Прикладная математика

Министерство общего и профессионального

образования Российской Федерации

Государственный университет управления

Кафедра прикладной математики

Утверждено

первым проректором ГАУ

проф. Ю.Л. Старостиным

Методические указания

к выполнению курсового проекта

по дисциплине

²Прикладная математика²

для студентов всех специальностей

дневного и вечернего отделения

Москва - 2000

УДК

Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине ”Прикладная математика”/Сост.: Колемаев В.А., Карандаев И.С. и др. ГУУ, М.:2000.

Составители

Колемаев В.А. – профессор, доктор экономических наук

§15.

Карандаев И.С. - доцент. §§2, 4-10

приложения I, III, IX.

Малыхин В.И. - профессор, доктор физико-математических наук

§§11-14, приложения V, VII, VIII.

Гатауллин Т.М. - доцент, кандидат физико-математических наук

§§1, 3, приложение IV.

Прохоров Ю.Г. - доцент, кандидат физико-математических наук

Приложение VI.

Юнисов Х.Х. – старший преподаватель, приложение II.

Ответственный редактор

заведующий кафедрой прикладной математики

доктор экономических наук, профессор

Колемаев В.А.

Рецензент

кандидат экономических наук, доцент

кафедры экономической кибернетики

Васильева Л.Н.

© Государственный университет управления, 2000

Предисловие

Учебными планами всех специальностей ГУУ предусмотрено выполнение курсового проекта по дисциплине ²Прикладная математика². Как указано в программе этой дисциплины, прикладная математика состоит из двух основных разделов: теории вероятностей и ее приложений и математических методов исследования операций, которые включают также финансовую математику, что особенно важно для студентов-заочников, специализирующихся в области финансового и банковского менеджмента. Программой предусмотрено также изучение основных вопросов линейной алгебры.

Рекомендуется изучить основы теории систем линейных алгебраических уравнений по учебнику (1). Напомним, что в задачах линейной оптимизации приходится в основном рассматривать системы линейных алгебраических уравнений в предпочитаемой форме, когда каждое уравнение системы содержит неизвестную, входящую только в это уравнение, причем с коэффициентом +1, а поиск оптимального решения сводится к направленному перебору базисных неотрицательных решений. Поэтому студент должен иметь ввиду, что нет смысла приступать к рассмотрению линейной производственной задачи курсовой работы, пока не изучены основы теории систем линейных алгебраических уравнений, изложенные в §§ 1, 2 главы 1 учебника (1).

Краткое и сжатое изложение основных вопросов исследования операций дано в работе (7), а разбор задач - в пособии (16). При этом полезно предварительно ознакомиться с работой (11), где некоторые важнейшие вопросы программы изложены весьма подробно и доходчиво. Специальные вопросы исследования операций изложены в работах (6), (8) и (25).

Финансовая математика может быть изучена по работам (20), (23). Необходимый для этого материал по теории вероятностей и математической статистике рекомендуется изучить по учебнику (2).

§1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСОВОГО ПРОЕКТА

Выполнение курсового проекта по прикладной математике направлено на усиление связи обучения студентов с практикой совершенствования управления, организации современного производства, всего механизма хозяйствования.

В процессе работы над курсовым проектом студент не только закрепляет и углубляет теоретические знания, полученные на лекциях и на практических занятиях, но и учится применять методы исследования операций при постановке и решении конкретных экономических задач.

Цель курсового проекта - подготовить студента к самостоятельному проведению операционного исследования, основными этапами которого являются построение математической модели, решение управленческой задачи при помощи модели и анализ полученных результатов.

§2. Задание на курсовОЙ ПрОЕКТ

1. Сформулировать линейную производственную задачу и составить ее математическую модель, взяв исходные данные из приложения 1, где технологическая матрица А затрат различных ресурсов на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С при возможном выпуске четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов

компактно записаны в виде

c₁ c₂ c₃ c₄

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₄ b₁

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ b₂

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄ b₃

Преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее методом направленного перебора базисных допустимых решений, обосновывая каждый шаг процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать ²узкие места² производства.

В последней симплексной таблице указать обращенный базис Q^-1, соответствующий оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение соотношения

H = Q^-1B

Если по оптимальной производственной программе какие-то два вида продукции не должны выпускаться, то в таблице исходных данных вычеркнуть соответствующие два столбца, составить математическую модель задачи оптимизации производственной программы с двумя оставшимися переменными, сохранив прежнюю нумерацию переменных и решить графически.

2. Сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, как задачу определения расчетных оценок ресурсов, и найти ее решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности (о дополняющей нежесткости). Указать оценку единицы каждого ресурса, минимальную суммарную оценку всех ресурсов, оценки технологий.

Применить найденные двойственные оценки ресурсов к решению следующей задачи.

Сформулировать задачу о "расшивке узких мест производства" и составить математическую модель. Определить область устойчивости двойственных оценок, где сохраняется структура программы производства. Решить задачу о ²расшивке узких мест производства² при условии, что дополнительно можно получить от поставщиков не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида (если задача окажется с двумя переменными, то только графически); найти план приобретения дополнительных объемов ресурсов, дополнительную возможную прибыль.

По пунктам 1, 2, 3 составить сводку результатов (10, c. 21).

3. Составить математическую модель транспортной задачи по исходным данным из приложения 2, где вектор объемов производства А(a₁,..., a_m), потребления - В (b₁,..., b_n) и матрица транспортных издержек С=(с_ij), i =; j = кратко записаны в виде

b₁ b₂ . . . b_n

a₁ c₁₁ c₁₂ . . . c_1n

a₂ c₂₁ c₂₂ . . . c_2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a_m c_m1 c_m2 . . . c_mn

Если полученная модель окажется открытой, то свести ее к замкнутой и найти оптимальное решение транспортной задачи методом потенциалов.

4. Методом динамического программирования решить задачу распределения капитальных вложений между четырьмя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб., по исходным данным, приведенным в приложении 3 (выделяемые суммы кратны 100 тыс.).

5. Рассмотреть динамическую задачу управления производством и запасами. Решить конкретную задачу по исходным данным, приведенным в приложении 4.

6. Рассмотреть матричную игру как модель сотрудничества и конкуренции, взяв исходные данные из приложения 5. Найти графически решение игры. Указать, как проявляется конкуренция между игроками и сотрудничество между ними.

7. Рассмотреть задачу о максимальном потоке в сети. Решить конкретную задачу на сети с 8-9 вершинами, предложив исходные данные самостоятельно.

8. Рассмотреть задачу о кратчайшем пути. Решить конкретную задачу, предложив исходные данные самостоятельно.

9. Рассмотреть задачу о назначениях. Решить конкретную задачу, предложив исходные данные самостоятельно.

10. Методом ветвей и границ найти целочисленное решение задачи о "расшивке узких мест производства", рассмотренной в пункте 2. Если же все компоненты плана "расшивки" были целочисленными, то в условии вместо К=3 взять другое целое значение К так, чтобы решение оказалось не целочисленным, после чего применить метод ветвей и границ.

11. Рассмотреть линейную задачу многокритериальной оптимизации. Составить самостоятельно конкретную задачу с двумя переменными и тремя критериями и решить методом последовательных уступок.

12. Рассмотреть модель международной торговли (модель обмена). Составить самостоятельно конкретную структурную матрицу торговли между тремя странами и найти, в каком отношении должны находиться госбюджеты этих стран, чтобы торговля между ними была сбалансированной.

13. Рассмотреть задачу управления производственным комплексом без полной информации в верхнем звене управления двухуровневой системы. Решить блочно-диагональную задачу методом разложения, предложив исходные данные самостоятельно.

14. Составить матричную модель производственной программы предприятия по исходным данным из приложения 6. По данному вектору выпуска товарной продукции найти вектор производственной программы и полные затраты всех внешних ресурсов.

15. Провести анализ доходности и риска финансовых операций по исходным данным, приведенным в приложении 7.

16. Решить задачу формирования оптимального портфеля ценных бумаг: бумаги первого вида - безрисковые ожидаемой эффективности m₀, а второго и третьего вида - некоррелированные рисковые ожидаемых эффективностей m₁, m₂ c рисками s₁, s₂. Исходные данные взять из приложения 8.

17. Рассмотреть задачу принятия решений в условиях неопределенности, взяв исходные данные из приложения 7. По номеру берете строки с номерами . Например, при :

1. (2,1/2)(0,1/4)(14,1/8))(6,1/8) 2. (2,1/2)(4,1/4)(18,1/8))(8,1/8)

3. (4,1/4)(0,1/4)(6,1/3))(12,1/6) 4. (6,1/4)(2,1/4)(14,1/3))(4,1/6)

В этих строках опускаете дроби и получаете:

1. (2,0,14,6) 2.(2,4,18,8) 3. (4,0,6,12) 4.(6,2,14,4)

Полученные строки объединяете в матрицу, аналогичную матрице . Вероятности состояний берете из строки с номером , оставляя в ней только дроби: 1.(2,1/2)(0,1/4)(14,1/8)(6,1/8), т. е. получаете (1/2,1/4,1/8,1/8). Затем:

а) Найдите матрицу рисков.

б) Найдите решения, рекомендуемые правилами Вальда, Сэвиджа, Гурвица (l задайте сами).

