Методы обучения математике в 10 -11 класах

РОЗДІЛ 2

Використання методів навчання при вивченні деяких змістових ліній курсу алгебри і початків аналізу. „Елементарні функції”, “Похідна та її застосування”

§1. ПОЯСНЮВАЛЬНО-ІЛЮСТРАТИВНИЙ МЕТОД

Пояснювально-ілюстративний метод можна використовувати на будь-якому уроці, а не лише при поясненні нового, складного матеріалу. Цей метод сприяє розвитку просторового уявлення і через наочність покращує розуміння матеріалу. Розглянемо застосування методу при вивченні понять “Парні та непарні функції”.

Розглянемо функції, область визначення яких симетрична відносно початку координат.

Означення. Функція називається парною, якщо для довільного з її області визначення .

Вчитель пояснює, що для довільних значень х , додатних чи від’ємних, знак самої функції не змінюється.

Означення. Функція називається непарною, якщо для довільного з її області визначення .

Тобто для довільних значень х , знак функції залежить від знаку аргументу.

Д
ля закріплення розуміння понять, на дошці малюються відповідні малюнки, чи демонструються готові намальовані на плакаті.

Мал. 1 Мал. 2

Після цього наводять приклад парних та непарних функцій.

- парні – непарні.

Дійсно, область визначення кожної з них симетрична відносно початку координат, та виконуються рівності: f(-x) = f(-x)²ⁿ= f(x)²ⁿ= f(x) – парність, та для g(-x)=g(-x)²ⁿ⁺¹= –g(x)²ⁿ⁺¹= –g(x) – непарність.

Графіки цих функцій варто продемонструвати на плакаті чи намалювати на дошці. Розглянемо функції у=х⁴ та у=х³.

Мал. 3 Мал. 4

Після побудови графіків функцій потрібно акцентувати увагу учнів на те, що вітки графіка парної функції симетричні відносно осі ординат, а вітки графіка непарної функції симетричні відносно початку координат. Це варто довести до учнів як властивості парної та непарної функції, що допоможе їм при побудові графіків.

При поясненні нового, дещо складнішого матеріалу варто користуватись наочністю, це найкраще відображає саму суть теми, всі процеси, пов’язані з утворенням певних понять. Розглянемо використання наочності та ілюстрацій при вивченні теми “Похідна та її застосування” при дослідженні функцій на екстремуми.

Учні вже вивчили і знають геометричний зміст похідної, ознаки зростання і спадання функції, тому просто варто пригадати це на початку урока.

Геометричний зміст похідної: Похідна функції f(x) в точці х₀ дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої з додатним напрямом осі ОХ у точці з абсцисою х₀.

Тому, коли f(x)0, то учням потрібно пояснити, що - тангенс кута нахилу дотичної до кривої з додатнім напрямком осі ОХ більший нуля, тобто (0; ). Продемонструємо це на малюнку (мал. 5).
З малюнку видно, що на проміжку а;  дотична може займати положення, при якому кут (0; ) і функція на цьому проміжку зростає.

Мал. 5 Мал. 6

Якщо ж f(x)0, то tg()0, (0; –) , значить функція спадає. Показуємо це на малюнку (мал. 6).

В першому випадку функція f(x) є зростаючою на проміжку а; , в другому - спадною. Потрібно спитати учнів, а яким же чином веде себе функція, коли f(x) при переході через деяку точку х₀ змінює свій знак.

Це буває лише тоді, коли в точці х₀ функція приймає своє найбільше або найменше значення. Якщо похідна змінює свій знак з “+” на “-” (спочатку функція зростала, а при переході через точку х₀ почала спадати), то х₀- є точкою максимуму, значення функції в цій точці є максимумом функції. Інакше, якщо при переході через точку х₀ похідна змінила свій знак з “-” на “+”, то х₀ - є точкою мінімума, а значення функції в цій точці – мінімумом функції. Ці точки називають екстремальними точками функції.

Внутрішні точки області визначення функції, в яких її похідна дорівнює нулю або не існує називають критичними точками цієї функції.

Формулюється необхідна умова екстремуму.

Якщо функція у внутрішній точці проміжку має екстремум, то в цій точці похідна , якщо вона існує , дорівнює нулю f^/ (х₀)=0.

Доведемо методом від супротивного. Нехай в точці , яка є екстремальною для , існує похідна і . Припустимо, що , значить функція в точці зростає. Отже не є екстремальною точкою. Якщо , то функція в точці спадає. Отже прийшли до суперечності. Тобто теорему доведено.

Але з того, що похідна функції в точці рівна нулю, не обов’язково слідує , що є точкою екстремуму.

Наприклад, похідна функції рівна нулю в точці , але функція екстремуму в цій точці не має.

Внутрішня точка проміжку називається стаціонарною точкою функції , якщо в цій точці .

Розглянемо критичні точки, похідна в яких не існує. Наприклад точка 0 для функції не є критичною, бо не внутрішня точка області визначення функції.

Приклад. Розглянемо функцію , ця функція не має похідної в точці 0. Значить точка 0 – критична, та ще й функція в точці 0 має мінімальне значення (0 - точка мінімуму). Далі розглядаються ознаки максимуму і мінімуму функції.

§2. РЕПРОДУКТИВНИЙ МЕТОД

Розглянемо застосування цього методу при вивченні теми “Застосування похідної до дослідження функції”.

Так як репродуктивний метод використовують найчастіше для закріплення вивченого теоретичного матеріалу, то вчителю можна користуватися цим методом не лише по закінченню пояснення нової теми, а навіть і після кожної порції викладеної інформації.

Учням пояснюють, як досліджується деяка функція, показують схему дослідження, а в кінці дослідження будують графік. Це робить вчитель на дошці, досліджуючи функцію f₁(x), заносячи результати кожного кроку дослідження до таблиці.

Потім учням пропонується дослідити деяку функцію самостійно і побудувати її графік. Учні, або один учень біля дошки, самостійно, або з допомогою вчителя, виконують такі самі дослідження для функції f₂(x), а дані досліджень заносять до тієї ж таблиці на дошці, але в другий, порожній стовпець.

	Властивість функції	=	=
1.	Область визначення Область значень	(-; -1)(-1;1)(1;) (-; )	(-;0)(0;) (-;)
2.	Парність	Непарна: f(-x)= – f(x)	Ні парна, ні непарна
3.	Періодичність	Неперіодична	Неперіодична
4.	Точки перетину графіка з віссю OX з віссю OY	(0;0) (0;0)	х = 2 нема
5.	Проміжки зростання: спадання:	(-;)(;) (-1;0)(0;1)(1;)	(0;4) (-;0)(4;)
6.	Точки: максимуму мінімуму	, для х(-;-1) , для х(1; )	х = 4 нема
7.			нема

Потім учні самостійно будують графік другої функції (мал. 9*).

Після пояснення вчителем теоретичного матеріалу і наведення декількох прикладів дослідження функції учні вже самі досліджують і будують графіки функцій.

Мал. 9 Мал. 9*

§3. ПРОБЛЕМНИЙ ВИКЛАД

При вивченні теми “Застосування похідної в фізиці та техніці” урок починається з пригадування того, яким чином визначається швидкість руху в курсі фізики. Розглянемо випадок, коли матеріальна точка рухається по координатній прямій, і задано закон руху цієї точки, тобто координата х цієї точки є відома функція часу . За момент часу від до переміщення точки можемо записати як = =, а середня швидкість руху точки .

При значення середньої швидкості прямує до конкретного значення, яке називають миттєвою швидкістю матеріальної точки в момент часу . Тобто при .

За означенням похідної при .

Вважають, що миттєва швидкість визначена тільки для диференційованої функції , тому .

Скорочено це говорять наступним чином: похідна від координати за часом є швидкість. Це механічний зміст похідної. Миттєва швидкість може приймати довільні значення.

Аналогічно кажуть про зміну швидкості: похідна від швидкості за часом є прискорення. .

Тепер розглядаються приклади.

Приклад 1. Розглянемо вільне падіння матеріальної точки.

З фізики відомо, що при вертикальному падінні рух тіла задається формулою . Відшукаємо швидкість падіння точки в момент часу : . Відшукаємо прискорення падіння точки: , прискорення є величина постійна.

Приклад 2.Нехай залежність координати точки, що рухається по прямій, від часу виражена формулою: , де , - константи. Відшукаємо швидкість і прискорення руху.

Швидкість руху буде:
.

Так як нам відома швидкість руху як функція часу, то можемо знайти прискорення цього руху: . Бачимо що а – константа, і при а > 0 – це буде прискорений рух, а при а < 0 – рух сповільнений.

Приклад 3. Судно В знаходиться на сході від судна А на відстані
75 км і пливе на захід зі швидкістю 12 км/год. Судно А пливе на південь зі швидкістю 4 км/год. Чи буде в деякий момент часу відстань між ними мінімальною?

Розв’язання

Перш за все необхідно намалювати малюнок.

З малюнку видно, що 2 судна В і А рухаються перпендикулярно один одному, тому відстань між ними можемо записати, за теоремою Піфагора, . А відстані ми можемо записати за відомими швидкостями: , .

Тому . Ми отримали функцію, яка характеризує зміну відстані між суднами в залежності від часу. Дослідимо цю функцію на мінімум.

Знайдемо похідну . Відшукаємо критичні точки, проміжки зростання та спадання функції на цих проміжках та знайдемо точку екстремуму:

;

на проміжку (-;), на проміжку (;), тобто

t_m= - точка мінімуму функції l.

В момент часу t_m= відстань між суднами буде мінімальною.

В сильному класі, для розширення кругозору учнів, та розширення можливостей застосування похідної можна розглянути задачі геометричного та біологічного типу, при вивченні теми “Найбільше та найменше значення функції”.

Приклад 1. Для будівництва будинку прямокутної форми зображеного на плані темним прямокутником з площею м² відведено ділянку прямокутної форми, межі якої повинні знаходитись від будинку на відстані 36 і 16 метрів. Які розміри потрібно надати будинку, щоб площа ділянки ABCD була найменшою ?

Розв’язання

Позначимо розміри будинку через і .
Площа будинку 400 м², тобто м².

Враховуючи відстані від будинку до межі отримаємо довжини меж: AD= і AB= м.

Запишемо площу ділянки як функцію сторони х:
(х) =.

Для знаходження мінімальної площі ділянки скористаємося властивістю похідної для дослідження цільової функції на мінімум.

. Прирівняємо до нуля і отримаємо значення: . Беремо додатне значення змінної х, - бо сторона.

Дослідимо знак похідної на проміжках:

Похідна змінює знак з “–“ на “+”, тобто буде точкою мінімуму. А значення функції в цій точці .

Відповідь: , .

Приклад 2. Швидкість зростання популяції x задана формулою y=0,001x(100-x) (час t виражено в днях). При якій чисельності популяції ця швидкість максимальна ? Скільки особин повинна містити рівноважна популяція, щоб швидкість зростання її спала до нуля?

Розв’язання

В цьому прикладі y – це функція, яку необхідно дослідити на максимум. Тому знайдемо першу похідну: y=0,1-0,002x. Знайдемо критичні точки, прирівнявши її до нуля: x=50. Ця точка є точкою максимуму функції. Тобто при чисельності 50 особин, швидкість зростання популяції буде максимальною.

Тепер необхідно перевірити, чи є таке число особин, при якому швидкість зростання популяції спадає до нуля. Прирівнюємо швидкість до нуля 0,001x(100-x)=0, і отримаємо значення шуканої чисельності х=0 або х=100, нуль відкидаємо, бо не задовольняє умову. Тому при чисельності в 100 особин, швидкість зростання популяції буде рівна нулю.

§4. ЧАСТКОВО-ПОШУКОВИЙ МЕТОД

Цей метод вимагає майже самостійної роботи учнів, а вчитель лише спрямовує мислення учнів до певних висновків.

Цим методом краще користуватись, коли необхідно закріпити пройдений матеріал чи певну тему, або для перевірки підготовленості учнів до вивчення певної теми.

Розглянемо використання методу на прикладі вивчення періодичності функції.

Варто наступним чином розпочати урок.

Вчитель повинен показати, які процеси існують в математиці чи фізиці і як вони можуть повторюватись. Це може бути обертання Місяця навколо Землі, коливання маятника в годиннику, повторення значень функції через певний крок та інше.

Спочатку можна намалювати схематично графік і показати учням, що через певний крок значення функції є однаковими, і немає значення в якому напрямку ми будемо рухатись по осі OX.

Потім можна намалювати учням графік вже відомої їм функції .

Учні помічають, що значення функції повторюються через 2П.

Вчитель звертає увагу на те, що функція має те саме значення і в точці , і в точці , і в точці , , і мінімальне число, яке додається до значення аргументу, називається періодом, позначають його буквою Т.

Учні повинні спробувати вже сформулювати означення періодичної функції, хоча вчитель може допомагати.

Означення. Функція називається періодичною з періодом Т, якщо для довільного з області визначення значення функції в точках x, x+Т, x-Т рівні. Тобто .

Потім переходять до розв’язування прикладів.

§5. ДОСЛІДНИЦЬКИЙ МЕТОД

Цим методом користуються вже на певному етапі навчання учнів, коли учні вже здатні логічно мислити, робити самостійні висновки. Також це корисно для розвитку логічного мислення. Користування цим методом покращує працездатність учнів і викликає в них зацікавленість, розвиває самостійність в дослідженні певних закономірностей чи властивостей певних об’єктів.

Розглянемо цей метод на прикладі дослідження функції з використанням похідної.

Приклад1. Дослідити функцію і побудувати її графік: .

Розв’язування

1) Область визначення функції - множина дійсних чисел, бо функція є многочленом.

2) Функція не є ні парною ні непарною, бо і область визначення функції симетрична відносно початку координат.

3) Має точку перетину з віссю : при , тобто точка з координатами .

4) Має точки перетину з віссю :
;
;
або . Тобто точки з координатами , .

5) Знаходимо максимуми і мінімуми функції.

Знайдемо критичні точки. Для цього знайдемо першу похідну функції: .

Прирівнявши похідну до нуля отримаємо три критичні точки:
х= -1, х= 0, х= 1.

Знайдемо серед них точки максимуму і мінімуму.

При переході через точку х= -1 похідна змінює знак з “+” на “-” – точка максимума, а при переході через точку х=1, похідна змінює знак з “-” на “+” – точка мінімума. А при переході через точку х=0 – не міняє знаку.

6) Дослідимо функцію на точки перегину:

;

або - отримали точки підозрілі на точки перегину.

Учні складають таблицю:

X	(-;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1;)
	+	0	–	0	–	0	+
	Зростає	2	спадає	0	спадає	-2	зростає
		MAX				MIN

З таблиці видно, що функція має максимум в точці і мінімум в точці .

Будуємо сам графік використовуючи отримані дані з таблиці. Спочатку учні відмічають на графіку точки максимуму і мінімуму, точки перетину з осями, а потім будують графік даної функції.

Приклад2.За даним рівнянням руху авто знайти його швидкість (при t = 2 сек.) ; момент часу, коли авто почало рухатись в зворотному напрямку та відстань, на яку воно відійшло від деякого пункту (початок руху) до розвороту.

Розв’язання

Бажано спочатку намалювати графік руху авто, це спростить розв’язування задачі, та дасть можливість зрозуміти, яким чином рухалось авто.

З умови задачі видно, що .

Знаходимо точки перетину графіка функції з віссю ОХ: t³ - 4t = 0;
t = 0, t = ± 2. (t = -2 не розглядаємо, бо час t >0).

Знаходимо точки екстремуму функції:
; 3t ²– 4 = 0; t = .

Значення - не задовольняє умові . Перевіримо як змінює знак похідна при переході через точку .

При переході через цю точку, похідна змінює свій знак з “–” на “+”, тобто це точка мінімуму.

Малюємо малюнок.

З малюнку видно, що в момент часу t = авто знаходилось на максимальній відстані від деякого пункту (хоч і рухалося в зворотному напрямку).

Тому в момент часу t = авто змінило напрям руху.

Відстань в цей момент була: =.

(стоїть модуль, бо відстань повинна бути додатна).

Похідна від відстані це є швидкість, яку ми вже знайшли: , тому через 2 секунди після початку руху авто мало швидкість м/с.

§6 . МЕТОД ДОЦІЛЬНИХ ЗАДАЧ

В багатьох випадках , в певних темах цей метод застосовується не дуже часто, але при продовженні деякої теми, чи при вивченні теми з розв’язання практичних задач краще скористатися ним, тоді в учнів при вивченні теми буде повніше розуміння вивченого матеріалу. Як вже було вище сказано, суть методу в тому, що розгляд нової теми розпочинається з наведення деяких прикладів, що можуть допомогти учням краще орієнтуватися в тому, про що йде мова в даній темі, або протягом уроку посилатися на деякі з них.

Розглянемо його використання на прикладі вивчення теми “Функції та їх графіки”.

Вчитель на початку уроку, але вже після означення поняття функції, може наводити приклади, будувати з учнями графіки, а потім на основі графіків вивести певні закономірності їх побудови і запропонувати учням використовувати ці закономірності при подальшому розв’язуванні прикладів.

Побудуємо графіки таких елементарних функцій:

Мал. 16 Мал. 17 Мал.18

Учні помічають, що другий графік (Мал. 17.) зсунутий на 2 одиниці вправо, а в формулі стоїть знак мінус перед цією цифрою. Третій графік (Мал. 18.) відрізняється від другого тим, що не тільки зсунутий по осі OX, а й по осі OY – на 1, але тут вже спостерігається відповідність знаку.

Після розглядання цих прикладів учні можуть сформулювати основні правила побудови графіків не тільки степеневих функцій, а і графіків довільних функцій.

Запишемо загальний вигляд функції: (, ).

Для побудови графіку довільної степеневої функції необхідно:

побудувати графік функції ;
зсунути його на a значень вліво (напрямок обирають протилежно до знаку a), при - вліво, при - вправо;
зсунути на значень вгору (відповідність зі знаком), при - вгору, при - вниз;
стиснути в k разів до осі . (кожне значення функції стає в k раз більше).

Доцільно після цього дати учням побудувати графік деякої функції за точками., а коли вони його побудують, то показати простіший спосіб побудови графіка, за допомогою зміщення деякого відомого графіку по осям координат та стиснення його в разів.

Так само і для тригонометричних функцій. Тригонометричні функції викликають в учнів більший інтерес при побудові, особливо при розгляданні додавання та множення графіків.

§7. АБСТРАКТНО-ДЕДУКТИВНИЙ І КОНКРЕТНО-ІНДУКТИВНИЙ МЕТОДИ

Конкретно-індуктивний метод є природним розширенням і удосконаленням методу доцільних задач. За словами К.Ф.Лебединцева, цей метод краще підходить для застосування в шкільному навчанні. Метод чимось нагадує проблемний виклад - вчитель пропонуючи розв’язати певний приклад, ставить перед класом невелику проблемну ситуацію, а розв’язуючи цей приклад робить висновок чи дає означення.

При використанні абстрактно-дедуктивного методу, вчитель повідомляє тему уроку, дає означення, формулює теореми, а вже після викладу теорії переходить до практичних завдань. Учні починають розв’язувати приклади, доводити твердження на основі вивчених означень чи властивостей певних об’єктів, тим самим засвоюючи новий матеріал.

Розглянемо застосування абстрактно-дедуктивного методу на прикладі вивчення теми: “Застосування похідної до дослідження функцій”.

Вивчення починається з пригадування геометричного змісту похідної, лише потім можна перейти до вивчення нової теми.

Геометричний зміст: Похідна функції f(x) в точці х₀ дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої з додатним напрямом осі ОХ у точці з абсцисою х₀.

Тангенс кута нахилу дотичної називають кутовим коефіцієнтом

Функція може зростати чи спадати на деякому проміжку (можна намалювати малюнок).

Означення. Функція f(x) – називається зростаючою на проміжку , якщо для довільного x(а; b) , що x₁ x₂ виконується нерівність
f (x₁) f (x₂).

Означення. Функція f(x) – називається спадною на проміжку , якщо для довільного x(а; b) , що x₁ x₂ виконується нерівність
f (x₁) f (x₂).

Далі в звичайних класах формулюються ознаки зростання та спадання функції. При доведенні ознак використовується формула Лагранжа, тому в класах з поглибленим вивченням математики можна спочатку довести теорему Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна на а; b, та існує точка с(а, b), то f(а)-f(b)=f ^/(с)(b-а).

Доведення

Розглянемо функцію f(x) що визначена на проміжку а, b та візьмемо  точку с, що с(а, b).

Дотична до графіка функції f (x) утворює кут  з додатнім напрямком осі ОХ.

Кут  - подібний куту ВАD.

ΔВАD – прямокутний, тому =tg()=f ^/(x).

Так як ВD=f(b)-f(а), аАD=b-а, тому
f ^/(c)= - формула Лагранжа.

Далі розглядаються ознаки зростання та спадання функції.

Ознака зростання функції:

Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна в кожній точці інтервалу (x₁; x₂) і f ^/(x) 0 на цьому інтервалі, то функція зростає.

Ознака спадання функції:

Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна в кожній точці інтервалу (x₁; x₂) і f ^/(x) 0 на цьому інтервалі, то функція спадає.

Доведення цих ознак можна провести в класах з математичним нахилом.

При доведенні використовується теорема Лагранжа.

Розв’язується приклад.

Приклад.

Як веде себе функція f(x)=x²-8x+12 на проміжках (-; 4)(4; +).

Дослідження. Знайдемо похідну, критичні точки та дослідимо функцію на кожному з отриманих проміжків: f ^/(x)=2x-8; тобто x=4 і це є критична точка. На проміжку (-; 4) похідна має від’ємний знак, тому функція спадає, а на проміжку (4; +) похідна має додатній знак, тому функція на цьому проміжку зростає.

Ми отримали точку х=4, переходячи через яку похідна змінює знак , тобто в цій точці дотична паралельна осі ОХ, а це може бути лише в найвищій або в найнижчій точці. Таку точку називають точкою екстремуму. Похідна функції в цій точці дорівнює нулю, тобто кутовий коефіцієнт рівний нулю.

Точки максимумів та мінімумів функції називають – екстремальними точками.

Означення. Внутрішні точки області визначення функції в яких похідна рівна нулю або не існує – називаються критичними точками.

Формулюється Н еобхідна умова існування екстремуму функції в точці. (Терема Ферма)

Якщо функція f(x) - неперервна і диференційовна на (а, b) і в точці x₀ має екстремум, то похідна функції в цій точці рівна нулю.

Переходимо до розв’язування прикладів.

Дослідити на екстремуми функцію:

f(x)=2х³-9х²+12х-8.

f ^/(x)=6х²-18х+12;

f ^/(x)=0;

6х²-18х+12=0;

х²-3х+12=0;

х₁=1; х₂=2.

Наносимо критичні точки на координатну вісь і перевіряємо знак на кожному з отриманих проміжків.

f^/(1)=-3; - максимум функції

f^/(2)= -4. – мінімум функції.

§8. ПРОГРАМОВАНЕ НАВЧАННЯ

Програмоване навчання використовується дуже часто, особливо цей метод використовують для написання самостійних робот, контрольних, під час складання іспитів. Використовують для контролю знань і іноді для проведення уроків, щоб підвищити увагу та зацікавленість учнів, коли вчитель спеціально заготовлює програмовані завдання до тієї теми, яку важче розуміють учні. Таким чином цей метод може покращувати рівень знань учнів.

Розглянемо деякі приклади завдань, що використовуються на вступних іспитах, на шкільному випускному іспиті, та на контрольних роботах.

Визначити парність (непарність) функції: