Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ruили на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 5 сентября 2000 г.

Тема: Введение

Условные обозначения:

: - так, что def – по определению

 – включает ’’’ – (dⁿf(x))/dxⁿ=(d/dx)((d^n-1f(x))/dxⁿ)

 - следует, выполняется

 - тогда и только тогда

 - любой

 - существует

) – пусть

! – единственный

(x) – целая часть

~ - эквивалентно

о - малое

Все R представляют десятичной дробью.

Все Q представляют конечной дробью, либо периодичной дробью.

Все иррациональные числа представляют бесконечной десятичной дробью ( не периодичной).

Рассмотрим числовую ось. Числовая ось – направленная прямая с отмеченной точкой и отмеченным масштабом.

x

0 – отвечает за ноль.

Отрезок (0;1) отвечает за единицу

Единица за единицу.

Каждой точки х на числовой прямой отвечает некоторое действительное число. Если длинны отрезков (0;x) из заданного масштаба соизмеримы, тогда числу х отвечает рациональное число. Если не соизмеримы, то иррациональны.

Каждому R отвечает точка на числовой прямой и наоборот, каждой точке отвечает R.

Основные числовые множества.

x

Отрезок: (/////////) x

a b

Обозначается (a;b) ab

Частный случай отрезка точка

Или axb – в виде неравенства.

х

Интервал: (/////////) x – множество точек на числовой прямой.

a b

Обозначается (a;b) или в виде неравенства a

x

Полуинтервал: (/////////) x

a b

x

(/////////) x

a b

Обозначается: (a;b) axb

(a;b) ab

Всё это числовые промежутки.

Замечание: один из концов ( а или b) может быть символом .

x

///////////////) x (-;b) или -b

x

///////////////) x (-;b) или -

Вся числовая прямая – R=(-;+)

Окрестности.

Определение: ε –окрестностью числа а называется множество чисел х удовлетворяющие неравенству

a-εx-a (////////) x  О_ε(а)

ε>0 а-ε а а+ε

О_ε(а)={xR:x-a<ε}

Проколотая ε окрестность – О^_ε(а) это множество таких чисел включающих R, и отстаёт от точки на ε и не принадлежит а.

О^_ε(а)={xR:0<x-a<ε}

(////////) x

а-ε а а+ε

Правая ε поло окрестность точки а: О⁺_ε(а)={xR:ax

 ///////) x

a a+ε

Проколотая правая ε поло окрестность точки а: О^_ε(а)={xR:aа.

Левая ε поло окрестность точки а: O^-_ε(a)={xR:a-εa}

(//////// x

a-ε a

Проколотая, левая ε поло окрестность точки а: О^-_ε(а)={xR:a-εа.

Модуль и основные неравенства.

x; x>0

х= 0; x=0

-x; x<0

|x| -hh x>h

h>0 x<-h

1.  а,b R: |ab|a|+|b|

2.  а,b R: |a-b|||a|-|b||

Можно рассматривать окрестности бесконечности:

О_ε(+)={xR:x>ε} (////////// x

ε>0 ε

О_ε(-)={xR:x<-ε} ///////////)  x

ε>0 -ε 0

О_ε()={xR:x>ε} \\\\\\) _ (////// x

x>ε;x<-ε -ε ε

Функция. Монотонность. Ограниченность.

х – называется независимой переменной.

у – зависимой.

Функцию можно задавать равенством (у=х²)

Таблицей

Х	Х1	Х2	Х3	Х4
У	У1	У2	У3	У4

Графиком, то есть множеством точек с координатами (x,f(x)) на плоскости:

Определение f(x) монотонности: Пусть Х принадлежит области определение D ( )xD)

Пусть Х подмножество в области определения в f(x).

Функция у=f(x) называется:

1. Возрастающая на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)2)

2. Убывающий на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)>f(x₂)

3) Не убывающий на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)f(x₂)

4. Не возрастающая на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)f(x₂)

Определение:

Ограниченность. Пусть Х включает D y=f(x) называется:

1. Ограниченной сверху на Х если существует В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется xR

2. Ограниченной снизу на Х если существует А, так что для любого х принадлежащего Х выполняется Ах

3. Ограниченной и сверху и снизу на Х если существует А,В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется АхВ, или существует С, так что для любого х принадлежащего Х выполняется хС

Лекция №2

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 12 сентября 2000 г.

Тема: Функции

Определение (сложная функция):

Пусть задано D,E,G,C,R

На D: y=f(x) с областью значения E

На E: z=g(y) с областью значения G

Тогда на множестве D определена сложная функция z=g(f(x)) с областью значения G. Тогда говорят, что g(f(x)) есть суперпозиция функций g,f.

Пример: Пример

z=sin e^x w=arctgcos e^xx-lnx

y=e^x=f(x)

z=sin y=g(y)

D=R

E=R₊

G=(-1;1)

Определение (обратной функции):

Пусть существует D,E,C,R

На D: y=f(x) с областью значений Е. Если для каждого у из y=f(x) найдётся единственный х, то говорят, что на множестве Е задана функция обратная к функции f(x), с областью значений D. Иными словами две функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными если выполняется тождества:

y=f(g(y)),  yE y=f(g(y)), для любого уЕ



x=g(f(x)),  xD x=g(f(x)), для любого хD

Примеры:

1)y=x³ x=³y

D=R

E=R

2)y=x² x=y

D=R₊{0}=(0;+)

E=(0;+)

D=R_-{0}=(-;0)

E=(0;) x=-y

3)y=sinx

D=(-/2;/2)

E=(-1;1)

x=arcsiny

y(-1;1); x(-/2;/2)

Пусть y=f(x)

D=(a;b)

E=(A;B)

Определение: y=f(x), nN

a₁=f(1)

a₂=f(2)

a_n=f(n)

{a_n} – множество значений силовой последовательности nN или а_n

{а_n}={1,1/2,1/3,…,1/n,…}

а_n=1/n

{а_n}={sin1;sin2;sinn}

а_n=sinn

а_n=(-1)ⁿ/n

{(-1)ⁿ}={-1;1;-1;1;-1;1…}

Ограниченные последовательности.

1. Ограниченная сверху, то есть существует В так что а_nВ, для любого nN

2. Ограниченная снизу, то есть существует А так что Аb_n, для любого nN

3. Ограниченная, то есть существует А,В так что Аа_nВ, для любого nN  существует С>0 так что а_nС, для любого nN.

Монотонные последовательности

1. возрастающая a_nn₊₁,  nN

2. убывающая a_n>a_n+1,  nN

3. не возрастающая a_na_n+1,  nN

4. не убывающая a_na_n+1,  nN

Пределы последовательности.

Определение: числа а , называется пределом числовой последовательности а_n, если для любого сколь угодно малого числа ε>0, найдётся натуральный номер N такой, что для всех чисел nN выполняется модуль разности a_n-a<ε  ε>0  N :  nN a_n-a<ε.

Начиная с этого номера N все числа этой последовательности попадают в ε окрестность числа а. Другими словами начиная с номера N вне интервала а-ε;а+ε может находиться не более конечного числа членов последовательности.

Lim a_n=0

^n

Примеры: Доказать, что ln(-1)²/n=0

Зададим любое ε>0, хотим чтобы (-1)ⁿ-0<ε, начиная с некоторого номера N, 1/n<ε  n>1/ε

N=(1/ε)+1

ε=0.01

N=(1/0.01)+1=101

|a_n|<0.01, если n101

* * *

a_n=1-1/n²

lim(1-1/n²)=1

^n+

Для любого ε>0 (1-1/n²)-1<ε

-1/n²<ε  1/n²<ε  n²>1/ε  n>1/ε

N=(1/ε)+1

Лекция №3

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 13 сентября 2000 г.

Тема: Последовательности

Бесконечно малые последовательности

Последовательность а_n называется бесконечно малой , это означает, что предел этой последовательности после равен 0.

a_n – бесконечно малая  lim a_n=0 то есть для любого ε>0 существует N, такое что для любого n>N выполняется

^n+

a_n<ε

Важные примеры бесконечно малой последовательности:

1)_n=1/n Докажем, что для любого ε>0 1/n<ε  1/n<ε n>1/ε N(1/ε)+1

Докажем, что lim1/n=0

^n+

2) _n= sin(1/n). Докажем, что для любого ε>0 sin(1/n)<ε, заметим, что 1/n принадлежит первой четверти, следовательно 1sin(1/n)>0, следовательно sin(1/n)<ε

Следовательно 1/n n>1/arcsinε N=(1/arcsinε)+1. Докажем, что lim sin1/n=0

^n+

3) _n=ln(1+1/n)

n0; 1/n; 1+1/n1

lim ln(1+1/n)=0

^n+

Докажем ln(1+1/n)<ε ln(1+1/n)<ε  1+1/nε

1/nε-1

n>1/e^ε-1 N=(1/e^ε-1)+1

5. _n=1-cos(1/n)

lim(1-cos(1/n))=0

^n+

Докажем ε>0 1-cos(1/n)<ε

1/n первой четверти cos первой четверти положительный 0 1-cos(1/n)<ε

cos(1/n)>1-ε (считаем, что 0<ε<1)

1/n n>1/arcos(1-ε)

N=(1/arcos(1-ε))+1

Свойства бесконечно малой последовательности.

Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.

_n_nбесконечно малое _n+_n – бесконечно малое.

Доказательство.

Дано:

_n- бесконечно малое ε>0  N₁:_n>N₁_n<ε

_n- бесконечно малое ε>0  N₂:_n>N₂_n<ε

Положим N=max{N₁,N₂}, тогда для любого n>N  одновременно выполняется оба неравенства:

_n<ε _n+_n_n+_n<ε+ε=2ε=ε₁n>N

_n<ε

Зададим ε₁>0, положим ε=ε₁/2. Тогда для любого ε₁>0 N=maxN₁N₂ :  n>N _n+_n<ε₁ lim(_n+_n)=0, то

^n

есть _n+_n – бесконечно малое.

Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.

_n,_n – бесконечно малое _n_n – бесконечно малое.

Докозательство:

Зададим ε₁>0, положим ε=ε₁, так как _n и _n – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N₁:  n>N _n<ε

N₂:  n>N₂_n<ε

Возьмем N=max {N₁;N₂}, тогда n>N = _n<ε

_n<ε

_n_n=_n_n<ε²=ε₁

 ε₁>0 N:n>N _n_n<ε²=ε₁

lim _n_n=0 _n_n – бесконечно малое, что и требовалось доказать.

^n

Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность

а_n – ограниченная последовательность

_n –бесконечно малая последовательность  a_n_n – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: Так как а_n – ограниченная С>0: nNa_nC

Зададим ε₁>0; положим ε=ε₁/C; так как _n – бесконечно малая, то ε>0 N:n>N_n<εa_n_n=a_n_nε₁/C=ε₁

ε₁>0 N: n>N a_n_n=Cε=ε₁ lim a_n_n=0 a_n_n – бесконечно малое

^n

Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно рассматривать const  произведение постоянно.

Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.

lim a_n=a  a_n=a+_n

^n+

Последовательность a_n имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда она представлена в виде a_n=a+_n

где _n– бесконечно малая.

Доказательство:

lim a_n ε>0 N:n>N a_n-a<ε. Положим a_n-a=_n_n<ε, n>N, то есть _n - бесконечно малая

^n+

a_n=a+_n что и требовалось доказать

Доказательство (обратное): пусть a_n=a+_n, _n – бесконечно малая, то есть _n=a_n-a ε>0 N: n>N 

_n=a_n-a<ε, то есть lim a_n-а

^n+

Теоремы о пределах числовых последовательностей.

1. Теорема о пределе суммы:

Пусть lim a_n=a lim b_n=b  lim a_n+_n=a+b

^{n+ n+ n+}

Докозательство: a_n=a+_n b_n=b+_n Сложим a_n+b_n=a+b+_n+_n=a+b+_nlim a_n+b_n=a+b

^n+

2) Теорема о произведение пределов:

Пусть lim a_n=a lim b_n=b  lim a_nb_n=ab

^{n+ n+ n+}

Доказательство: a_n=a+_n b_n=b+_n a_nb_n=(a+_n)(b+_n) a_nb_n=ab+a_n+b_n+_n_n=ab+_n lim a_nb_n=ab что и

^n+

требовалось доказать.

2. Теорема о пределе частного

Пусть lim a_n=a lim b_n=b b0 lim a_n/b_n=a/b

^{n+ n+ n+}

Доказательство: a_n=a+_n b_n=b+_n так как b0, то N₁: n>N₁b_n0

_bn

₀^(////////_b^{/////////)} x

a_n/b_n=a_n/b_n-a/b+a/b=a/b+(ba_n-ab_n)/bb_n=a/b+(b(a+_n)-a(b+_n))/b(b+_n)=a/b+_n/b(1+b_n/b)

lim a_n/b_n=a/b

^n+

Лекция №4

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: понедельник, 19 сентября 2000 г.

Тема: Бесконечно большие последовательности.

а_n=(-1)ⁿ– не имеет предел.

{b_n}={1,1…}

{a_n}={-1;1;-1;1…} – предел не существует.

Бесконечно большие последовательности.

a_n=2ⁿ

N:n>N  a_n>ε

b_n=(-1)ⁿ2ⁿ

N:n>N b_n>ε

c_n=-2ⁿ

N:n>N c_n<-ε

Определение (бесконечно большие последовательности)

1) lim a_n=+, если ε>0N:n>N  a_n>ε где ε- сколь угодно малое.

^n

2)lim a_n=-, если ε>0 N:n>N  a_n<-ε

^n+

3) lim a_n=ε>0 N:n>N a_n>ε

^n+

Последовательностью имеющий конечный пределназывают сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел.

Доказательство:

a_n=2ⁿ

Берём ε>0; хотим 2ⁿ>ε

n>log₂ε

N=(log₂ε)+1

Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки  и , а знак неравенства на дополнительный.

Пример:

Утверждение lim a_n=a<aRε>0 NN:n>Na_n-a<ε

^n

Обратное утверждение aRε>0 NN: n>Na_n-a<ε

Всякая бесконечно большая не ограниченная. Обратное утверждение неверно.

b_n{2;0;2ⁿ;0;2³;0….}

Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности)

Пусть lim a_n=a< a_n - ограниченная

^n+

Доказательство:

Дано:

ε>0N:n>N a_n-a<ε

Раз ε>0 возьмем ε=1 N:n>N a_n-a<1

a-1nn>N

Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены последовательности.

N₁=max{a₁;a₂;…a_n;1+a;a-1}

a_nc, n>N

Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).

Если lim a_n=a <, то а- единственное.

^n+

Доказательство:(от противного)

Предположим, что  b: lim a_n=b и ba ε=b-a/2>0 для определенности пусть b>a N₁:n>N₁a_n-a<ε

^n+

N₂:n>N₂a_n-b<ε N=max{N₁;N₂}, тогда оба неравенства выполняются одновременно 

 -(b-a)/2n-a<(b-a)/2

-(b-a)/2n-b<(b-a)/2

a_n-a<(b-a)/2

-

a_n-b>-(b-a)/2

b-a

0<0 – противоречие  предположение, что b>a неверно. Аналогично доказывается, что b

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.

Теорема:

1)a_n- бесконечно большая  1/a_n – бесконечно малая

2)_т – бесконечно малая, _n0 (n>N₀) 1/_n – бесконечно большая

Доказательство:

1)a_n- бесконечно большая  lim a_n= для достаточно больших номеров n a_n0. Зададим любое сколько

^n+

угодно малое ε>0, положим ε=1/ε>0

Для ε N₁:n>N₁a_n>ε, то есть a_n>1/ε N=max{N₁;N₀}

Тогда n>N  1/a_n<ε, то есть lim 1/a_n=0, то есть 1/a_n – бесконечно малое

^n+

2)_n – бесконечно малое lim _n=0

^n+

Дано: _n0, n>N₀ зададим ε>0 положим ε=1/ε>0

N₁:n>N₁_n<ε=1/ε

N=max{N₀;N₁}: n>N  1/_n=, то есть 1/_n – бесконечно большая.

Основные теоремы о существование предела последовательности.

Теорема Вейрштрасса:

Пусть a_n- ограниченная и моннатонна. Тогда  lim a_n=а<

^n+

Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического. Равенство достигается только если все числа равны.

Л

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ruили на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 25 сентября 2000 г.

Тема: Бесконечно большие последовательности

Теорема:

lim(1-1/n)ⁿ=1/e e=2,7183

^n+

0a_n=1-1/n1 nN, то есть a_n=(1-1/n)ⁿ- ограниченна.

ⁿ⁺¹a_n=ⁿ⁺¹(1-1/n)ⁿ1=ⁿ⁺¹(1-1/n)(1-1/n)…(1-1/n)1<(1+(1-1/n)+…+(1-1/n))/n+1=(n+1-n1/n)/n+1=n/n+1=1-1/n+1

ⁿ⁺¹(1-1/n)ⁿ<1-1/n+1

(1-1/n)ⁿ<(1-1/n+1)ⁿ⁺¹

a_nn₊₁nN последовательность возрастает и ограниченная.

(1-1/n)ⁿ – имеет конечный предел

lim(1-1/n)ⁿ=1/e

^n+

Следствие

lim(1+1/n)ⁿ=e

^n+

lim1/(1+1/n)ⁿ=(n/n+1)ⁿ=(1-1/(n+1))ⁿ⁺¹/ (1-1/(n+1))=(1/e)/1=1/e

^n+

lim(1/(1+1/n)ⁿ)=1/e

^n+

lim(1+1/n)ⁿ=e

^n+

Определение под последовательности

Пусть дана a_n зададим произвольный набор натуральных чисел таких, что

n₁23<…k<….

a_n1,a_n2,…,a_nk,…

Полученная последовательность называется под последовательностью и сходной последовательности.

a_n=(-1)ⁿ

{a_n}={-1;1;-1;1….}

n₁=2;n₂=4,….,n_k=2k

{a_nk}={1,1,1,1…}

Теорема

Пусть последовательность a_n сходится, тогда последовательности

 lim a_n=a {a_nk} – гас и lim

^n+

lim a_nk=0

^n+

Доказательство так как a_n – сходиться, то ε>0 N: n>N a_n-a<ε

a_nk; n_k>Nто есть a_nk-a<ε

Пример

a_n=(-1)ⁿ – не имеет предела

{a_2n}={1,…,1,…,}

{a_2n-1}={-1,….,-1,…}

имели бы тот же самый предел.

Предел функции.

Определение

Пусть y=f(x) определена в O(x₀). Мы говорим, что функция f(x) имеет предел в при хх₀ если ε>0 >0

x:0<x-x₀<f(x)-b<ε

lim f(x)=b

^xx_

Через окрестности это определение записывается следующим образом

ε>0 >0 x0_(x₀)f(x)0_ε(b)

Если lim f(x)=0, то f(x) наз бесконечно малой при xx₀.

^xx_

Замечание. Необходимо указать в каком именно процессе f(x) бесконечно малое. Надо указать к какому числу  а.

f(x)=x-1

1.x1 lim(x-1)=0, то есть y=x-1 бесконечно малое при x1

^x1

2.x2 lim(x-1)=1, то есть y=x-1 не является бесконечно малой при x2

^x1

Пример

f(x)=2x+1 x1

Докажем lim(2x+1)=3

^x1

ε>0 >0 x:0<x-1<(2x+1)-3<ε

(2x+1)-3<ε

|x-1<ε/2

x1

Положим =ε/2

Теорема о бесконечно малом

1)(x);(x) – бесконечно малое xx₀(x)+(x) – бесконечно малое при xx₀

2)(x);(x) – бесконечно малое при xx₀

3)Если f(x) – ограниченна в O(x₀) и (x) – бесконечно малое при xx₀, то f(x);(x) – бесконечно малое при xx₀

Доказательство (3)

Так как f(x) – ограниченна в O(x₀), то  С>0: xO(x₀)|f(x)C;

Так как (x) – бесконечно малое при хх₀, то ε>0 >0 x: 0<x-x₀<(x)<ε ε₁>0

Положим ε=ε₁/c

>0 x: 0<x-x₀|<f(x)(x)=f(x)a(x)1 lim f(x)(x)=0, то есть f(x)a(x) – бесконечно малое при xx₀

^x