в) При данных вероятностях состояний проанализируйте имеющееся семейство из 4-х операций: каждая операция имеет две характеристики – средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск, нанесите для каждой операции эти характеристики на плоскую систему координат и выявите операции, оптимальные по Парето.

г) Затем найдите выпуклую оболочку множества полученных точек и дайте интерпретацию точек полученной выпуклой оболочки.

д) Придумайте пробную операцию, которая значительно сместит распределение вероятностей, и определите максимально оправданную стоимость пробной операции, используя какой-нибудь подходящий критерий эффективности операций (например, средний ожидаемый доход).

е) Выберите какие-нибудь две операции, предположите, что они независимы друг от друга и найдите операцию, являющуюся их линейной комбинацией и более хорошую, чем какая-либо из имеющихся.

ж) Придумайте взвешивающую формулу (ее придется объяснить при защите курсовой работы!) и найдите по ней худшую и лучшую операции.

18. Произвести математико-статистический анализ за T лет X_t, K_t, L_t (t = 1, …, T) о выпуске продукции (в стоимостном виде), ОПФ и числе занятых исследуемого производственного экономического объекта:

а) найти прогноз выпуска, фондов и занятых на 1, 2, 3 года вперед

по выявленному линейному или квадратичному тренду;

б) найти прогноз выпуска на 1, 2, 3 года вперед

с помощью построенной мультипликативной производственной функции

в) на основе результатов расчетов сделать выводы о состоянии и перспективах развития исследуемого экономического объекта.

§3. Организация выполнения курсовоГО ПрОЕКТА

Студент выполняет 5-8 пунктов задания в любом наборе в соответствии со своей специальностью и своими интересами по согласованию с руководителем, при этом пункты 1, 2, 4, 6 являются обязательными для студентов любых специальностей. Номера задач из приложений выбираются либо по номеру студента в списке, либо по начальной букве своей фамилии по схеме:

Начальная буква А Б В Г Д Е Ж З И, Й Ка-Кл Км-Кр

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Кс-Кя Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц,Ч Ш,Щ,Ы Э,Ю,Я

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Курсовая работа выполняется аккуратно на одной стороне листа стандартного формата. Графики строятся черными или цветными карандашами средней твердости на обычной или миллиметровой бумаге. Листы с текстом курсовой работы и графики должны быть сшиты.

Текст работы должен содержать все необходимые расчеты и пояснения. В случае применения ЭВМ в работе должны содержаться блок-схема решения задачи, распечатка программы и результатов с необходимыми пояснениями.

В курсовом проекте обязательны оглавление и сквозная нумерация всех листов. Образец титульного листа содержится в приложении 9.

Курсовая работа сдается преподавателю до защиты для проверки. При защите курсовой работы студент должен показать знание теоретического курcа и умение математически ставить, решать и анализировать конкретные экономические задачи.

§4. Линейная производственная задача

Задача о рациональном использовании производственных мощностей является одной из первых задач, для решения которой были применены методы линейного программирования. В общем виде математическая модель задачи об использовании производственных мощностей может быть получена следующим образом.

Предположим, что предприятие или цех выпускает видов изделий, имея m групп оборудования. Известны нормы времени на обработку каждого изделия на каждой группе оборудования, например, в минутах или часах и фонд времени работы каждой группы оборудования. Пусть, кроме того, известно, что из всех видов изделий наибольшим спросом пользуются k видов. Требуется составить план производства, при котором выпуск дефицитных изделий будет наибольшим возможным.

Примем следующие обозначения:

i – номер группы оборудования (i=1,2, … , m);

j – номер вида изделия (j=1,2, … , );

a_ij – норма времени на обработку единицы i-го изделия на j-ой группе оборудования;

b_i – действительный фонд времени работы i-й группы оборудования;

x_i – планируемое количество единиц j-го изделия;

(x₁, x₂, … , x_n) – искомый план производства.

Какова бы ни была производственная программа (x₁, x₂, … , x_n), ее компоненты должны удовлетворять условию, что суммарное время обработки всех изделий на данной группе оборудования не должно превышать фонда времени работы этой группы оборудования. На обработку x₁ единиц первого изделия на i-й группе оборудования будет затрачено a_i1x₁ единиц времени, на обработку x₂ единиц второго изделия на той же группе оборудования будет затрачено a_i2x₂ единиц времени и т.д. Необходимое время на обработку всех x₁, x₂, … , x_n изделий на i-й группе оборудования будет равно сумме

Эта сумма не может превышать фонд времени работы i-й группы оборудования, т.е. должна быть £ b_i. Выписывая такие условия для всех m групп оборудования, получаем: