

Разбор задачи от числовых данных состоит в том, что к двум числовым данным подбирается вопрос, затем к следующим двум данным, одно из которых может быть результатом первого действия, подбирается следующий вопрос. И этот процесс продолжается, пока не будет получен ответ на вопрос задачи.

В некоторой методической литературе разбор задачи от вопроса называется «аналитическим методом разбора, а разбор задачи от числовых данных – «синтетическим методом разбора». Но и первый и второй методы разбора есть анализ условия задачи, поскольку оба они направлены на расчленение составной части задачи на простые. Указанные способы разбора задач являются средством раскрытия пути их решения.

При анализе задачи от вопроса и от числовых данных можно выделить этапов. На первом этапе необходимо:

1) научить детей анализировать условие составной задачи и проводить рассуждение при ее разборе от вопроса;

2) довести до сознания учащихся, что для ответа на вопрос задачи необходимо, чтобы в ее условии было дано не менее двух числовых данных.

Достигнуть этого можно путем решения серий простых задач на все четыре действия без числовых данных, с неполными и полны­ми данными.

Затем решаются простые задачи разных видов, связанные с действиями вычитания, умножения и деления. Учитель на доске, а учащиеся в тетрадях чертят схемы. Дается установка: прямоугольники со знаком вопро­са задачи начертить длиной в две клетки и высотой в одну; на одну клетку ниже начертить два других прямоугольника так, чтобы расстояние между ними было в две клетки, и соединить их между собой отрезками.

В результате решения простых задач с графической иллюстрацией учащиеся убеждаются, что для решения задачи необходимо, чтобы в ее условии было дано не менее двух числовых данных одной или нескольких величин, а также приобретают навыки пра­вильно формулировать вопросы при анализе задачи

На втором этапе решаются задачи в два и три действия с полным анализом и его графической иллюстрацией

Таким образом, чтобы сформировать у учащихся понятие анализа составных задач и выработать умение вести рассуждение, необходимо решить значительное количество задач разной структуры. При фронтальном разборе задачи схему на доске чертит учитель, а учащиеся анализируют условие задачи. В тетрадях дети чертят схемы по указанию учителя, главным образом при ознакомлении с новым видом задач и при выполнении домашнего задания.

Схема дает наглядное представление о раз­биении составной задачи на простые и служит опорой мыслительной деятельности учащихся при анализе задачи, как от вопроса, так и от числовых данных. При этом создаются благоприятные условия для повторения ана­лиза задачи.

На третьем этапе, когда учащиеся овладели полным анализом задачи от вопроса и от числовых данных, возникают условия для дальнейшего развития абстрактного мышле­ния учащихся и повышения эффективности работы над задачей, используя неполный анализ при разборе задач.

Полный анализ задачи, решаемой в 4— 5 действий, является многословным, забирает много времени. В учебниках для начальных классов значительное количество составляют задачи с прямым указанием на выполнение действия, т. е. задачи, «прозрачные». Применение к таким задачам полного анализа тормозит движение мысли учащихся, так как большинство детей сразу могут составить план решения, если задача сокращенно записана в удобной форме. Анализ условия прозрачных задач способом разбора от числовых данных целесообразно сочетать с сокращенной записьюих условия. При этом учащиеся сначала знакомятся с содержанием задачи и затем составляют сокращенную запись одновременно с анализом ее условия. Такое сочетание дает четкое представление о полезности работы по сокращенной записи условия задачи, при которой записываются не только числа, но и математические выраже­ния, укорачивает ее запись. Предпосылкой для такой работы является умение учащихся устанавливать связь между данными и иско­мыми в простых задачах, которой они овладевают в процессе их решения в I—II классах. В зависимости от подготовки уча­щихся часто бывает полезно провести подго­товительную работу к решению составной задачи. С этой целью предлагается решить устно несколько простых задач тех видов, с которыми они будут соприкасаться при решении составной задачи. Сочетание состав­ления краткой записи условия задачи с его анализом, при котором записываются как числа, так и соответствующие выражения, дает возможность не только уяснить содержание задачи, но и выявить зависимость между числовыми значениями величина наметить порядок действий, сократить рассуждение, используя неполный анализ, при котором числовые выражения воспринимаются как известные данные.

Для учащихся, которые затрудняются составить план решения, ведется более подробный анализ.

В учебнике имеются задачи, требующие найти сумму нескольких значений одной величины, в которых каждое последующее значение больше или меньше предыдущих значений на несколько единиц. Составление сокращенной записи условия таких задач с их анализом, при котором записываются не только числа, но и выражения, не только укорачивает условие задачи, но и делает более прозрачный путь к ее решению.

Решая задачи, которые включают в себя простые задачи, сокращенная запись условия задачи, при которой записываются выражения, учащиеся не только воспроизводят знания связей между числовыми значениями простых задач, но и обогащаются знаниями о новых связях, на основе которых сочетаются простые задачи.

В курс математики начальных классов включены составные задачи, которые имеют несколько числовых значений различных величин и связанных различными зависимостями. В решении таких задач многие учащиеся затрудняются. Сокращенная запись условия задачи, при которой «прозрачные» связи зависимости между числовыми значе­ниями величин записываются с помощью математических выражений, значительно об­легчает разбор и решение задачи. При этом задача разделяется на две части: на «прозрачную» часть и часть, в которой зависимость между числовыми значениями величин дана в завуалированном виде.

При решении многих задач учащиеся допускают ошибки из-за того, что не умеют представить жизненную ситуацию, описанную в задаче, и не умеют осознать отношения между величинами.

Ко всем ли задачам нужна краткая запись? Конечно, нет. В учебниках имеются задачи с небольшими числами, кратко сформулированные, решение которых дети могут легко записать с помощью математического выражения.

Таким образом, планируя на уроке решение /составных задач, следует творчески использо­вать в работе различные методические прие­мы.

Сочетание сокращенной записи условия задачи с ее анализом, когда записываются не только числа, не и выражения, предполагаю­щие определенные действия, делают задачу более «прозрачной» в поиске ее решения. При этом создаются условия для экономии време­ни и повышения эффективности и самостоя­тельности работы учащихся. Кроме этого, возникают условия для дифференцированной работы учащихся. Дети, которые после сокращенной записи условия задачи умеют составить план решения задачи, приступают к самостоятельному его выполнению, а для учащихся, которые затрудняются, ведется более подробный анализ условия задачи с использованием наглядности.

После того как задача решена, получен ответ, не следует торопиться приступать к выполнению другого задания. Полезно подумать, попробовать найти другой способ решения задачи, осмыслить его, попытаться обратить внимание на трудности при поиске решения задачи, проанализировать неверно найденное решение, выявить новую и по­лезную для учащихся информацию.

Такой подход к обучению решению задач будет способствовать формированию приемов работы над задачей, элементов творческого мышления учащихся наряду с реализацией непосредственных целей обучения. Програм­мой по математике для начальной школы предусмотрено использование различных приемов работы, и это нашло отражение в учебниках математики. Предлагаются зада­ния: реши задачу другим способом, составь и реши обратную задачу, измени вопрос так, чтобы задача решалась в одно (два) действие и др. Каждый из приемов применяется с определенной учебной и развивающей целью. Однако такие задания выполняются в том случае, когда в учебнике дано соответ­ствующее указание. Принято считать, что развитию математического мышления и твор­ческой активности учащихся способствует решение нестандартных задач. Действитель­но, задачи такого рода вызывают у детей интерес, активизируют мыслительную дея­тельность, формируют самостоятельность, нешаблонность мышления. Но ведь почти каждую текстовую задачу можно сделать творческой при определенной методике обу­чения решению. Существуют приемы и формы организации работы при обучении младших школьников решению задач, которые, как показывает опыт, способствуют развитию творческой активности и мышления учащихся, вырабатывают стойкий интерес к решению текстовых задач и которые недостаточно часто применяются в практике работы.

Один из таких приемов работы над задачей — изменение вопроса задачи. Этот прием используется с различной дидактической целью.

Такой прием находит отражение в учебниках математики для I и II классов.

Крайне редко используется прием по изменению вопроса в III классе, несмотря на то, что применение его приносит большую пользу и позволяет более полно использовать условие той или иной задачи.

Поиск различных способов решения задачи – один из эффективных приемов, позволяющих глубже раскрыть взаимосвязь между величинами, входящими в задачу, и один из способов проверки решения задачи. Поэтому целесообразно направить деятельность учащихся на поиск решения, их сравнения и выбор рационального. Все это, несомненно, окажет положительное влияние на развитие мышления учащихся и умения решать задачи. Однако большую помощь для более глубокого осмысления взаимосвязей между величинами, входящими в задачу, окажет постановка продуманных вопросов и поиск ответов на них.

Целесообразность применения того или иного приема работы над задачей требует от учителя тщательного продумывания цели решения задачи, изучения содержания задачи, особенности ее решения.

1.2. Способы решения текстовых задач.

Решить задачу – это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами, отношениями выполнить требование задачи (ответить на ее вопрос).

В качестве основных в математике различают арифметические и алгебраическиеспособы решения задач. При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами.

Различные арифметические способы решения одной и той же задачи отличаются отношения между данными, данными и неизвестными, данными и искомым, положенными в основу выбора арифметических действий, или последовательностью использования этих отношений при выборе действий.

Решение текстовой задачи арифметическим способом – это сложная деятельность, содержание которой зависит как от конкретной задачи, так и от умений решающего. Тем не менее, в ней можно выделить несколько этапов:

1. Восприятие и анализ содержания задачи.

2. Поиск и составление плана решения задачи.

3. Выполнение плана решения. Формулировка вывода о выполнении требования задачи (ответа на вопрос задачи).

4. Проверка решения и устранение ошибок, если они есть. Формулировка окончательного вывода о выполнении требования задачи или ответа на вопрос задачи.

Следует подчеркнуть, что в реальном процессе решения задачи отмеченные этапы не имеют четких границ и не всегда выполняются одинаково полно. Так, иногда уже при восприятии задачи решающий может обнаружить, что данная задача – известного ему вида и он знает как ее решать. В том случае поиск решения не вычленяется в отдельный этап и обоснование каждого шага при выполнении первых трех этапов делает необязательной проверку после выполнения решения. Однако полное, логически завершенное решение обязательно содержит все этапы. А знание возможных приемов выполнения каждого из этапов делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправленным, а значит, и более успешным.

Основная цель первого этапа решения – понимание решающим в целом ситуации, описанной в задаче, понимание условия задачи, ее требование или вопроса, смысла всех терминов и знаков, имеющих в тексте.

Известно несколько приемов, применение которых способствует пониманию содержания задачи.

Прочитаем, например, такую задачу:

По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. Сначала движения до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со средней скоростью 8 км/ч. от идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядим. Какое расстояние пробежит за это время собака?

Разобраться в содержании этой задачи, вычленить условие и требование ее можно, если задать специальные вопросы по тексту и ответить на них.

1. О чем эта задача? (Задача о движении двух мальчиков и собаки. Это движение характеризуется для каждого его участника скоростью, временем и пройденным расстоянием.)

2. Что требуется найти в задаче? (В задаче требуется найти расстояние, которое пробежит собака за все это время.)

3. Что означают слова “за все это время”? (В задаче говорится, что собака бегает между мальчиками с “с начала движения до того, как второй мальчик догонит первого”. Поэтому слова “за все это время” означают “за все то время с начала движения до того, как второй мальчик догонит первого”.)

4. Что в задаче известно о движении каждого из участников его? (В задаче известно, что: 1) мальчики идут в одном направлении; 2) до начала движения расстояние между мальчиками было 2 км; 3) скорость первого мальчик, идущего впереди, 4 км/ч; 4) скорость второго мальчика, идущего позади, 5 км/ч; 5) скорость бега собаки 8 км/ч; 6) время движения всех участников одинаково: это время от начала движения, когда расстояние между мальчиками было 2 км, до момента встречи мальчиков, т.е. до момента, когда расстояние между ними стало 0 км.)

5. Что дальше известно? (В задаче неизвестно, в течение какого времени второй мальчик догонит первого, т.е. не известно время движения всех его участников. Неизвестно также, с какой скоростью происходит сближение мальчиков. И неизвестно расстояние, которое пробежала собака, - это требуется узнать в задаче.)

6. Что является искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения? (Искомым является значение величины – расстояния, которое пробежала собака за общее для всех участников время движения.)

Большую помощь в осмыслении содержания задачи и создания основы для поиска решения задачи оказывает переформулировка текста задачи – замена данного в нем описания ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи и количественные характеристики, но и более явно их выражающим. Особенно эффективно использование этого средства в сочетании с разбиением текста на смысловые части.

Направления переформулировки могут быть следующие: отбрасывание несущественной, излишней информации; замена описания некоторых понятий соответствующими терминами и, наоборот, замена некоторых терминов описанием смысла соответствующих понятий; переорганизация текста задачи в форму, удобную для поиска решения. Результатом переформулировки должно быть выделение основных ситуаций. Так, заметив, что речь в приведенной выше задаче идет о движении, ее можно переформулировать следующим образом:

“Скорость первого мальчика 4 км/ч, а скорость догоняющего его второго мальчика 5 км/ч (первая часть задачи). Расстояние, на которое мальчики сблизились, 2 км (вторая часть). Время ходьбы мальчиков – это время, в течение которого второй мальчик пройдет на 2 км больше, чем первый (третья часть). Скорость бега собаки 8 км/ч. Время бега собаки равно времени ходьбы мальчиков до встречи. Требуется определить расстояние, которое пробежала собака.”

Учащиеся с первых дней учатся решать текстовые арифметические задачи. Но более глубокое изучение текстовых арифметических задач происходит в 3 классе.

В третьем классе продолжается работа по формированию у учащихся умения решать как простые, так и составные текстовые арифметические задачи различных видов. К этому времени учащиеся усваивают общее умение решать арифметические задачи: умеют анализировать задачу, выделяя данные и искомое, устанавливать соответствующие связи, на основе которых выбирают арифметические действия, выполнять решение и проверять его, умеют по разному оформлять решение. Это позволяет в большей мере, чем прежде, привлекать детей к самостоятельному решению не только задач знакомой структуры, но и новой, а следовательно, и закреплять это общее умение. С начала учебного года в этих целях можно использовать известную памятку “Как решать задачу”. За предшествующие два года обучения дети, кроме того, научились решать простые задачи различных видов, а также составлять задачи в два или три действия. Для закрепления умения решать эти задачи их надо предлагать в течение года для самостоятельного решения устно или с записью. При этом для развития учащихся весьма полезны упражнения творческого характера: составление задач и их решение, преобразование данных задач и их решений, сравнение задач, сравнение решений задач и т.п. Включая такие упражнения, важно соблюдать дифференцированный подход, учитывая разную степень готовности учащихся к их выполнению.

В 3 классе вводятся новые виды простых и составных задач. В методике работы по решению каждой из них просматриваются, как и ранее, определенные этапы. Сначала идет подготовка к введению задач нового вида, которая сводится к выполнению специальных упражнений, предусмотренных в учебнике или составленные учителем. Далее идет ознакомление с решением задач нового вида: под руководством учителя, с большей или меньшей долей самостоятельности, ученики решают задачу или несколько задач. В дальнейшем ведется работа по совершенствованию умения решать задачи рассмотренного вида. Как правило, на этом этапе ученики решают задачи самостоятельно устно или с записью решения, при этом используют различные формы записи: отдельными действиями с пояснением в утвердительной или вопросительной форме, а также без пояснений, в виде выражения. Здесь также эффективны различные упражнения текстового характера. Очень важно научить детей выполнять проверку решения задач новых видов и чаще побуждать их проверять решения. Сообразуясь с целями работы, следует каждый раз подбирать соответствующую форму организации занятий: продумать, будут ли дети решать задачи индивидуально или объединяться группами (парами, тройками или по-другому).

Рассмотрим особенности методики обучения решению каждой из задач ново математической структуры.

К новым видам простых задач относятся задачи на увеличение (уменьшение) данного числа или значения величины на несколько единиц или в несколько раз, сформулированные в косвенной форме; задачи на вычисление времени; задачи, с помощью которых раскрывается связь между величинами: скоростью, временем и расстоянием.

Задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, сформулированные в косвенной форме, легко преобразовать в задачи, сформулированные в прямой форме, используя знание отношения: если первое число больше (меньше) второго на несколько единиц, то второе число меньше (больше) первого на столько же единиц. Таким образом, до введения задач в косвенной форме надо воспроизвести знание этого отношения. Ученики сами могут сформулировать соответствующий вывод после решения задачи на разностное сравнение с двумя вопросами. Например: “В школьном шахматном турнире участвовало 46 мальчиков и 24 девочки. На сколько больше мальчиков, чем девочек участвовало в турнире? На сколько меньше девочек, чем мальчиков участвовало в турнире?” Решив задачу, ученики объясняют, что девочек было на столько же меньше, чем мальчиков, на столько мальчиков было больше, чем девочек. В результате ряда аналогичных наблюдений ученики могут сформулировать вывод в обобщенном виде.

При ознакомлении с решением задач, сформулированных в косвенной форме, можно сначала решить задачу, сформулированную в прямой форме, а от нее перейти к задаче того же вида, сформулированной в косвенной форме.

Аналогично вводятся задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз, сформулированные в косвенной форме. При этом надо предусмотреть их сравнение с соответствующими задачами на увеличение и уменьшения числа на несколько единиц.

Задачи на вычисление времени трех видов (нахождение продолжительности события, его начала и конца) рассматривались и ранее, но их решение выполнялось подсчетом минут, часов, дней (суток) по циферблату часов или календарю. Здесь же при решении таких задач выполняются арифметические действия – сложение или вычитание. Циферблат или календарь также можно использовать как для решения, так и для проверки решения.

С помощью решения простых задач, включающих в величины: скорость, время и расстояние, раскрывается связь между этими величинами при равномерном движении, что служит подготовкой к введению составных задач на движение.

В 3 классе вводятся также составные задачи новой математической структуры: задачи на пропорциональное деление разных видов, задачи на нахождение неизвестных по двум разностям разных видов, задачи на встречное движение и движение в противоположных направлениях, задачи на совместную работу. Раскроем особенности работы по решению этих составных задач.

Задачи на пропорциональное деление вводятся по-разному: можно предложить для решения готовую задачу, а можно сначала составить ее, преобразовав задачу на нахождение четвертого пропорционального. В том и другом случае успех решения задач на пропорциональное деление будет определяться твердым умением решать задачи на нахождение четвертого пропорционального, поэтому в качестве подготовки надо предусмотреть решение задач соответствующего вида на нахождение четвертого пропорционального. Именно поэтому предпочтительней второй из названных вариантов введения задач на пропорциональное деление.

Переходя к решению готовых задач из учебника, а также задач, составленных учителем, включающих различные группы величин, сначала надо установить, о каких величинах идет речь в задаче, затем записать задачу кратко в таблице, предварительно расчленив вопрос задачи на два вопроса, если в нем есть слово каждый. Решение, как правило, ученики выполняют самостоятельно, разбор ведется только с отдельными учениками. Вместо краткой записи можно сделать рисунок. Например, если в задаче говорится о кусках материи, мотках проволоки и т.п., то их можно изобразить отрезками, записав соответствующие числовые значения данных величин. Заметим, что не следует каждый раз выполнять краткую запись или рисунок, если ученик, прочитав задачу, знает, как ее решить, то пусть решает, а краткой записью или рисунком воспользуются те, кто затрудняется решить задачу. Постепенно задачи должны усложняться путем введения дополнительных данных (например: “В первом куске было 16 м материи, а во втором в 2 раза меньше…”) или постановкой вопроса (например: “На сколько метров материи было больше в первом куске, чем во втором?).

При ознакомлении с решением задачи на непропорциональное деление можно иди другим путем: сначала решить готовые задачи, а позднее выполнить преобразование задачи на нахождение четвертого пропорционального в задачу на пропорциональное деление и после их решения сравнить как сами задачи, так и их решения.

Обобщению умения решать задачи рассмотренного вида помогают упражнения творческого характера. Назовем некоторые из них.

До решения полезно спросить, на какой из вопросов задачи получится в ответе большее число и почему, а после решения проверить, соответствую ли этому виду полученные числа, что явится одним из способов проверки решения. Можно далее выяснить, могли ли получиться в ответе одинаковые числа и при каких условиях.

Полезны упражнения на составление задач учащимися с последующим решением их, а также упражнения по преобразованию задач. Это, прежде всего, составление задач, аналогичных решенной. Так, после решения задачи с величинами: ценой, количеством и стоимостью – предложить составить и решить похожую задачу с теми же величинами или с другими, например скоростью, временем и расстоянием. Это составление задач по их решению, записанному как в виде отдельных действий, так и в виде выражения, это составление и решение задач по их краткой схематической записи (см. приложение 1).

Ученики называют ве